【目標(biāo)導(dǎo)航】
【知識(shí)梳理】
1.二次根式的定義
形如 的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)；
判斷一個(gè)式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為 ．
2.二次根式有無意義的條件：
（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是 ．
（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證 ．
3.二次根式的性質(zhì)：
（1），（雙重非負(fù)性）．
（2）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．
應(yīng)用：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化簡(jiǎn)：
（1）二次根式化簡(jiǎn)的步驟：
①把被開方數(shù)分解因式；
②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；
③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式或整式．
（2）最簡(jiǎn)二次根式的條件：
被開方數(shù) ；被開方數(shù)中不含 ．
5.二次根式的運(yùn)算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的 .
推廣：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的 .
（3）二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成 ，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行 ，合并方法為系數(shù) ，根式 ．
二次根式的加減步驟：
①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．
②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
③合并被開方數(shù)相同的二次根式．
6.二次根式的混合運(yùn)算：
（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．
①與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序 ，最后 ，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)單項(xiàng)式，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作多項(xiàng)式．
（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為 ．
（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
7.二次根式的應(yīng)用：
把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．
【典例剖析】&【變式訓(xùn)練】
考點(diǎn)1 二次根式的定義
【例1】（2022春?會(huì)東縣校級(jí)月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）6；（2）3.14?π；（3）x2+1；（4）3?27；（5）x2+2x+2；（6）|x|；（7）?2(2x?1)2；（8）11+2x(x＜?112)．
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【變式訓(xùn)練】
【變式1.1】（2022秋?德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．2B．mC．?16D．327
【變式1.2】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）已知下列各式：?12，x?3，a2+3，0，(?1)2，其中二次根式有（ ）個(gè)
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式1.3】（2022秋?高陵區(qū)期中）二次根式a中a的最小值為（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
考點(diǎn)2 二次根式的有意義的條件
【例2】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）代數(shù)式x?2x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可能為（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【變式訓(xùn)練】
【變式2.1】（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）要使二次根式5x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
【變式2.2】（2022秋?雙牌縣期末）當(dāng)x＝2時(shí)，下列各式中，沒有意義的是（ ）
A．x?2B．2?xC．x2?2D．2?x2
【變式2.3】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）若y=x?2?2?x?4，則x﹣y的值為（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
考點(diǎn)3 二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)
【例3】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）下列各式中正確的是（ ）
A．9=±3B．x2=xC．3(?x)3=?xD．(?x)2=?x
【變式3.1】（2022秋?海港區(qū)期末）若(x?3)2=x?3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【變式3.2】（2020秋?彌勒市校級(jí)月考）當(dāng)x=?34時(shí)，x2的值為（ ）
A．34B．?34C．±34D．a(chǎn)2+1
【變式3.3】（2022秋?安岳縣期末）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)：|a?2|+(a?4)2的結(jié)果為（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
考點(diǎn)4 最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式
【例4】（2022秋?漳州期末）下列各式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．3B．4C．12D．8
【變式訓(xùn)練】
【變式4.1】（2022秋?婁底期末）下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．a(chǎn)+1B．2x?1C．2b4D．y10
【變式4.2】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，能與2合并的是（ ）
A．12B．12C．20D．9
【變式4.3】（2022?天津模擬）若8與最簡(jiǎn)二次根式m+1能合并，則m的值為（ ）
A．7B．9C．2D．1
考點(diǎn)5 二次根式的乘除
【例5】．計(jì)算：
（1）2532×（?23158）；
（2）36a2+36b2．
【變式5.1】計(jì)算：
（1）3224?2318
（2）13219?（?419x2y）．
【變式5.2】計(jì)算
（1）45÷（﹣5145）
（2）2a2b2c5÷（ab2c3）（a＞0，b＞0，c＞0）
【變式5.3】．計(jì)算：
（1）212÷328×（?5227）；
（2）5bab3×（?25ab）÷13ba．
考點(diǎn)6 二次根式的加減
【例6】計(jì)算：
（1）5+20?45；
（2）38+218?50；
（3）239x+6x4?2x1x．
【變式訓(xùn)練】
【變式6.1】計(jì)算：
（1）22+32
（2）8+18
（3）16x+64x
（4）48?913+312．
【變式6.2】計(jì)算下列各式：
（1）5?6?20+23+95
（2）12?0.5?213?18+18
（3）27a?a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy?x21x．
【變式6.3】若a、b為有理數(shù)，且8+18+18=a+b2，求ba的值．
考點(diǎn)7二次根式的混合運(yùn)算
【例7】（2022秋?歷城區(qū)期末）計(jì)算：
（1）|?22|?3?1?4×2+(π?5)0；
（2）(5+3)(5?3)?(3?1)2．
【變式訓(xùn)練】
【變式7.1】（2023?義烏市校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：
（1）|3?2|+(?13)?1?20220；
（2）(32+23)(32?23)?(2?23)2．
【變式7.2】（2022秋?深圳期末）計(jì)算：
（1）28?7；
（2）12+|3?2|?(π?3.14)0；
（3）(3+2)(3?2)?(5?1)2．
【變式7.3】（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：
（1）(48+20)?(12?5)；
（2）48+3?214×30+(22+3)2．
【方法技巧】
二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．
③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．
④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
考點(diǎn)8二次根式的化簡(jiǎn)求值
【例8】（2022秋?天元區(qū)校級(jí)期末）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【變式訓(xùn)練】
【變式8.1】（2022春?高昌區(qū)月考）已知x=6+2，y=6?2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【變式8.2】（2022春?殷都區(qū)校級(jí)月考）已知a=5+2，b=5?2，求a2+ab+b2的值．
【變式8.3】（2022秋?永年區(qū)期末）已知x=17?5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
考點(diǎn)9二次根式的應(yīng)用
【例9】（2020春?韓城市期末）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．求：
（1）剪掉四個(gè)角后，制作長方體盒子的紙板的面積；
（2）長方體盒子的體積．
【變式訓(xùn)練】
【變式9.1】（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）加高度h（單位：m）近似滿足公式t=?5（不考慮風(fēng)速的影響）．
（1）求從40m高空拋物到落地時(shí)間；
（2）已知高空墜物動(dòng)能w（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.1kg的玩具被拋出后經(jīng)過4s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說明理由（注：傷害無防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）．
【變式9.2】（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
12+13 212×13；6+3 26×3；1+15 21×15；7+7 27×7．
（2）由（1）中各式猜想a+b與2ab（a≥0，b≥0）的大小，并說明理由．
（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問題：
某同學(xué)在做一個(gè)面積為1800cm2，對(duì)角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)，求用來做對(duì)角線的竹條至少要多少厘米？
【變式9.3】（2022秋?橋西區(qū)期中）交通警察通常根據(jù)剎車后車輪劃過的距離估計(jì)車輛行駛的速度，所依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：km/h），d表示剎車后車輪劃過的距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中測(cè)得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽車的速度；
（2）若此路段限速70km/h，請(qǐng)通過計(jì)算判斷肇事汽車是否超速？
考點(diǎn)10二次根式與探究材料題
【例10】（2021春?泗陽縣期末）在解決問題“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值時(shí)，小明是這樣分析與解答的：
∵a=12+3=2?3(2+3)(2?3)=2?3，
∴a﹣2=?3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解答下列問題：
（1）化簡(jiǎn)：23?1；
（2）化簡(jiǎn)：13+1+15+3+17+5+?+12021+2019；
（3）若a=12?1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【變式訓(xùn)練】
【變式10.1】（2019春?沭陽縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b2的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：7+43= ．
（3）請(qǐng)化簡(jiǎn)：12?63
【變式10.2】（2021?市中區(qū)校級(jí)一模）觀察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142?Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）計(jì)算：S1= ，S3= ；猜想Sn= （用n的代數(shù)式表示）；
（2）計(jì)算：S=S1+S2+S3+?+Sn（用n的代數(shù)式表示）．
【變式10.3】（2020春?玄武區(qū)期中）數(shù)學(xué)閱讀：
古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個(gè)利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個(gè)三角形的三邊長分別為a、b、c，則這個(gè)三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p=12（a+b+c），這個(gè)公式稱為“海倫公式”．
數(shù)學(xué)應(yīng)用：
如圖，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）請(qǐng)運(yùn)用海倫公式求△ABC的面積；
（2）設(shè)AC邊上的高為h1，BC邊上的高h(yuǎn)2，求h1+h2的值．
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專題1.1二次根式精講精練（易錯(cuò)題型分類導(dǎo)練案）
【目標(biāo)導(dǎo)航】
【知識(shí)梳理】
1.二次根式的定義
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)；
判斷一個(gè)式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).
2.二次根式有無意義的條件：
（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．
（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
3.二次根式的性質(zhì)：
（1），（雙重非負(fù)性）．
（2）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．
應(yīng)用：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化簡(jiǎn)：
（1）二次根式化簡(jiǎn)的步驟：
①把被開方數(shù)分解因式；
②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；
③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式或整式．
（2）最簡(jiǎn)二次根式的條件：
被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
5.二次根式的運(yùn)算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.
推廣：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的商的算術(shù)平方根.
（3）二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．
二次根式的加減步驟：
①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．
②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
③合并被開方數(shù)相同的二次根式．
6.二次根式的混合運(yùn)算：
（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．
①與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)單項(xiàng)式，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作多項(xiàng)式．
（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
7.二次根式的應(yīng)用：
把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．
【典例剖析】&【變式訓(xùn)練】
考點(diǎn)1 二次根式的定義
1．（2022春?會(huì)東縣校級(jí)月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）6；（2）3.14?π；（3）x2+1；（4）3?27；（5）x2+2x+2；（6）|x|；（7）?2(2x?1)2；（8）11+2x(x＜?112)．
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【分析】二次根式的條件有三個(gè)：①含有根號(hào)②根指數(shù)是2③被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，三個(gè)條件缺一不可．按照此定義逐個(gè)排查即可．
【詳解】（1）6，（3）x2+1，（5）x2+2x+2，（6）|x|符合二次根式的定義，屬于二次根式；
（2）3.14?π，（8）11+2x(x＜?112)被開方數(shù)小于0，無意義，不是二次根式；
（7）?2(2x?1)2的被開方數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，它無意義，不是二次根式；
（4）3?27屬于三次根式．
共有4個(gè)二次根式．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，滿足二次根式的條件有三個(gè)：①含有根號(hào)②根指數(shù)是2③被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，三個(gè)條件缺一不可．
【變式訓(xùn)練】
【變式1.1】（2022秋?德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．2B．mC．?16D．327
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義，逐一判斷．
【詳解】A、2＞0一定成立，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)正確；
B、當(dāng)m＜0時(shí)，二次根式無意義，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是三次根式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．
概念：式子a（a≥0）叫二次根式．
性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
【變式1.2】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）已知下列各式：?12，x?3，a2+3，0，(?1)2，其中二次根式有（ ）個(gè)
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)二次根式的根指數(shù)是2且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，解答即可．
【詳解】x?3中當(dāng)x＜3時(shí)，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；
?12，a2+3，(?1)2是二次根式，共有4個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．注意，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【變式1.3】（2022秋?高陵區(qū)期中）二次根式a中a的最小值為（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】根據(jù)二次根式的定義即可求出答案．
【詳解】由題意可得，a≥0，
∴二次根式a中a的最小值為0．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)2 二次根式的有意義的條件
【例2】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）代數(shù)式x?2x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可能為（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出x的范圍．
【詳解】由題意可知：x?2≥0x+2≠0，
解得：x≥2，
∴x的值可能為2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式2.1】（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）要使二次根式5x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．
【詳解】由題意得：5x﹣2≥0，
解得：x≥25，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【變式2.2】（2022秋?雙牌縣期末）當(dāng)x＝2時(shí)，下列各式中，沒有意義的是（ ）
A．x?2B．2?xC．x2?2D．2?x2
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0即可求解．
【詳解】A、當(dāng)x＝2時(shí)，x?2=0，有意義；
B、當(dāng)x＝2時(shí)，2?x=0，有意義；
C、當(dāng)x＝2時(shí)，x2?2=2，有意義；
D、當(dāng)x＝2時(shí)，2﹣x2＝﹣2＜0，沒有意義．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
【變式2.3】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）若y=x?2?2?x?4，則x﹣y的值為（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得出x，y的值，再代入x﹣y中即可求解．
【詳解】由題意得x?2≥0，2?x≥0，
∴2≤x≤2，故x＝2，
∴y＝﹣4，
∴x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)并據(jù)此求出x，y的值是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)3 二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)
【例3】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）下列各式中正確的是（ ）
A．9=±3B．x2=xC．3(?x)3=?xD．(?x)2=?x
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】A．9=3，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．x2=，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．3(?x)3=?x，故此選項(xiàng)符合題意；
D．(?x)2=，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．
【變式訓(xùn)練】
【變式3.1】（2022秋?海港區(qū)期末）若(x?3)2=x?3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【分析】根據(jù)題意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【詳解】∵(x?3)2=x?3，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．
【變式3.2】（2020秋?彌勒市校級(jí)月考）當(dāng)x=?34時(shí)，x2的值為（ ）
A．34B．?34C．±34D．a(chǎn)2+1
【分析】根據(jù)a2=|a|，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】當(dāng)x=?34時(shí)，x2=|x|＝|?34|=34，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式的定義，熟練掌握a2=|a|是解題的關(guān)鍵．
【變式3.3】（2022秋?安岳縣期末）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)：|a?2|+(a?4)2的結(jié)果為（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
【分析】根據(jù)數(shù)軸先確定a﹣2、a﹣4的正負(fù)，然后再去絕對(duì)值、根號(hào)，合并同類項(xiàng)即可解決問題．
【詳解】根據(jù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置得知：2＜a＜4，
即：﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸及二次根式、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出a﹣2與a﹣4的正負(fù)情況．
考點(diǎn)4 最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式
【例4】（2022秋?漳州期末）下列各式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．3B．4C．12D．8
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
【詳解】A、3屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
B、4=2不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、12=22不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、8=22不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式4.1】（2022秋?婁底期末）下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．a(chǎn)+1B．2x?1C．2b4D．y10
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．
【詳解】A.a+1是最簡(jiǎn)二次根式，故A不符合題意；
B.2x?1是最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合題意；
C.2b4是最簡(jiǎn)二次根式，故C不符合題意；
D.y10=10y10，不是最簡(jiǎn)二次根式，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4.2】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，能與2合并的是（ ）
A．12B．12C．20D．9
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義即可得出答案．
【詳解】A．12=23，不能與2合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
B．12=22，能與2合并，故該選項(xiàng)符合題意；
C．20=25，不能與2合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．9=3，不能與2合并，故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．
【變式4.3】（2022?天津模擬）若8與最簡(jiǎn)二次根式m+1能合并，則m的值為（ ）
A．7B．9C．2D．1
【分析】先將8化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可得．
【詳解】8=22，∵22與最簡(jiǎn)二次根式m+1能合并，
∴m+1＝2，
解得m＝1．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式、二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)5 二次根式的乘除
【例5】計(jì)算：
（1）2532×（?23158）；
（2）36a2+36b2．
【分析】（1）先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)二次根式；
（2）先進(jìn)行根號(hào)下的加法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)．
【詳解】（1）原式=?4154516=?55；
（2）原式=36(a2+b2)a2b2=6|ab|a2+b2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則以及二次根式的化簡(jiǎn)．
【變式訓(xùn)練】
【變式5.1】．計(jì)算：
（1）3224?2318
（2）13219?（?419x2y）．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則求解即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘法法則求解即可．
【詳解】（1）原式＝36×22
＝123；
（2）原式=199×（﹣2xy19）
=?29xy．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則．
【變式5.2】計(jì)算
（1）45÷（﹣5145）
（2）2a2b2c5÷（ab2c3）（a＞0，b＞0，c＞0）
【分析】（1）先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，然后求解即可；
（2）先進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)求解．
【詳解】（1）原式＝﹣45×515=?43；
（2）原式=2a2b2c5?2c3ab=2cab．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法則和除法法則以及二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式5.3】計(jì)算：
（1）212÷328×（?5227）；
（2）5bab3×（?25ab）÷13ba．
【分析】（1）利用二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)而化簡(jiǎn)即可；
（2）利用二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．
【詳解】（1）212÷328×（?5227）
=1352×128×（?5227），
=?5352×128×167，
=?53×107，
=?51021；
（2）5bab3×（?25ab）÷13ba
=5b×（?25）×3ab3×ab×ab，
=?6ba3b3，
＝﹣6aab．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算法則，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)6 二次根式的加減
【例6】．計(jì)算：
（1）5+20?45；
（2）38+218?50；
（3）239x+6x4?2x1x．
【分析】原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，合并即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）原式=5+25?35=0；
（2）原式＝62+62?52=72；
（3）原式＝2x+3x?2x=3x．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式6.1】計(jì)算：
（1）22+32
（2）8+18
（3）16x+64x
（4）48?913+312．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；
（2）首先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；
（3）首先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可；
（4）首先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出即可．
【詳解】（1）22+32=52；
（2）8+18=22+32=52；
（3）16x+64x=4x+8x=12x；
（4）48?913+312=43?9×33+3×23=73．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確把握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式6.2】計(jì)算下列各式：
（1）5?6?20+23+95
（2）12?0.5?213?18+18
（3）27a?a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy?x21x．
【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）原式=5?6?25+63+355
=?255?263；
（2）原式＝23?22?233?24+32
=433+924；
（3）原式＝33a?3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy?xx
＝xx+7xy．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并．
【變式6.3】若a、b為有理數(shù)，且8+18+18=a+b2，求ba的值．
【分析】首先化簡(jiǎn)各式，進(jìn)而得出a，b的值，即可得出答案．
【詳解】∵8+18+18=a+b2，
∴22+32+24=2142=a+b2，
∴a＝0，b=214，
∴ba＝（214）0＝1．
【點(diǎn)睛】此題主要二次根式的化簡(jiǎn)求值以及乘方運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)7二次根式的混合運(yùn)算
【例7】（2022秋?歷城區(qū)期末）計(jì)算：
（1）|?22|?3?1?4×2+(π?5)0；
（2）(5+3)(5?3)?(3?1)2．
【分析】（1）先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后把4化簡(jiǎn)后合并即可；
（2）根據(jù)平方差公式和完全平凡的公式計(jì)算．
【詳解】（1）原式＝22?13?22+1
=23；
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣23+1）
＝﹣4﹣4+23
＝23?8．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式7.1】（2023?義烏市校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：
（1）|3?2|+(?13)?1?20220；
（2）(32+23)(32?23)?(2?23)2．
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義以及零指數(shù)冪的意義即可求出答案．
（2）根據(jù)平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【詳解】（1）原式＝2?3+（﹣3）﹣1
＝2?3?3﹣1
＝﹣2?3．
（2）原式＝（18﹣12）﹣（2﹣46+12）
＝6﹣（14﹣46）
＝6﹣14+46
＝﹣8+46．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用平方差公式以及完全平方公式、絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義以及零指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【變式7.2】（2022秋?深圳期末）計(jì)算：
（1）28?7；
（2）12+|3?2|?(π?3.14)0；
（3）(3+2)(3?2)?(5?1)2．
【分析】（1）先把28化簡(jiǎn)，然后合并即可；
（2）先根據(jù)零指數(shù)冪和絕對(duì)值的意義計(jì)算，然后合并即可；
（3）先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可．
【詳解】（1）原式＝27?7
=7；
（2）原式＝23+2?3?1
=3+1；
（3）原式＝3﹣2﹣（5﹣25+1）
＝1﹣5+25?1
＝25?5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．
【變式7.3】（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：
（1）(48+20)?(12?5)；
（2）48+3?214×30+(22+3)2．
【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】（1）原式＝43+25?23+5
＝23+35．
（2）原式＝43+3?1×30+8+46+（3）2
＝53?30+8+46+3
＝11+46+53?30．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
考點(diǎn)8二次根式的化簡(jiǎn)求值
【例8】（2022秋?天元區(qū)校級(jí)期末）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則和二次根式的減法法則求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，
∴ab＝（4﹣23）×（4+23）
＝42﹣（23）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）
＝4﹣23?4﹣23
＝﹣43；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）
＝2×（48+8）+163
＝2×56+163
＝112+163．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和乘法公式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式8.1】（2022春?高昌區(qū)月考）已知x=6+2，y=6?2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【分析】（1）直接將x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】（1）x?y=6+2?(6?2)=22；
（2）x2+2xy+y2＝（x+y）2
=(6+2+6?2)2
=(26)2
＝24．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．
【變式8.2】（2022春?殷都區(qū)校級(jí)月考）已知a=5+2，b=5?2，求a2+ab+b2的值．
【分析】由a=5+2，b=5?2易得a+b＝25，ab＝1，再變形a2+ab+b2得到（a+b）2﹣ab，然后把a(bǔ)+b＝25，ab＝1整體代入計(jì)算即可．
【詳解】∵a=5+2，b=5?2，
∴a+b＝25，ab＝1，
∴a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（25）2﹣1
＝20﹣1
＝19．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：先根據(jù)已知條件把所求的代數(shù)式變形，然后利用整體的思想求值．
【變式8.3】（2022秋?永年區(qū)期末）已知x=17?5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】（1）xy
=17?5×17+5
=17?5
=12；
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（17?5+17+5）2+12
＝（7+5+7?52）2+12
＝（7）2+12
＝7+12
＝712．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
考點(diǎn)9二次根式的應(yīng)用
【例9】（2020春?韓城市期末）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．求：
（1）剪掉四個(gè)角后，制作長方體盒子的紙板的面積；
（2）長方體盒子的體積．
【分析】（1）直接利用總面積減去周圍正方形面積進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用長方體的體積公式得出答案．
【詳解】（1）制作長方體盒子的紙板的面積為：（63）2﹣4×（3）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；
（2）長方體盒子的體積：（63?23）（63?23）×3
＝43×43×3
＝483（cm3）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式9.1】（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）加高度h（單位：m）近似滿足公式t=?5（不考慮風(fēng)速的影響）．
（1）求從40m高空拋物到落地時(shí)間；
（2）已知高空墜物動(dòng)能w（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.1kg的玩具被拋出后經(jīng)過4s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說明理由（注：傷害無防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）．
【分析】（1）把40m代入公式即可；
（2）求出h，代入動(dòng)能計(jì)算公式即可求出．
【詳解】（1）由題意知h＝40m，
∴t=405=8=22（s），
故從40m高空拋物到落地時(shí)間為22s；
（2）這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人，
理由：當(dāng)t＝4s時(shí)，4=?5，
∴h＝80m，
這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，
∴這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，通過具體情境考查二次根式，理解公式，正確運(yùn)算代入求值是解決本題的關(guān)鍵．
【變式9.2】（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
12+13 ＞ 212×13；6+3 ＞ 26×3；1+15 ＞ 21×15；7+7 ＝ 27×7．
（2）由（1）中各式猜想a+b與2ab（a≥0，b≥0）的大小，并說明理由．
（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問題：
某同學(xué)在做一個(gè)面積為1800cm2，對(duì)角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)，求用來做對(duì)角線的竹條至少要多少厘米？
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性進(jìn)行變形可得結(jié)論；
（2）直接利用完全平方公式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形面積＝相互垂直的對(duì)角線乘積的一半，并綜合利用（2）的結(jié)論得出答案即可．
【詳解】（1）∵(12?13)2＞0，
∴12?212×13+13＞0，
∴12+13＞212×13，
同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×15；7+7＝27×7．
故答案為：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2ab=（a?b）2≥0，
∴a+b≥2ab；
（3）設(shè)AC＝a，BD＝b，
由題意得：12ab=1800，
∴ab＝3600，
∵a+b≥2ab，
∴a+b≥23600，
∴a+b≥120，
∴用來做對(duì)角線的竹條至少要120厘米．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的實(shí)際應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．
【變式9.3】（2022秋?橋西區(qū)期中）交通警察通常根據(jù)剎車后車輪劃過的距離估計(jì)車輛行駛的速度，所依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：km/h），d表示剎車后車輪劃過的距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中測(cè)得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽車的速度；
（2）若此路段限速70km/h，請(qǐng)通過計(jì)算判斷肇事汽車是否超速？
【分析】（1）直接用題目中速度公式和計(jì)算即可求出；
（2）比較兩個(gè)速度的大小即可．
【詳解】（1）當(dāng)d＝20m，f＝1.2時(shí)，v＝1620×1.2=326（km/h），
答：肇事汽車的速度是326km/h；
（2）v＝326≈78＞70，
∴肇事汽車已經(jīng)超速．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，能正確求出v的值是解此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)10二次根式與探究材料題
【例10】（2021春?泗陽縣期末）在解決問題“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值時(shí)，小明是這樣分析與解答的：
∵a=12+3=2?(2+3)(2?3)=2?3，
∴a﹣2=?3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解答下列問題：
（1）化簡(jiǎn)：23?1；
（2）化簡(jiǎn)：13+1+15+3+17+5+?+12021+2019；
（3）若a=12?1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【分析】（1）（2）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；
（3）將a分母有理化得a=2+1，移項(xiàng)并平方得到a2﹣2a＝1，變形后代入求值．
【詳解】（1）23?1=2(3+1)(3+1)(3?1)=3+1；
（2）原式=12（3?1+5?3+7?5+?+2021?2019）
=12（2021?1），
=2021?12；
（3）∵a=12?1=2+1(2?1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
①12a2?a?1
=12（a2﹣2a）﹣1
=12×1?1
=?12；
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(2+1)2+1
＝﹣3（2+22+1）+1
＝﹣9﹣62+1
＝﹣8?62．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形，變形各式后利用a2﹣2a＝1，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式10.1】（2019春?沭陽縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b2的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：7+43= （2+3）2 ．
（3）請(qǐng)化簡(jiǎn)：12?63
【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．
【詳解】（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案為m2+3n2，2mn；
（2）7+43=（2+3）2；
故答案為：（2+3）2；
（3）∵12﹣63=（3?3）2，
∴12?63=(3?3)2=3?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式．
【變式10.2】（2021?市中區(qū)校級(jí)一模）觀察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142?Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）計(jì)算：S1= 32 ，S3= 1312 ；猜想Sn= n(n+1)+1n(n+1) （用n的代數(shù)式表示）；
（2）計(jì)算：S=S1+S2+S3+?+Sn（用n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）分別求出S1，S2，…的值，再求出其算術(shù)平方根即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行拆項(xiàng)得出1+12+1+16+1+112+?+1+1n(n+1)，再轉(zhuǎn)換成n+（1?12+12?13+13?14+?+1n?1n+1）
即可求出答案．
【解答】（1）解：∵S1＝1+112+122=94，
∴S1=94=32；
∵S2＝1+122+132=4936，
∴S2=76；
∵S3＝1+132+142=169144，
∴S3=1312；
∵Sn＝1+1n2+1(n+1)2=[n2+n+1]2n2(n+1)2，
∴Sn=n2+n+1n(n+1)=n(n+1)+1n(n+1)，
故答案為：32，1312，n(n+1)+1n(n+1)；
（2）解：S=32+76+1312+?+n(n+1)+1n(n+1)
＝1+12+1+16+1+112+?+1+1n(n+1)
＝n+（1?12+12?13+13?14+?+1n?1n+1）
＝n+1?1n+1，
=n2+2nn+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，主要考學(xué)生的計(jì)算能力，題目比較好，但有一定的難度．
【變式10.3】（2020春?玄武區(qū)期中）數(shù)學(xué)閱讀：
古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個(gè)利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個(gè)三角形的三邊長分別為a、b、c，則這個(gè)三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p=12（a+b+c），這個(gè)公式稱為“海倫公式”．
數(shù)學(xué)應(yīng)用：
如圖，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）請(qǐng)運(yùn)用海倫公式求△ABC的面積；
（2）設(shè)AC邊上的高為h1，BC邊上的高h(yuǎn)2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根據(jù)海倫公式，代入解答即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式解答即可．
【詳解】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p?a)(p?b)(p?c)=12(12?7)(12?8)(12?9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC??1=12BC??2=125，
∴?1=2458=35，?2=2457，
∴?1+?2=35+2457=4557．
【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)海倫公式，利用二次根式的計(jì)算解答．

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