一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)之直角三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的直角三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用。
【解題思路】
直角三角形的存在性問(wèn)題
找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)
方法：（1）以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線互相垂直，則k1*k2=-1
（2） 以已知線段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解
下面主要介紹2種常用方法：
【方法1 幾何法】“兩線一圓”
（1）若∠A 為直角，過(guò)點(diǎn) A 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C；
（2）若∠B 為直角，過(guò)點(diǎn) B 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C；
（3）若∠C 為直角，以 AB 為直徑作圓，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）

如何求得點(diǎn)坐標(biāo)？以為例：構(gòu)造三垂直．


【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程
【典例分析】
【方法1 勾股定理】
【典例1】（2021秋?建華區(qū)期末）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B（1，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、AC、BC、DC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-1】（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-2】（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【方法2 構(gòu)造“K”字型利用相似作答】
【典例2】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）將拋物線C1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作C2，點(diǎn)E為拋物線C2上一點(diǎn)若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【變式2-1】（2022?濟(jì)南）拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；
（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【變式2-2】（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．
（1）求線段AC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)之直角三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的直角三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用。
【解題思路】
直角三角形的存在性問(wèn)題
找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)
方法：（1）以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線互相垂直，則k1*k2=-1
（2） 以已知線段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解
下面主要介紹2種常用方法：
【方法1 幾何法】“兩線一圓”
（1）若∠A 為直角，過(guò)點(diǎn) A 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C；
（2）若∠B 為直角，過(guò)點(diǎn) B 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C；
（3）若∠C 為直角，以 AB 為直徑作圓，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）

如何求得點(diǎn)坐標(biāo)？以為例：構(gòu)造三垂直．


【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程
【典例分析】
【方法1 勾股定理】
【典例1】（2021秋?建華區(qū)期末）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B（1，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、AC、BC、DC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．
（4）在y軸上存在點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，理由如下：
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4），
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），
∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，
當(dāng)∠EAD＝90°時(shí)，有AE2+AD2＝DE2，
∴m2+9+20＝m2+8m+17，
解得m＝，
∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）；
當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，DE2+AD2＝AE2，
m2+8m+17+20＝m2+9，
解得m＝﹣，
∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣）；
當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，AE2+DE2＝AD2，
m2+9+m2+8m+17＝20，
解得m＝﹣1或m＝﹣3，
∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【變式1-1】（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
將點(diǎn)C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴頂點(diǎn)為（2，﹣1）；
（2）存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形，理由如下：
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
設(shè)E（2，t），
∵△BCE是直角三角形，
∴BE⊥CE，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，BE＝，CE＝，
①當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
∴18＝（）2+（）2，
解得t＝，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，）；
②當(dāng)BE為斜邊時(shí)，
∴18+（）2＝（）2，
解得t＝5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；
③當(dāng)CE為斜邊時(shí)，
∴18+（）2＝（）2，
解得t＝﹣1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；
綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）
【變式1-2】（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，﹣4），點(diǎn)C（2，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4；
（2）如圖2中，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
當(dāng)∠P1AB＝90°時(shí)，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
當(dāng)∠ABP2＝90°時(shí)，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，設(shè)P（﹣1，n），設(shè)AB的中點(diǎn)為J，連接PJ，則J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
【方法2 構(gòu)造“K”字型利用相似作答】
【典例2】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）將拋物線C1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作C2，點(diǎn)E為拋物線C2上一點(diǎn)若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+6x+5，
∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D（﹣3，﹣4）；
（2）設(shè)拋物線C2上任意一點(diǎn)（x，y），則（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣x，y），
∵點(diǎn)（﹣x，y）在拋物線C1上，
∴拋物線記作C2的解析式為y＝x2﹣6x+5，
設(shè)E（t，t2﹣6t+5），
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸交于點(diǎn)H，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GOD+∠HOE＝90°，
∵∠GOD+∠GDO＝90°，
∴∠HOE＝∠GDO，
∴△GDO∽△HOE，
∴＝，
∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，
∴＝，
∴t＝4或t＝，
∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．
【變式2-1】（2022?濟(jì)南）拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；
（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣6，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣t2+t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直線y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝，
∴y＝x﹣6；
（2）作PM⊥x軸交于M，
∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，﹣m2+m﹣6），
∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OA?MA＝CO?PM，
3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣）；
【變式2-2】（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．
（1）求線段AC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）針對(duì)于拋物線y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM為直角三角形，
∴①當(dāng)∠BCM＝90°時(shí)，
如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于H，則HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合題意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②當(dāng)∠CBM＝90°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)M作M'H'⊥x軸，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③當(dāng)∠BMC＝90°時(shí)，如圖2，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DM，交DM的延長(zhǎng)線于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M(jìn)（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，不符合題意，舍去）或m＝（不符合題意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，M（，﹣），
即滿足條件的M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

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備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

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專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）

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專題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）

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專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）

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