專題03  二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）【專題說明】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，一個(gè)難點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。特別是 在壓軸題中，二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，才是最大的區(qū)分度。 與面積有關(guān)的問題，更是常見。本節(jié)介紹二次函數(shù)考試題型種，與面積問題的常用解法。 同學(xué)們，只要熟練運(yùn)用解法，爐火純青，在考試答題的時(shí)候，能夠輕松答題。【知識(shí)點(diǎn)梳理】類型一：面積等量關(guān)系類型二：面積平分方法一：利用割補(bǔ)將圖形割（補(bǔ)）成三角形或梯形面積的和差，其中需使三角形的底邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸；（例如以下4、5兩圖中，連結(jié)BD解法不簡(jiǎn)便。）              方法二： 鉛錘法（1）求 A、B 兩點(diǎn)水平距離，即水平寬； （2）過點(diǎn) C 作 x 軸垂線與 AB 交于點(diǎn) D，可得點(diǎn) D 橫坐標(biāo)同點(diǎn) C； （3）求直線 AB 解析式并代入點(diǎn) D 橫坐標(biāo)，得點(diǎn) D 縱坐標(biāo)； （4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高（5）   方法三 ：其他面積方法如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．      如圖1              如圖2              如圖3 【典例分析】【類型一：面積等量關(guān)系】【典例21】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段BC上，連接PD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，連接CE，記△DCE的面積為S1，△DBP的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣4）兩點(diǎn)代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣3m﹣4），則，，∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，∴S△BCE＝S△BPE，∴，解得：m1＝3，m2＝0（舍去），∴P（3，﹣4）；方法二：∵S1＝S2，∴S△PBE＝S△CBE，∴PC∥x軸，∴點(diǎn)P與C關(guān)于對(duì)稱軸x＝對(duì)稱，∴P（3，﹣4）；【變式1】（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．（1）求a，c的值；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)代入拋物線y＝ax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+4，設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴AB的解析式為：y＝2x+4，設(shè)直線DE的解析式為：y＝mx，∴2x+4＝mx，∴x＝，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3m，∴E（3，3m），∵△BDO與△OCE的面積相等，CE⊥OC，∴?3?（﹣3m）＝?4?，∴9m2﹣18m﹣16＝0，∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，∴m1＝﹣，m2＝（舍），∴直線DE的解析式為：y＝﹣x；【類型二：面積平分】【典例2】（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是直線AD下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1＝2S2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；（2）設(shè)點(diǎn)E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x軸，FN⊥x軸，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵點(diǎn)F在直線AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；【變式2】（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2； （2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，如圖．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+2．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離取得最大值．此時(shí)yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）； （3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝1：5或5：1則AE＝5或1，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，聯(lián)立方程組或，解得：x＝6或﹣，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【典例3】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3…①，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1；（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝3：5或5：3，則AE＝或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x＝4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）． 【變式3】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6  （2）P（，）【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；（2）∵拋物線y＝﹣x2+5x+6過點(diǎn)C，∴C（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，設(shè)P（m，﹣m2+5m+6），則D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD與△BDE的面積之比為1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）； 
 

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