一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)背景下與角有關(guān)的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點(diǎn)問題，這種類型的題目綜合性較強(qiáng)，更重要的是涉及方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論等重要的思想方法，對(duì)學(xué)生分析、解決問題的能力具有較高的要求。為此，我將與角有關(guān)的壓軸題常見的題型及解法做一整理
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題。
如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點(diǎn)P，點(diǎn)M為A、C間拋物線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。
分析：顯然符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，OP上方一個(gè)，OP下方一個(gè)、當(dāng)M在OP上方時(shí)，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點(diǎn)重合。當(dāng)M在OP下方時(shí)，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)D，坐標(biāo)為D(n,0)，由兩點(diǎn)間距離公式可表示出OD、PD長(zhǎng)，根據(jù)OD=PD列方程即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PD直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)而求出M點(diǎn)坐標(biāo)。
類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標(biāo)軸平行（重合）；
例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6.
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
解析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為及各定點(diǎn)坐標(biāo)，第二問中的F有兩種情況：x軸上方一個(gè)，x軸下方一個(gè)。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過F作x軸垂線，構(gòu)造∠FAB所在直角三角形，接著通過設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，表示FH和AH長(zhǎng)，根據(jù)tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)，由于表示FH時(shí)加了絕對(duì)值，已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個(gè)F就都求出來了。
還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對(duì)反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，進(jìn)而求出AF的直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，這也是不錯(cuò)的方法。
另一種是所求角的邊不與坐標(biāo)軸平行。
例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-x+bx+c 經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）x軸上有一點(diǎn)E（，0），連接CE，點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF 中的某個(gè)角恰好等于∠AEC？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。
分析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=-x-x+2及各定點(diǎn)坐標(biāo)。第二問要分類討論，當(dāng)∠CDF =∠AEC或是∠DCF =∠AEC時(shí)，先來討論∠CDF =∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當(dāng)∠CDF =∠AEC 時(shí)，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點(diǎn)F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設(shè)CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,從而寫出D點(diǎn)坐標(biāo)（-11m,2+2m）,將其代入拋物線表達(dá)式求得D點(diǎn)坐標(biāo)。
或是在A處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫出K點(diǎn)坐標(biāo)，在求出CK直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立從而求出交點(diǎn)D 的坐標(biāo)。
當(dāng)∠DCF =∠AEC 時(shí),可用同樣方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)。
類型三：二倍角或半角的存在性問題
.二倍角的構(gòu)造方法
如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.
這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了。
半角的構(gòu)造方法
如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：
方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對(duì)應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長(zhǎng)CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。
方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠EBC的值。

【典例分析】
【類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題】
【典例1】（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1】（2022秋?大連月考）拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（4，0），B（0，2）．
（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在拋物線上，∠PBA＝∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問題】
【典例2】（2022秋?大連月考）如圖，拋物線y＝ax2+2ax+c經(jīng)過B（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式2】（2022秋?瓦房店市月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，連接AE，點(diǎn)P在拋物線上，若∠EAC＝∠DAP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【類型三：二倍角或半角的存在性問題】
【典例3】（2022?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y＝x+3恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DB、DC．若△BCD的面積為6，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，若∠BAE＝2∠ACB，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【變式3-1】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ， ．
（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，
①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值；
②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式3-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交與A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且過點(diǎn)（-2，4）.
（1）直接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，兩拋物線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)M到直線PB的距離；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【類型四：角度等于定值問題】
【典例4】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與線段BC交于點(diǎn)G，當(dāng)∠PBC+∠CFG＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【變式4-1】（2021?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．
（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式4-2】（2020?淄博）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，其頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q，使得∠PQE＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式4-3】（2022?羅湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
專題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)背景下與角有關(guān)的存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點(diǎn)問題，這種類型的題目綜合性較強(qiáng)，更重要的是涉及方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論等重要的思想方法，對(duì)學(xué)生分析、解決問題的能力具有較高的要求。為此，我將與角有關(guān)的壓軸題常見的題型及解法做一整理
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題。
如例1：拋物線y=-x+3x+4,與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點(diǎn)P，點(diǎn)M為A、C間拋物線上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。
分析：顯然符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，OP上方一個(gè)，OP下方一個(gè)、當(dāng)M在OP上方時(shí)，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點(diǎn)重合。當(dāng)M在OP下方時(shí)，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)D，坐標(biāo)為D(n,0)，由兩點(diǎn)間距離公式可表示出OD、PD長(zhǎng)，根據(jù)OD=PD列方程即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PD直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)而求出M點(diǎn)坐標(biāo)。
類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標(biāo)軸平行（重合）；
例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6.
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
解析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為及各定點(diǎn)坐標(biāo)，第二問中的F有兩種情況：x軸上方一個(gè)，x軸下方一個(gè)。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過F作x軸垂線，構(gòu)造∠FAB所在直角三角形，接著通過設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，表示FH和AH長(zhǎng)，根據(jù)tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)，由于表示FH時(shí)加了絕對(duì)值，已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個(gè)F就都求出來了。
還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對(duì)反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，進(jìn)而求出AF的直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，這也是不錯(cuò)的方法。
另一種是所求角的邊不與坐標(biāo)軸平行。
例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-x+bx+c 經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）x軸上有一點(diǎn)E（，0），連接CE，點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF 中的某個(gè)角恰好等于∠AEC？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。
分析：通過已知條件易得拋物線表達(dá)式為y=-x-x+2及各定點(diǎn)坐標(biāo)。第二問要分類討論，當(dāng)∠CDF =∠AEC或是∠DCF =∠AEC時(shí)，先來討論∠CDF =∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當(dāng)∠CDF =∠AEC 時(shí)，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點(diǎn)F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設(shè)CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,從而寫出D點(diǎn)坐標(biāo)（-11m,2+2m）,將其代入拋物線表達(dá)式求得D點(diǎn)坐標(biāo)。
或是在A處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫出K點(diǎn)坐標(biāo)，在求出CK直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立從而求出交點(diǎn)D 的坐標(biāo)。
當(dāng)∠DCF =∠AEC 時(shí),可用同樣方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)。
類型三：二倍角或半角的存在性問題
.二倍角的構(gòu)造方法
如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.
這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了。
半角的構(gòu)造方法
如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：
方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對(duì)應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長(zhǎng)CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。
方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tan∠EBC的值。

【典例分析】
【類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題】
【典例1】（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），
∴，
解得：．
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣+x+4；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí)，如圖，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴點(diǎn)C，P的縱坐標(biāo)相等，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，
令y＝4，則﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，如圖，
設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
設(shè)HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，﹣）．
【變式1】（2022秋?大連月考）拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（4，0），B（0，2）．
（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在拋物線上，∠PBA＝∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
將A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）當(dāng)BP∥x軸時(shí)，∠PBA＝∠BAO，
∴P（2，2）；
設(shè)BP與x軸交于點(diǎn)Q，
∵∠PBA＝∠BAO，
∴BQ＝AQ，
在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，
解得BQ＝，
∴AQ＝，OQ＝，
∴Q（，0），
設(shè)直線BQ的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
聯(lián)立方程組，
解得（舍）或，
∴P（，﹣）；
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，﹣）．
【類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問題】
【典例2】（2022秋?大連月考）如圖，拋物線y＝ax2+2ax+c經(jīng)過B（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）分兩種情況：
設(shè)M（x，﹣x2﹣2x+3），
①如圖，當(dāng)CM交x軸于G時(shí)，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACG＝∠OCB，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠BCM＝45°，
∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB＝∠BGC，
∵∠CBG＝∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴，
∵OB＝1，OC＝3，
∴BC＝，
設(shè)G（﹣t，0），
∴，
∴t＝，
∴G（﹣，0），
同理可求得CG的解析式為：y＝2x+3，
則，
∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣4，
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣5）；
②如圖，當(dāng)CM與x軸交于點(diǎn)N時(shí)，過B作BP⊥AC于P，
∵∠OAC＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AP＝BP＝＝2，
∵AC＝＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACB＝∠OCM，
∵∠BPC＝∠COA＝90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴，
∴，
∴NO＝6，
∴N（﹣6，0），
同理可得NC的解析式為：y＝x+3，
聯(lián)立方程組得：，
解得：x1＝0，x2＝﹣，
因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝，
∴M（﹣，），
綜上所述，存在點(diǎn)M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．
【變式2】（2022秋?瓦房店市月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，連接AE，點(diǎn)P在拋物線上，若∠EAC＝∠DAP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝﹣3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3；
（2）過A作AC的垂線，交DE于G，交拋物線于P，如圖：
由y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1可得頂點(diǎn)D（﹣2，1），對(duì)稱軸是直線x＝﹣2，
在y＝﹣x﹣3中，令x＝﹣2得y＝﹣1，
∴E（﹣2，﹣1），F(xiàn)（﹣2，0），
∵A（﹣1，0），
∴AF＝1，DE2＝（1+1）2＝4，AD2＝（﹣1+2）2+（0﹣1）2＝2，AE2＝（﹣2+1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°＝∠CAP，
∴∠CAE＝∠DAP，即P是滿足條件的點(diǎn)，
∵∠FAG＝90°﹣∠OAC＝∠OCA，∠GFA＝90°＝∠AOC，
∴△FAG∽△OCA，
∴＝，即＝，
∴FG＝，
∴G（﹣2，﹣），
由G（﹣2，﹣），A（﹣1，0）可得直線AG解析式為y＝x+，
解得或，
∴P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．
【類型三：二倍角或半角的存在性問題】
【典例3】（2022?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y＝x+3恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DB、DC．若△BCD的面積為6，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，若∠BAE＝2∠ACB，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）令y＝0，則x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
將點(diǎn)B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2+4x+3；
（2）點(diǎn)D在直線BC上方時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥x軸交AC于點(diǎn)P，
設(shè)D（t，t2+4t+3），則P（t，t+3），
∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，
∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）
∵△BCD的面積為6，
∴（t2+3t）＝6，
∴t＝1或t＝﹣4，
∴D（1，8）或D（﹣4，3）；
當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方時(shí)，
S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，
∴（t2+3t）＝﹣6，
∴此時(shí)t不存在，
綜上所述：D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）或（﹣4，3）；
（3）設(shè)E（m，m2+4m+3），
過點(diǎn)A作AG⊥BC交于點(diǎn)G，在BC上截取HC＝HA，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∵x2+4x+3＝0時(shí)，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝2，
在Rt△ABG中，BG＝AG＝，
∴CG＝2，
∵HC＝HA，
∴∠GHA＝2∠ACB，
在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，
∴HA2＝（2﹣HA）2+2，
解得HA＝，
∴HG＝，
∴tan∠GHA＝＝＝，
∵∠BAE＝2∠ACB，
∴∠BAE＝∠GHA，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣，）．
【變式3-1】（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ， ．
（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，
①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值；
②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，則﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案為：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x軸，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x軸，
∴＝＝．
②如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
則P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，的最大值為．
另解：分別過點(diǎn)P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點(diǎn)，仿照以上解法即可求解．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
過點(diǎn)C作CF∥x軸交拋物線于點(diǎn)F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)M，
∵CF∥x軸，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM為等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直線CM的解析式為：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在點(diǎn)P滿足題意，此時(shí)m＝．
【變式3-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交與A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且過點(diǎn)（-2，4）.
（1）直接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，兩拋物線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)M到直線PB的距離；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解答】（1）；B（3，0）
（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）
設(shè)點(diǎn)M到直線PB的距離為h，則==，∴h=
（3）存在，理由：
設(shè)，如圖，過點(diǎn)B作的平分線BH交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HG⊥PB于點(diǎn)G，設(shè)OH=m，則HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，
在Rt△PGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4—m）2，解得：m=
∴tan∠HBO=，∴故直線AD的表達(dá)式為：①
同理直線PB的表達(dá)式為：②
聯(lián)立①②并解得：，∴點(diǎn)D（）.
【類型四：角度等于定值問題】
【典例4】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與線段BC交于點(diǎn)G，當(dāng)∠PBC+∠CFG＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣4）兩點(diǎn)代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）如圖，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x軸于N，連接PC交x軸于點(diǎn)H，
設(shè)P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表達(dá)式為：y＝kx+d（k≠0），
將P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表達(dá)式為：y＝（n﹣3）x﹣4，
將y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ?BC＝PN?HB+OC?HB，
∵，
∴，
∵，
由題可知，，
∴，
將代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，
方法二：將CF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得C'，連接CC'，作CE⊥l于E，
求出點(diǎn)C'（），
從而求出直線CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直線BP的解析式與拋物線求交點(diǎn)即可．
【變式4-1】（2021?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．
（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在拋物線上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直線l經(jīng)過A（﹣2，0）、D（4，3），
設(shè)直線l的解析式為y＝kx+m（k≠0），
則，
解得，，
∴直線l的解析式為y＝x+1；
（2）如圖中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），
設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直線DT的解析式為y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作點(diǎn)T關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)T′（1，﹣6），
則直線DT′的解析式為y＝3x﹣9，
設(shè)DQ′交y軸于點(diǎn)Q′，則∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣9）．
【變式4-2】（2020?淄博）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，其頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q，使得∠PQE＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，則x＝﹣＝1①，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝4a﹣2b+②，
聯(lián)立①②并解得，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+③；
（2）（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)Q在MD之間時(shí)，
作△PEQ的外接圓R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，則△PER為等腰直角三角形，
當(dāng)在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q時(shí)，圓R與直線MD相切，
∵點(diǎn)M、D的坐標(biāo)分別為（1，3）、（4，0），
則ME＝3，ED＝4﹣1＝3，則MD＝3，
過點(diǎn)R作RH⊥ME于點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)P（1，2m），則PH＝HE＝HR＝m，則圓R的半徑為m，則點(diǎn)R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM?ED＝×MD?RQ×ED?yR+×ME?RH，
∴×3×3＝×3×m+×3×m×3×m，解得：m＝，
故點(diǎn)P（1，）；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，
由點(diǎn)M、E、D的坐標(biāo)知，ME＝ED，即∠MDE＝45°；
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，此時(shí)∠PQE＝45°，此時(shí)點(diǎn)P（1，3），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得：點(diǎn)P（1，﹣3），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，3）或（1，﹣3）．
【變式4-3】（2022?羅湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）將A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝，
在對(duì)稱軸上取點(diǎn)M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（，﹣7﹣）；
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，7+）或（，﹣7﹣）．

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專題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）

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專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）

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