一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)之等腰三角形存在性問題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的等腰三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用。
【解題思路】
等腰三角形的存在性問題
【方法1 幾何法】“兩圓一線”
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
注意：若有重合的情況，則需排除．
以點(diǎn) C1 為例，具體求點(diǎn)坐標(biāo)：
過點(diǎn)A作AH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，則AH=1，
又
類似可求點(diǎn) C2 、C3、C4 ．關(guān)于點(diǎn) C5 考慮另一種方法．
【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程
表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)C5坐標(biāo)為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示線段：

聯(lián)立方程：，，
總結(jié)：
【典例分析】
【考點(diǎn)1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；
（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．
【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與線段BC交于點(diǎn)M，連接PC．當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式2-1】（2022?東營(yíng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過點(diǎn)B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，連接PC．
①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（知識(shí)解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)之等腰三角形存在性問題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的等腰三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運(yùn)用。
【解題思路】
等腰三角形的存在性問題
【方法1 幾何法】“兩圓一線”
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
注意：若有重合的情況，則需排除．
以點(diǎn) C1 為例，具體求點(diǎn)坐標(biāo)：
過點(diǎn)A作AH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，則AH=1，
又
類似可求點(diǎn) C2 、C3、C4 ．關(guān)于點(diǎn) C5 考慮另一種方法．
【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程
表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)C5坐標(biāo)為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示線段：

聯(lián)立方程：，，
總結(jié)：
【典例分析】
【考點(diǎn)1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1） y＝， （2） m＝時(shí)，△ADE的面積取得最大值為 （3）點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得，
所以二次函數(shù)的解析式為：y＝，
（2）y＝的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，
當(dāng)PA2＝PE2時(shí)，9+n2＝1+（n+2）2，
解得，n＝1，此時(shí)P（﹣1，1）；
當(dāng)PA2＝AE2時(shí)，9+n2＝20，
解得，n＝，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；
當(dāng)PE2＝AE2時(shí)，1+（n+2）2＝20，
解得，n＝﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．
綜上所述，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對(duì)稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；
（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)B與A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴B（3，0），
設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
故拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）存在，設(shè)Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，
∵以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，
當(dāng)AC＝AQ時(shí)，10＝2m2﹣4m+10，
解得：m＝0（舍去）或m＝2，
∴Q（2，1）；
當(dāng)AC＝CQ時(shí)，10＝2m2，
解得：m＝﹣（舍去）或m＝，
∴Q（，3﹣）；
當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，2m2﹣4m+10＝2m2，
解得：m＝，
∴Q（，）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）．
【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）設(shè)拋物線沿x軸負(fù)方向平移2m個(gè)單位，則沿y軸正方向平移m個(gè)單位，
∴B點(diǎn)平移對(duì)應(yīng)點(diǎn)M（4﹣2m，m），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N（﹣2m，2+m），
∴AM＝，AN＝，MN＝2，
①當(dāng)MN＝AM時(shí)，＝2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；
②當(dāng)MN＝AN時(shí)，＝2，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴M（4﹣2，）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．
【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與線段BC交于點(diǎn)M，連接PC．當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝時(shí)，PM最大＝
②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）解法一：當(dāng)PM＝PC時(shí)，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1＝n2＝0（不符合題意，舍），n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P（2，﹣3）．
當(dāng)PM＝MC時(shí)，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，
解得n1＝0（不符合題意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合題意，舍），
n2﹣2n﹣3＝2﹣4，
P（3﹣，2﹣4）．
綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
解法二：當(dāng)PM＝PC時(shí)，
∵BC：y＝x﹣3
∴∠ABC＝45°
∵PH⊥AB
∴∠BMH＝∠CMP＝45°
∴PM＝PC時(shí)，△CPM為等腰直角三角形，CP∥x軸
設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），則CP＝n
MP＝﹣n2+3n
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝0（舍去）或n＝2，
∴P（2，﹣3）
當(dāng)PM＝CM時(shí)，設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），
則＝﹣n2+3n
＝﹣n2+3n
∵n＞0
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝3﹣
∴P（3﹣，2﹣4）
綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）
【變式2-1】（2022?東營(yíng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
當(dāng)C、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)，△ACQ的周長(zhǎng)最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）當(dāng)∠BPM＝90°時(shí)，PM＝PB，
∴M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，
∴M（﹣1，0）；
當(dāng)∠PBM＝90°時(shí)，PB＝BM，
如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)B作x軸的垂線GH，過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H，過點(diǎn)M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
設(shè)P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M(jìn)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）；
如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)下方時(shí)，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．
【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過點(diǎn)B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，連接PC．
①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）對(duì)于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，
故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，﹣3），
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)：點(diǎn)M（x，x﹣3），則點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），
①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，PM最大值為：；
②存在，理由：
PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；
PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；
MC2＝（x﹣3+3）2+x2；
（Ⅰ）當(dāng)PM＝PC時(shí)，則（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，
解得：x＝0或2（舍去0），
故x＝2，故點(diǎn)P（2，﹣3）；
（Ⅱ）當(dāng)PM＝MC時(shí)，則（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，
解得：x＝0或3±（舍去0和3+），
故x＝3﹣，則x2﹣2x﹣3＝2﹣4，
故點(diǎn)P（3﹣，2﹣4）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．

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備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）：

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