一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題03 平行線四大模型（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
歷年中考考試中，有不少題目都考查了平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，現(xiàn)汲取四大模型，供同學(xué)們賞析，希望能到達(dá)指導(dǎo)學(xué)習(xí)之目的。
【方法技巧】
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，則AB∥CD.
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “鉛筆”模型】
【典例1】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【變式1-1】把一塊等腰直角三角尺和直尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【典例2】問(wèn)題情境：
（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．
（提示：如圖2，過(guò)P作PE∥AB）問(wèn)題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）
【變式2-1】已知，AB∥CD，試解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，∠1+∠2＝ ；
（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【變式2-2】如圖，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度數(shù)；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點(diǎn)Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．
【模型2 “豬蹄”模型（M模型）】
【典例3】【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．
【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝ ．
【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．
【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．
【變式3-1】如圖所示是汽車燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【變式3-2】學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝ ．
（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
【變式3-3】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．
【模型3“鋸齒”模型】
【典例4】如圖，點(diǎn)P在直線CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求證：∠E＝∠F．
【變式4-1】2022北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．
【變式4-2】如圖已知：∠1＝∠2，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使AB∥CD成立，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
【變式4-3】如圖（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三條折線段．
（1）若∠E＝∠F，如圖（b）所示，求證：∠1＝∠2；
（2）根據(jù)圖（a），寫(xiě)出∠1+∠E與∠2+∠F之間的關(guān)系，不需證明．
專題03 平行線四大模型（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
歷年中考考試中，有不少題目都考查了平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，現(xiàn)汲取四大模型，供同學(xué)們賞析，希望能到達(dá)指導(dǎo)學(xué)習(xí)之目的。
【方法技巧】
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，則AB∥CD.
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “鉛筆”模型】
【典例1】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故選：A．
【變式1-1】把一塊等腰直角三角尺和直尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【答案】D
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB，則OP∥AB∥CD，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．
故選：D．
【典例2】問(wèn)題情境：
（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．
（提示：如圖2，過(guò)P作PE∥AB）問(wèn)題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖4，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【變式2-1】已知，AB∥CD，試解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，∠1+∠2＝ ；
（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；
（2）過(guò)點(diǎn)E作一條直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）過(guò)點(diǎn)E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n﹣2）條輔助線，運(yùn)用（n﹣1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個(gè)角的和是180°（n﹣1）．
【變式2-2】如圖，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度數(shù)；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點(diǎn)Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，
∴∠E＝∠1＝50°，
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BQ，
由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，
∵BQ∥GE，
∴AM∥BQ∥GE，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，
∵AM∥BQ，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【模型2 “豬蹄”模型（M模型）】
【典例3】【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．
【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝ ．
【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．
【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠C＝28°，
∵∠AEC是△AEF的一個(gè)外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，
故答案為：70°；
（2）利用（1）的結(jié)論可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度數(shù)為45°；
（3）∵BC∥DF，
∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度數(shù)為129°．
【變式3-1】如圖所示是汽車燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：連接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故選：C．
【變式3-2】學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．
（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝ ．
（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
【解答】解：（1）∵記過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線為PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案為：∠APB＝∠A+∠B；
（2）發(fā)生變化，
如圖，過(guò)點(diǎn)PF∥AC，則∠APF＝∠A，
∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【變式3-3】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．
【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．
延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
連接QP并延長(zhǎng)，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
（或由（2）的結(jié)論得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【模型3“鋸齒”模型】
【典例4】如圖，點(diǎn)P在直線CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求證：∠E＝∠F．
【解答】證明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠BAP＝∠APC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性質(zhì)），
∴AE∥PF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
【變式4-1】2022北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．
【解答】解：方法一：延長(zhǎng)AB交直線DE于點(diǎn)G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AF，過(guò)點(diǎn)C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度數(shù)為60°．
【變式4-2】如圖已知：∠1＝∠2，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使AB∥CD成立，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
【解答】解：添加∠E＝∠F，
證明過(guò)程如下：
∵∠E＝∠F，
∴AE∥DF，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AB∥CD．
【變式4-3】如圖（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三條折線段．
（1）若∠E＝∠F，如圖（b）所示，求證：∠1＝∠2；
（2）根據(jù)圖（a），寫(xiě)出∠1+∠E與∠2+∠F之間的關(guān)系，不需證明．
【解答】解：（1）∵∠BAG+∠AGD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGC，
∵∠E＝∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG＝∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG＝∠AGC﹣∠AGE
∴∠1＝∠2，
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF＝∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA＝∠F+∠GAF，
∴上述兩式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA＝∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E＝∠2+∠F；
模型一“鉛筆”模型
點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、 CD內(nèi)部
“鉛筆”模型
模型二“豬蹄”模型（M模型）
點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、 CD內(nèi)部
“豬蹄”模型
模型三“臭腳”模型
點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、 CD外部
“臭腳”模型
模型四“骨折”模型
點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
模型一“鉛筆”模型
點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、 CD內(nèi)部
“鉛筆”模型
模型二“豬蹄”模型（M模型）
點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、 CD內(nèi)部
“豬蹄”模型
模型三“臭腳”模型
點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、 CD外部
“臭腳”模型
模型四“骨折”模型
點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型

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