一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題05二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)與相似三角形是中考數(shù)學(xué)的壓軸題，具有一定的難度，也是中考考頻比較高的，本節(jié)未同學(xué)們提供解題途徑，希望能夠助同學(xué)們輕松解題。
【解題思路】
關(guān)函數(shù)與相似三角形的問(wèn)題一般 三個(gè)解決途徑：
(1)求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)， 先要分析已知三角形的邊和角的特 點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特 殊三角形．根據(jù)未知三角形中已知 邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類 討論；
(2)利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 數(shù)來(lái)推導(dǎo)邊的大??；
(3)若兩個(gè)三角形的各邊均未給出， 則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù) 解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利 用相似來(lái)列方程求解．
【典例分析】
【典例1】（2019?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式1-1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【變式1-2】（2022?綿陽(yáng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【典例2】（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式2-1】（2022?遼寧）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時(shí)（AE與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式2-2】（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式2-3】（2021?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
專題05二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）
【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)與相似三角形是中考數(shù)學(xué)的壓軸題，具有一定的難度，也是中考考頻比較高的，本節(jié)未同學(xué)們提供解題途徑，希望能夠助同學(xué)們輕松解題。
【解題思路】
關(guān)函數(shù)與相似三角形的問(wèn)題一般 三個(gè)解決途徑：
(1)求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)， 先要分析已知三角形的邊和角的特 點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特 殊三角形．根據(jù)未知三角形中已知 邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類 討論；
(2)利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 數(shù)來(lái)推導(dǎo)邊的大??；
(3)若兩個(gè)三角形的各邊均未給出， 則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù) 解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利 用相似來(lái)列方程求解．
【典例分析】
【典例1】（2019?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE與△ABC相似時(shí)，分為兩種情況：
①當(dāng)∠ACB＝∠BOQ時(shí)，
AB＝4，BC＝3，AC＝，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，
則sin∠ACB＝＝，則tan∠ACB＝2，
則直線OQ的表達(dá)式為：y＝﹣2x…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝或﹣，
故點(diǎn)Q（，﹣2）或（﹣，2），
②∠BAC＝∠BOQ時(shí)，
tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
則點(diǎn)Q（n，﹣3n），
則直線OQ的表達(dá)式為：y＝﹣3x…③，
聯(lián)立①③并解得：x＝，
故點(diǎn)Q（，）或（，）；
綜上，當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，Q的坐標(biāo)為：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．
【變式1-1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（3）①當(dāng)△AOC∽△DPA時(shí)，
∵PD⊥x軸，∠DPA＝90°，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，橫坐標(biāo)x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
∵PD⊥x軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
②當(dāng)△AOC∽△DAP時(shí)，
此時(shí)∠APG＝∠ACO，
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+3），
則，
解得：m＝，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．
【變式1-2】（2022?綿陽(yáng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）∵頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），
將C（0，3）代入拋物線的解析式，
則﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓，如圖所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由拋物線的對(duì)稱性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），
∴AD＝2，DE＝，AE＝3．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵點(diǎn)M在直線l下方的拋物線上，
∴設(shè)M（t，﹣t2+2t+3），則t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF與△ADE相似，則EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，
∴M的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
綜上，存在點(diǎn)M，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
【典例2】（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣2t2+2t+4），則OH＝t，BH＝2﹣t，
分兩種情況：
①如圖2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如圖3，△PCM∽△BHM，則∠PCM＝∠BHM＝90°，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（，）．
【變式2-1】（2022?遼寧）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時(shí)（AE與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵C（0，﹣3），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
設(shè)Q（x，y），
①當(dāng)△CDF∽△QAE時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（﹣7，5）；
②當(dāng)△CDF∽△AQE時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍去）或，
∴Q（﹣12，5）；
③當(dāng)△CDF∽△EQA時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣10）；
④當(dāng)△CDF∽△QEA時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣5）；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【變式2-2】（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）如圖：
由在y＝﹣x2+3x+4得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，
設(shè)Q（，t），則P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①當(dāng)＝時(shí)，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②當(dāng)＝時(shí)，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
綜上所述，Q的坐標(biāo)是（，）或（，）或（，）．
【變式2-3】（2021?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴拋物線對(duì)稱軸為：x＝﹣1，
∵EN∥y軸，
∴△BEN∽△BCO，
∴，
∴，
∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥ED垂足為H，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x﹣1+2），
∴代入關(guān)系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），
②若△EPQ∽△OCB，如圖所示，
設(shè)P（x，2），
代入關(guān)系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得，（舍），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1﹣，2），
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）

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