知識點1 空間向量的有關概念
1．空間向量的定義及表示
2.幾類特殊的空間向量
知識點2 空間向量的線性運算
1.空間向量的加減運算
2.空間向量的數(shù)乘運算
3.空間向量的運算律
知識點3 共線向量與共面向量
1.直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量
定義：把與 SKIPIF 1 < 0 平行的非零向量稱為直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量．
2．共線向量與共面向量的區(qū)別
重難點1空間向量的線性運算
1．如圖，在空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，化簡下列各式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
2．如圖，點M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點，求證： SKIPIF 1 < 0 .
3． 在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，化簡 SKIPIF 1 < 0 ，并在圖中標出化簡結果．

4．如圖.空間四邊形OABC中， SKIPIF 1 < 0 ，點M在OA上，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，點N為BC的中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C1D1中， SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證： SKIPIF 1 < 0 .

6．如圖，設A是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外的一點，G是 SKIPIF 1 < 0 的重心.求證： SKIPIF 1 < 0 .
7．如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，M為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點．記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則下列正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
重難點2共線問題
8．設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間中兩個不共線的向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且A，B，D三點共線，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 _____；
9．在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點E，F(xiàn)分別是底面 SKIPIF 1 < 0 和側面 SKIPIF 1 < 0 的中心，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____．
10．(多選)若空間中任意四點O，A，B，P滿足 SKIPIF 1 < 0 =m SKIPIF 1 < 0 +n SKIPIF 1 < 0 ，其中m+n=1，則結論正確的有（ ）
A．P∈直線ABB．P?直線AB
C．O，A，B，P四點共面D．P，A，B三點共線
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，且 SKIPIF 1 < 0 ，則λ的值為_____；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方向相反，且 SKIPIF 1 < 0 ，則λ的值為_____.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個基底，下列不能與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構成空間的另一個基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．已知平面單位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若使 SKIPIF 1 < 0 成立的正數(shù) SKIPIF 1 < 0 有且只有一個，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_____.
14．如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)在對角線A1C上，且 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 .
（1）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 .
（2）求證：E，F(xiàn)，B三點共線.
15．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 為空間的9個點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求證：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
重難點3向量的共面問題
16．已知空間 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點共面，且其中任意三點均不共線，設 SKIPIF 1 < 0 為空間中任意一點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
17．已知點 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內，并且對空間任一點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____．
18．已知 SKIPIF 1 < 0 三點不共線，對于平面 SKIPIF 1 < 0 外的任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，判斷在下列各條件下的點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 是否共面．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
19．已知 SKIPIF 1 < 0 為兩個不共線的非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 四點共面．
20． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三個不共面的向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點共面，則 SKIPIF 1 < 0 的值為_____.
21．下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．若{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
知識點1 空間向量的夾角
如圖，已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，在空間任取一點 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角，記作 SKIPIF 1 < 0 ，
夾角的范圍： SKIPIF 1 < 0 ，特別地，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，記作 SKIPIF 1 < 0
知識點2 空間向量的數(shù)量積運算
1．空間向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量積，記作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 SKIPIF 1 < 0 .
2．數(shù)量積的運算律
3．投影向量
在空間，向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量 SKIPIF 1 < 0 共線的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 稱為向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．
4．數(shù)量積的性質
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為非零向量，
則（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；（5） SKIPIF 1 < 0
重難點4空間向量數(shù)量積的運算
23．在正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，棱長為1，且D為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 _____.
25．在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上任意一點，則 SKIPIF 1 < 0 =_____.
26．給出下列命題：
①空間中任意兩個單位向量必相等；
②若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
③在向量的數(shù)量積運算中 SKIPIF 1 < 0 ；
④對于非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，其中假命題的個數(shù)是_____．
27．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．設 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
其中正確的個數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
29．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角都是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，試求
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
30．在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____
重難點5用數(shù)量積解決夾角問題
31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的長；
(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.
32．（多選）如圖所示，平行六面體 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列說法中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 是相交直線
D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0
33．已知向量 SKIPIF 1 < 0 都是空間向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____.
34．已知不共面的三個向量 SKIPIF 1 < 0 都是單位向量，且夾角都是 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
35．如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 中點．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
36．如圖，二面角 SKIPIF 1 < 0 的棱上有兩個點A，B，線段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若 SKIPIF 1 < 0 ，則平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為_____．
重難點6投影向量
37．在標準正交基 SKIPIF 1 < 0 下，已知向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影為_____，在 SKIPIF 1 < 0 上的投影之積為_____．
38．已知 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 為單位向量， SKIPIF 1 < 0 ，則空間向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影為_____．
39．如圖，在長方體 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別求向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影數(shù)量．
40．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量等于_____.
41．在棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是_____．
42．如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)確定 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)確定 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ．
重難點7用數(shù)量積求線段長度
43．棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形） SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
44．如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．5B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
45．如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 及線段 SKIPIF 1 < 0 的長為分別為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
46．如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，分別記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
47．如圖所示，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將它沿對角線 SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角，則 SKIPIF 1 < 0 間的距離等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 或2D．1或 SKIPIF 1 < 0
48．平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
49．棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ，DB的中點，G在棱CD上，且 SKIPIF 1 < 0 ，H是 SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)求FH的長．
定義
在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量
長度或模
空間向量的大小叫做空間向量的長度或模
表示方法
幾何表示法
空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模
符號表示法
若向量 SKIPIF 1 < 0 的起點是A，終點是B，則 SKIPIF 1 < 0 也可記作 SKIPIF 1 < 0 ，其模記為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
名稱
方向
模
表示法
零向量
任意
0
記為 SKIPIF 1 < 0
單位向量
1
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
相反向量
相反
相等
記為 SKIPIF 1 < 0
共線向量
相同或相反
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
相等向量
相同
相等
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
加法運算
三角形法則
語言敘述
首尾順次相接，首指向尾為和
圖形敘述
平行四邊形法則
語言敘述
共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和
圖形敘述
減法運算
三角形法則
語言敘述
共起點，連終點，方向指向被減向量
圖形敘述
定義
與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量 SKIPIF 1 < 0 的乘積 SKIPIF 1 < 0 仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘
幾何意義
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同
SKIPIF 1 < 0 的長度是 SKIPIF 1 < 0 的長度的 SKIPIF 1 < 0 倍
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其方向是任意的
交換律
SKIPIF 1 < 0
結合律
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
分配律
SKIPIF 1 < 0
共線(平行)向量
共面向量
定義
位置關系
表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量
平行于同一個平面的向量叫做共面向量
特征
方向相同或相反
特例
零向量與任意向量平行
充要條件
共線向量定理：對于空間任意兩個向量 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0
共面向量定理：若兩個向量 SKIPIF 1 < 0 不共線，則向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使 SKIPIF 1 < 0
對空間任一點O， SKIPIF 1 < 0
空間中 SKIPIF 1 < 0 四點共面的充要條件是存在有序實數(shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使得對空間中任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結合律
SKIPIF 1 < 0
交換律
SKIPIF 1 < 0
分配律
SKIPIF 1 < 0

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