一、選擇題
1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，若S6＝9S3，S5＝62，則a1＝( )
A． eq \r(2) B．2
C． eq \r(5) D．3
2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝ eq \f(1,8) ，4a2a4＝4a3－1，則a2＝( )
A．± eq \f(1,4) B． eq \f(1,4)
C．± eq \f(1,16) D． eq \f(1,16)
3．等比數(shù)列{an}中，若an>0，a2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，則公比q＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C．2 D．4
4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
5．設(shè){an}是公比為q＞1的等比數(shù)列，若a2 010和a2 011是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a2 012＋a2 013＝( )
A．18 B．10
C．25 D．9
6．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若a1＝－24，a4＝－ eq \f(8,9) ，則當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．6
7．[2022·全國(guó)乙卷(理)，8]已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D. 3
8．[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
9．(多選)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6＝8a3，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．{an}為單調(diào)遞增數(shù)列
B． eq \f(S6,S3) ＝9
C．S3，S6，S9成等比數(shù)列
D．Sn＝2an－a1
二、填空題
10．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝ eq \f(7,4) ，S6＝ eq \f(63,4) ，則a8＝________．
11．[2023·全國(guó)乙卷(理)]已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.
12．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________．
[能力提升]
13．[2023·全國(guó)甲卷(理)]設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝( )
A． eq \f(15,8) B． eq \f(65,8)
C．15 D．40
14．設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 eq \f(2,3) 的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
15．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝ eq \f(1,3) ，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，則S5＝________．
16．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
專練31 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
1．B 由題意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q6）,1－q)＝9×\f(a1（1－q3）,1－q)，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3＝8，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝2，)) 選B.
2．A 因?yàn)?a2a4＝4a3－1，所以4a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q4＝4a1q2－1，又a1＝ eq \f(1,8) ，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝ eq \f(1,8) ×(±2)＝± eq \f(1,4) .故選A.
3．B 由等比數(shù)列的性質(zhì)得a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝a2a4＝1，結(jié)合an>0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得 eq \f(a3,q2) ＋ eq \f(a3,q) ＋a3＝7，則 eq \f(1,q2) ＋ eq \f(1,q) ＝6，結(jié)合q>0，得q＝ eq \f(1,2) ，故選B.
4．C ∵4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，∴4a2＝4a1＋a3.又{an}為等比數(shù)列，∴4q＝4＋q2，∴q＝2.又a1＝1，
∴S4＝ eq \f(a1（1－q4）,1－q) ＝ eq \f(1－24,1－2) ＝15.
5．A 由題意可得：a2010＝ eq \f(1,2) ，a2011＝ eq \f(3,2) ，又{an}為等比數(shù)列，∴q＝3.
∴a2012＋a2013＝ eq \f(9,2) ＋ eq \f(27,2) ＝18.
6．C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝－24q3＝－ eq \f(8,9) ，q3＝ eq \f(1,27) ，q＝ eq \f(1,3) ，此等比數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn為負(fù)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn為正數(shù)，所以Tn取得最大值時(shí)，n為偶數(shù)，排除B，而T2＝(－24)2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) ＝24×8＝192，
T4＝(－24)4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(6) ＝84× eq \f(1,9) ＝ eq \f(84,9) ＞192，
T6＝(－24)6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(15) ＝86× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(9) ＝ eq \f(86,39) ＝ eq \f(1,9) × eq \f(86,37) ＜ eq \f(84,9) ，T4最大，故選C.
7．D 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由題意知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,q)＋a2＋a2q＝168，,a2－a2q3＝42.)) 兩式相除，得 eq \f(1＋q＋q2,q（1－q3）) ＝4，解得q＝ eq \f(1,2) .代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故選D.
8．C 方法一 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5,\f(a1（1－q6）,1－q)＝21×\f(a1（1－q2）,1－q))) ，化簡(jiǎn)整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q2＝4,\f(a1,1－q)＝\f(1,3))) .所以S8＝ eq \f(a1（1－q8）,1－q) ＝ eq \f(1,3) ×(1－44)＝－85.故選C.
方法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……為等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝ eq \f(5,4) .當(dāng)S2＝－1時(shí)，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；當(dāng)S2＝ eq \f(5,4) 時(shí)，結(jié)合S4＝－5得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝－5,\f(a1（1－q2）,1－q)＝\f(5,4))) ，化簡(jiǎn)可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故選C.
9．BD 由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，則q＝2，
當(dāng)首項(xiàng)a1＜0時(shí)，可得{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
由 eq \f(S6,S3) ＝ eq \f(1－26,1－23) ＝9，故B正確；
假設(shè)S3，S6，S9成等比數(shù)列，可得S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝S3S9，
即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，顯然不成立，
所以S3，S6，S9不成等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
由{an}是公比q的等比數(shù)列，可得Sn＝ eq \f(a1－anq,1－q) ＝ eq \f(2an－a1,2－1) ＝2an－a1，故D正確．
10．32
解析：設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，
則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,4)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))
所以a8＝ eq \f(1,4) ×27＝25＝32.
11．－2
解析：方法一 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1 ①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q17＝－8 ②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
方法二 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
12．－8
解析：由{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q.
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝－1，,a1－a3＝－3，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝－1， ①,a1－a1q2＝－3， ②))
顯然q≠1，a1≠0，
eq \f(②,①) 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
13．C 方法一 若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由 eq \f(1－q5,1－q) ＝5× eq \f(1－q3,1－q) －4，化簡(jiǎn)得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝ eq \f(1－q4,1－q) ＝15.故選C.
方法二 由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.
14．D ∵a1＝1，q＝ eq \f(2,3) ，
∴Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q) ＝3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(n))) ＝3－2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1) ＝3－2an.
15. eq \f(121,3)
解析：通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍 eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝ eq \f(1,3) ，所以q＝3，所以S5＝ eq \f(a1（1－q5）,1－q) ＝ eq \f(\f(1,3)×（1－35）,1－3) ＝ eq \f(121,3) .
優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍 eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝ eq \f(1,3) ，所以q＝3，所以S5＝ eq \f(a1（1－q5）,1－q) ＝ eq \f(\f(1,3)×（1－35）,1－3) ＝ eq \f(121,3) .
16．64
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q2＝10，,a1q＋a1q3＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))
∴a1a2…an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)n（n－7）)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2)－\f(49,4))) ，
當(dāng)n＝3或4時(shí)， eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))\s\up12(2)－\f(49,4))) 取到最小值－6，此時(shí) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2)－\f(49,4))) 取到最大值26，所以a1a2…an的最大值為64.

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