4.4 平行線的判定
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識(shí)點(diǎn) 平行線的判定

1.(2023浙江杭州臨平月考)如圖,已知∠B=∠AEF,則(M7204005)( )
A.EF∥BCB.AD∥EF
C.AD∥BCD.AB∥CD
2.(2023四川成都武侯期末)如圖,在四邊形ABCD中,∠1=∠2,則下列結(jié)論一定成立的是(M7204005) ( )
A.AB∥CDB.AD∥BC
C.∠A=∠CD.AB=CD
3.如圖,點(diǎn)E在AD的延長線上,下列條件能判斷AB∥CD的是( )
A.∠3=∠4B.∠C+∠ADC=180°
C.∠C=∠CDED.∠A+∠ADC=180°
4.【新考法】(2023河北邯鄲魏縣期中)如圖,過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線,其依據(jù)是 ( )
A.兩直線平行,同位角相等
B.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行
C.同位角相等,兩直線平行
D.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等
5.(2023湖南長沙南雅中學(xué)期中)如圖所示,若∠1=60°,∠2=120°,∠3=70°,則∠4的度數(shù)是( )
A.70°B.60°
C.50°D.40°
6.如圖,直線l分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)E、F,EG平分∠BEF交直線CD于點(diǎn)G,若∠1=∠BEF=68°,則∠EGF的度數(shù)為( )
A.68°B.38°
C.36°D.34°
7.(2023山西呂梁孝義期中)如圖,D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn),DE∥AB,要使DF∥AC,可添加的條件是( )
A.∠FDE=∠AB.∠DEC=∠A
C.∠AED+∠A=180°D.∠DEC=∠B
8.【一題多變】【三線八角模型】如圖,填空.
(1)如果∠3=∠A,那么根據(jù) ,可得 ∥ ;
(2)如果∠1=∠2,那么根據(jù) ,可得 ∥ ;
(3)如果∠DAB+∠ABC=180°,那么根據(jù) ,可得 ∥ .(M7204005)
[變式·圖變]如圖,填空.
(1)如果∠A=∠3,那么 ∥ ,依據(jù)是 .
(2)如果∠2=∠E,那么 ∥ ,依據(jù)是 .
(3)如果∠A+∠ABE=180°,那么 ∥ ,依據(jù)是 .
9.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,∠ACB=80°,CD平分∠ACB,∠1=40°,試說明:DE∥BC.
10.【跨學(xué)科·物理】光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象,從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象,如圖,光線a從空氣中射入水中,再從水中射入空氣中,形成光線b,已知∠1=∠2,∠3=∠4,請判斷光線a與光線b是否平行,并說明理由.(M7204005)
11.(2023湖南永州江永期末)如圖,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠DAB,且∠CAD=25°,∠B=95°.(M7204005)
(1)試說明:DC∥AB;
(2)求∠ACE的度數(shù).
12.(2023北京朝陽期末)如圖,AF∥DE,∠ABC=60°,CM平分∠BCE,∠MCN=90°.(M7204005)
(1)求∠DCN的度數(shù);
(2)若∠CBF的平分線交CN于N,試說明:BN∥CM.
能力提升全練
13.(2023浙江金華中考,7,★☆☆)如圖,已知∠1=∠2=∠3=50°,則∠4的度數(shù)是( )
A.120°B.125°C.130°D.135°
14.【真實(shí)情境】(2023福建龍巖漳平期中,8,★★☆)某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”,可抽象為如圖所示的數(shù)學(xué)圖形.已知∠CDF=90°,當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后,曲臂直桿道閘的BC段將繞點(diǎn)C緩慢旋轉(zhuǎn)進(jìn)而向上抬高,AB段則一直保持水平狀態(tài)上升(即AB始終平行于DF).在該運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)∠ABC=112°時(shí),∠BCD的度數(shù)是( )
A.112°B.138°C.158°D.128°
15.(2021浙江溫州期末,18,★★★)圖①是某消防云梯車的示意圖,消防云梯由救援臺(tái)AB,延展臂BC(B在C的左側(cè)),伸展主臂CD,支撐臂EF構(gòu)成,在操作過程中,救援臺(tái)AB,車身GH及地面MN三者始終保持平行,當(dāng)∠EFH=55°,BC∥EF時(shí),∠ABC= 度;如圖②,當(dāng)延展臂BC與支撐臂EF所在直線的夾角為90°,且∠EFH=78°時(shí),∠ABC= 度.
圖①
圖②
16.(2023廣東揭陽揭東期末,18,★★☆)已知:如圖,∠A=∠ADE,∠C=∠E.(M7204005)
(1)試說明:BE∥CD.
(2)若∠EDC=2∠C,求∠C的度數(shù).
17.(2023湖南岳陽華容期末,22,★★☆)如圖1,在五邊形ABCDE中,AE∥BC,∠A=∠C.(M7204005)
(1)猜想AB與CD之間的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)延長DE至F,連接BE,如圖2,若∠1=∠3,∠AEF=2∠2,試說明:∠AED=∠C.

18.(2023山東泰安肥城期中,22,★★☆)已知:如圖,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.(M7204005)
(1)試說明:AD∥BE;
(2)若∠B=∠3=2∠2,求∠D的度數(shù).
素養(yǎng)探究全練
19.【推理能力】如圖所示,已知射線CB∥OA,∠C=∠OAB=110°,E、F在CB上,且滿足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF,根據(jù)上述條件,解答下列問題.
(1)試說明:OC∥AB.
(2)求∠EOB的度數(shù).
(3)若平行移動(dòng)AB,則∠OBC∶∠OFC的值是否隨之變化?若不變,求出這個(gè)比值;若變化,請說明理由.
20.【推理能力】(2023廣東東莞翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)已知,直線EF分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)G、H,并且∠AGE+∠DHE=180°.(M7204005)
(1)如圖1,試說明:AB∥CD.
(2)如圖2,點(diǎn)M在直線AB、CD之間,連接MG、HM,當(dāng)∠AGM=32°,∠MHC=68°時(shí),求∠GMH的度數(shù).
(3)只保持(2)中所求∠GMH的度數(shù)不變,如圖3,GO是∠AGM的平分線,交CD于點(diǎn)O,HQ是∠MHD的平分線,作HN∥GO,則∠QHN的度數(shù)是否改變?若不發(fā)生改變,請求出它的度數(shù);若發(fā)生改變,請說明理由.

第4章 相交線與平行線
4.4 平行線的判定
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.A ∵∠B=∠AEF,∴EF∥BC,故選項(xiàng)A正確,無法判斷AD∥EF、AD∥BC、AB∥CD.
2.A ∵∠1=∠2,∴AB∥CD.(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
3.D 根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行即可證得AB∥DC.
4.C 根據(jù)三角板的位置,結(jié)合平行線的判定方法,可知其依據(jù)是同位角相等,兩直線平行.
5.A ∵∠2=120°,∴∠5=180°-∠2=60°,∵∠1=60°,∴∠1=∠5,∴l(xiāng)1∥l2,∴∠3=∠6,∵∠3=70°,∴∠6=70°,∴∠4=∠6=70°,故選A.
6.D 因?yàn)镋G平分∠BEF,所以∠GEB=12∠BEF=34°,因?yàn)椤?=∠BEF,所以CD∥AB,所以∠EGF=∠GEB=34°,故選D.
7.A ∵DE∥AB,∴∠A=∠DEC,∠EDC=∠B,
∵∠FDE=∠A,∴∠DEC=∠FDE,
∴DF∥AC,故A符合題意;當(dāng)∠DEC=∠A時(shí),不能判定DF∥AC,故B不符合題意;
當(dāng)∠AED+∠A=180°時(shí),可得AB∥DE,不能判定DF∥AC,故C不符合題意;當(dāng)∠DEC=∠B時(shí),∠DEC=∠EDC,不能判定DF∥AC,故D不符合題意.
8.答案 (1)同位角相等,兩直線平行;DC;AB
(2)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;DC;AB
(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;AD;BC
解析 (1)∠3與∠A是同位角,根據(jù)同位角相等,兩直線平行,可得DC∥AB.
(2)∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可得DC∥AB.
(3)∠DAB與∠ABC是同旁內(nèi)角,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,可得AD∥BC.
[變式] 答案 (1)AD;BE;同位角相等,兩直線平行
(2)BD;CE;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行
(3)AD;BE;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行
9.解析 ∵CD平分∠ACB,∠ACB=80°,
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,
∵∠1=40°,∴∠1=∠BCD,
∴DE∥BC.
10.解析 平行.理由:∵∠1=∠2,∴∠5=∠6,
∵∠3=∠4,∴∠3+∠5=∠4+∠6,∴a∥b.
11.解析 (1)∵∠DAB+∠D=180°,∴DC∥AB.
(2)∵AC平分∠DAB,DC∥AB,
∴∠B=∠DCE=95°,∠ACD=∠CAB=∠CAD=25°,∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°.
12.解析 (1)∵AF∥DE,∠ABC=60°,
∴∠BCE=180°-60°=120°,∠BCD=∠ABC=60°,
∵CM平分∠BCE,∴∠MCB=60°,
∵∠MCN=90°,∴∠BCN=90°-60°=30°,
∴∠DCN=60°-30°=30°.
(2)∵∠ABC=60°,∴∠FBC=120°,
∵BN平分∠FBC,∴∠NBC=60°,
∵∠BCM=60°,∴∠NBC=∠BCM,
∴BN∥CM.
能力提升全練
13.C ∵∠1=∠3=50°,∴a∥b,∴∠5+∠2=180°,
∵∠2=50°,∴∠5=130°,∴∠4=∠5=130°.
14.C 如圖所示,過點(diǎn)C作CM∥AB,
∵DF∥AB,∴CM∥AB∥DF,∴∠ABC+∠BCM=180°,∠MCD+∠CDF=180°,∵∠ABC=112°,∠CDF=90°,∴∠BCM=68°,∠MCD=90°,
∴∠BCD=∠BCM+∠MCD=158°.
15.答案 125;168
解析 延長CB,HG相交于點(diǎn)K,如圖①所示,
∵BC∥EF,∠EFH=55°,
∴∠BKH=∠EFH=55°,
∵AB∥GH,∴∠ABK=∠BKH=55°,
∴∠ABC=180°-∠ABK=125°;
延長BC,FE相交于點(diǎn)P,延長AB交FE的延長線于點(diǎn)Q,如圖②所示,
∵AB∥FH,∠EFH=78°,∴∠Q=∠EFH=78°,
由題意得∠BPQ=90°,
∴∠PBQ=180°-90°-78°=12°,
∴∠ABC=180°-∠PBQ=180°-12°=168°.
圖①
圖②
16.解析 (1)∵∠A=∠ADE,∴DE∥AC,∴∠E=∠ABE,∵∠C=∠E,∴∠ABE=∠C,∴BE∥CD.
(2)∵DE∥AC,∴∠EDC+∠C=180°,∵∠EDC=2∠C,∴3∠C=180°,∴∠C=60°.
17.解析 (1)AB∥CD.理由:∵AE∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD.
(2)由(1)知AB∥CD,∴∠C+∠1+∠2=180°,
∵AE∥BC,∴∠2=∠3,
∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴∠C+2∠2=180°,
∵∠AED+∠AEF=180°, ∠AEF=2∠2,
∴∠AED+2∠2=180°,∴∠AED=∠C .
18.解析 (1)∵AB∥CD,∴∠1=∠ACD,∵∠BCD+∠DCE=180°,∠4+∠E+∠DCE=180°,∴∠BCD=∠4+∠E,∵∠BCD=∠3+∠ACD,∠3=∠4,∴∠1=∠E,
∵∠1=∠2,∴∠2=∠E,∴AD∥BE.
(2)∵∠B=∠3=2∠2,∠1=∠2,
∴∠B=∠3=2∠1,
∵∠B+∠3+∠1=180°,∴2∠1+2∠1+∠1=180°,解得∠1=36°,
∴∠B=2∠1=72°,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B=72°,∵AD∥BE,∴∠D=∠DCE=72°.
素養(yǎng)探究全練
19.解析 (1)∵CB∥OA,∠C=∠OAB=110°,
∴∠COA=180°-∠C=180°-110°=70°,
∴∠COA+∠OAB=180°,
∴OC∥AB.
(2)∵∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF,∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA=12×70°=35°.
(3)不變.∵CB∥OA,
∴∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA,
∴∠OBC∶∠OFC=∠AOB∶∠FOA,
又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB,
∴∠OBC∶∠OFC=1∶2=12.
20.解析 (1)∵∠AGE+∠BGE=180°,∠AGE+∠DHE=180°,∴∠BGE=∠DHE,
∴AB∥CD.
(2)∵AB∥CD,∴∠AGH+∠CHG=180°,即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC=180°,
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH=180°,∴∠GMH=∠AGM+∠MHC,∵∠AGM=32°,∠MHC=68°,
∴∠GMH=100°.
(3)∠QHN的度數(shù)不發(fā)生改變.
由(2)得∠AGM+∠MHC=∠GMH=100°,
∴∠MGH+∠MHG=80°,∵GO、HQ分別平分∠MGA、∠MHD,∴∠MGO=12∠MGA,∠MHQ=12∠MHD=12(180°-∠MHC)=90°-12∠MHC,
∴∠OGH=∠MGO+∠MGH=12∠MGA+∠MGH,
∵HN∥OG,∴∠GHN=∠OGH=12∠MGA+∠MGH,
∴∠QHN=∠GHN-∠GHQ=12∠MGA+∠MGH-(∠MHQ-∠MHG)=12∠MGA+∠MGH-∠MHQ+∠MHG=12∠MGA+80°-∠MHQ=12∠MGA+80°-90°?12∠MHC=-10°+12(∠MGA+∠MHC)=-10°+12×100°=40°.

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