平行線的判定（基礎）知識講解【學習目標】1.熟練掌握平行線的畫法；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行. 【要點梳理】要點一、平行線的畫法及平行公理1.平行線的畫法用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.2.平行公理及推論平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．要點詮釋：(1)平行公理特別強調“經過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質．(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點二、平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數推形.【典型例題】類型一、平行公理及推論1．下列說法中正確的有    (  )   ①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③因為a∥b，c∥d，所以a∥d；④經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．  A．1個    B 2個    C．3個    D．4個【答案】 A   【解析】一條直線的平行線有無數條，故①錯；②中的點在直線外還是在直線上位置不明確，所以②錯，③中b與c的位置關系不明確，所以③也是錯誤的；根據平行公理可知④正確，故選A．【總結升華】本題主要考察的是“平行公理及推論”的內容，要正確理解必須要抓住關鍵字詞及其重要特征，在理解的基礎上記憶，在比較中理解．舉一反三：【變式】直線a∥b，b∥c，則直線a與c的位置關系是        .【答案】平行  類型二、平行線的判定2.(江蘇)如圖所示，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件： ①∠1＝∠5；  ②∠1＝∠7；  ③∠2＋∠3＝180°；  ④∠4＝∠7，其中能判斷a∥b的條件的序號是    (    ). A．①②    B．①③    C．①④    D．③④【思路點撥】根據平行線的判定方法進行判斷．【答案】A 【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，兩直線平行．    ②∵  ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，    ∴  ∠1＝∠5，可推出a∥b．    ③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．④∠4＝∠7不能推出a∥b．【總結升華】從題目的結論出發(fā)分析所要說明的結論能成立，必須具備的是哪些條件，再看這些條件成立又需具備什么條件，直到追溯到已知條件為止．舉一反三：【變式1】如圖，下列條件中，不能判斷直線的是（    ）.A．∠1＝∠3　　B．∠2＝∠3　　C．∠4＝∠5　　D．∠2＋∠4＝1800 【答案】B【高清課堂：平行線及判定    例1】【變式2】已知，如圖，BE平分?ABC，CF平分?BCD，?1＝?2，求證：AB//CD．【答案】∵ ?1＝?2∴ 2?1＝2?2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （內錯角相等，兩直線平行）3.如圖所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪兩條直線平行．  【思路點撥】試著將復雜的圖形分解成“基本圖形”．【答案與解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性質），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．綜上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【總結升華】本題探索結論的過程采用了“由因索果”的方法．即在條件下探索由這些條件可推導出哪些結論，再由這些結論推導出新的結論，直到得出結果．  4.在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？【答案與解析】解：這兩條直線平行.理由如下：如圖：∵ b⊥a,  c⊥a∴ ∠1＝∠2＝90°∴  b∥c  (同位角相等，兩直線平行) ． 【總結升華】本題的結論可以作為兩直線平行的判定方法.舉一反三：【變式】已知，如圖，EF?EG，GM?EG，?1＝?2，AB與CD平行嗎？請說明理由．【答案】平行線的判定（基礎）鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題1.下列關于作圖的語句正確的是   （   ）.A．畫直線AB=10厘米.B．畫射線OB=10厘米.C．已知A，B，C三點，過這三點畫一條直線.D．過直線AB外一點畫一條直線和直線AB平行.2．下列判斷正確的個數是    (   ).    ①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②兩條不相交的直線叫做平行線；③在同一平面內不相交的兩條射線是平行線．    A．0個    B．1個    C．2個    D．3個 3．若直線a∥b，b∥c，則a∥c的依據是    (    ).    A．平行的性質    B．等量代換    C．平行于同一直線的兩條直線平行    D．以上都不對4．下列說法中不正確的是    (    ).    A．同位角相等，兩直線平行.    B．內錯角相等，兩直線平行.    C．同旁內角相等，兩直線平行.    D．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行.5．如圖所示，給出了過直線外一點P作已知直線l的平行線的方法，其依據是 (   ).    A．同位角相等，兩直線平行      B．內錯角相等，兩直線平行    C．同旁內角互補，兩直線平行    D．以上都不對6．如圖所示，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序號是(    ).    A．①②    B．①③    C．①④    D．③④二、填空題7.兩條射線或線段平行，是指                         .    8．如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關系是________．9．如圖，直線a和b被直線c所截，∠1＝110°，當∠2＝________時，有直線a∥b成立．10．如圖，已知若∠1+∠2=180°，則∠3+∠4=      ，AB    CD．11．小軍在一張紙上畫一條直線，再畫這條直線的平行線，然后依次畫前一條直線的平行線，當他畫到第十條直線時，第十條直線與第一條直線的位置關系是________．12. 已知直線a、b都過點M，且直線a∥l，b∥l，那么直線a、b是同一條直線，根據是________．三、解答題13.讀下列語句，用直尺和三角尺畫出圖形．    (1)點P是直線AB外的一點，直線CD經過點P，且CD與AB平行；    (2)直線AB與CD相交于點O，點P是AB、CD外的一點，直線EF經過點P，且EF∥AB，與直線CD相交于點E．14．（黃石)已知如圖，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分別是∠ABC、∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，那么CD與AB平行嗎?寫出推理過程． 15．如圖所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4應為多少度，說明理由． 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D； 2.【答案】A； 【解析】①該點若在已知直線上，畫不出與已知直線平行的直線；②平行線的定義必須強調在同一平面內，如圖①中的AB與CC′不相交，但也不平行．③如圖②中，射線AB與射線CD既不相交，也不平行．3．【答案】C； 【解析】這是平行線的傳遞性，其實質是平行公理的推論．4. 【答案】C； 【解析】同旁內角互補，兩直線平行.5. 【答案】A；    【解析】這種作法的依據是：同位角相等，兩直線平行．6. 【答案】A； 【解析】∠2和∠3，∠1和∠3不是由“三線”產生的角．二、填空題7. 【答案】射線或線段所在的直線平行；8．【答案】平行；【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.9．【答案】70°；10.【答案】180°，∥ ；   【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.11.【答案】平行；【解析】平行公理的推論12.【答案】過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；【解析】這是平行公理的具體內容.三、解答題13.【解析】解：  14．【解析】解：CD∥AB．理由如下：     ∵  BF、DE分別是∠ABC、∠ADC的角平分線，     ∴  ∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC．     ∵  ∠ABC＝∠ADC，     ∴  ∠3＝∠2．     又∵  ∠1＝∠2，     ∴  ∠3＝∠1．     ∴  CD∥AB(內錯角相等，兩直線平行)．15. 【解析】解： ∠4＝100°．理由如下：       ∵  ∠1＝60°，∠2＝60°，       ∴  ∠1＝∠2．       ∴  AB∥CD．又∵  ∠3＝∠4＝100°，∴  CD∥EF．∴  AB∥EF． 解：AB∥CD．理由如下：如圖：       ∵ EF?EG，GM?EG (已知)，    ∴  ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定義)．    又∵  ∠1＝∠2(已知)，    ∴  ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性質)，    即∠3＝∠4．    ∴ AB∥CD (同位角相等，兩直線平行)．  

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4.4 平行線的判定

版本： 湘教版

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