A級——基礎過關練
1．已知球O的表面積為16π，則球O的體積為( )
A． eq \f(4,3)πB． eq \f(8,3)π
C． eq \f(16,3)πD． eq \f(32,3)π
【答案】D
【解析】因為球O的表面積是16π，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為 eq \f(4π,3)×23＝ eq \f(32,3)π．故選D．
2．球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是( )
A． eq \f(π,3)B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,2)D．π
【答案】C
【解析】設球的內(nèi)接正方體的棱長為a，球的半徑為R，則3a2＝4R2，所以a2＝ eq \f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6× eq \f(4,3)R2＝8R2，所以 eq \f(S1,S2)＝ eq \f(π,2)．
3．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為( )
A． eq \f(8π,3)B． eq \f(32π,3)
C．8πD． eq \f(8\r(2)π,3)
【答案】C
【解析】設球的半徑為R，則截面圓的半徑為 eq \r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(R2－1))) eq \s\up12(2)＝(R2－1)π＝π．∴R2＝2．∴球的表面積S＝4πR2＝8π．
4．把一個鐵制的底面半徑為r，高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則這個鐵球的半徑為( )
A． eq \f(r\r(h),2) B． eq \f(r2h,4)
C． eq \r(3,\f(r2h,4)) D． eq \f(r2h,2)
【答案】C
【解析】設鐵球的半徑為R，因為 eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(4,3)πR3，所以R＝ eq \r(3,\f(r2h,4))．故選C．
5．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為( )
A．πB． eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,2)D． eq \f(π,4)
【答案】B
【解析】設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形．∴r＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(3),2)．∴圓柱的體積為V＝πr2h＝ eq \f(3,4)π×1＝ eq \f(3π,4)．故選B．
6．(2023年杭州期中)直徑為6 cm的一個大金屬球，熔化后鑄成若干個直徑為2 cm的小球，如果不計損耗，可鑄成這樣的小球的個數(shù)為( )
A．3B．6
C．9D．27
【答案】D
【解析】由于大金屬球的直徑為6 cm，故半徑為3 cm，所以V大球＝ eq \f(4,3)·π·33＝36π(cm3)，同理小金屬球的直徑為2 cm，故半徑為1 cm，所以V小球＝ eq \f(4,3)·π·13＝ eq \f(4,3)π(cm3)，故n＝ eq \f(V大球,V小球)＝ eq \f(36π,\f(4π,3))＝27．故選D．
7．(多選)下列說法正確的有( )
A．兩個球的半徑之比為1∶2，則其表面積之比為1∶4
B．兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4
C．經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑
D．若一個球的直徑是10，則它的體積為 eq \f(500,3)π
【答案】ACD
【解析】兩個球的半徑之比為1∶2，則其表面積之比為1∶4，體積之比為1∶8，A正確，B錯誤．C正確．D中，球的半徑為R＝ eq \f(10,2)＝5，故其體積為V＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)×π×53＝ eq \f(500,3)π，D正確．
8．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為__________．
【答案】16π
【解析】設正四棱錐的高為h，底面邊長為a．由V＝ eq \f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝ eq \r(6)．由題意知球心在正四棱錐的高上，設球的半徑為r，則(3－r)2＋( eq \r(3))2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π．
9．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則 eq \f(V1,V2)的值是__________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】設球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R．∴ eq \f(V1,V2)＝ eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3,2)．
10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．
解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
該組合體的體積V＝ eq \f(4,3)πr3＋πr2l＝ eq \f(4,3)π×13＋π×12×3＝ eq \f(13π,3)．
B級——能力提升練
11．(2023年西安月考)已知正四面體S－ABC的外接球表面積為6π，則正四面體S－ABC的棱長為( )
A．1B． eq \r(2)
C． eq \r(3)D．2
【答案】D
【解析】如圖，∵正四面體S－ABC的外接球表面積為6π，∴4πR2＝6π，解得R＝ eq \f(\r(6),2)．設正四面體的棱長為a，則S在底面ABC的射影D是底面ABC的重心，則AE＝ eq \f(\r(3),2)a，AD＝ eq \f(2,3)AE＝ eq \f(\r(3),3)a，則SD＝ eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(6a2,9))＝ eq \f(\r(6),3)a，則OD＝SD－SO＝ eq \f(\r(6),3)a－ eq \f(\r(6),2)．在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a)) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)a－\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)，即 eq \f(6,4)＝ eq \f(3,9)a2＋ eq \f(6,9)a2－2a＋ eq \f(6,4)，得a2－2a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝2．故選D．
12．(2023年邢臺一模)已知圓臺的上、下底面圓的半徑之比為 eq \f(1,2)，側面積為9π，在圓臺的內(nèi)部有一球O，該球與圓臺的上、下底面及母線均相切，則球O的表面積為( )
A．3πB．5π
C．8πD．9π
【答案】C
【解析】設圓臺的上底面圓半徑為r，則底面圓半徑為2r，母線長為l，如圖所示，作出圓臺與球的軸截面．由于球O與圓臺的上下底面及母線均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r．根據(jù)圓臺的側面積公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球的直徑為HG＝2 eq \r(2)，故半徑為 eq \r(2)，表面積為8π．故選C．
13．若將一個圓錐的側面沿一條母線展開，其展開圖是半徑為5，面積為15π的扇形，則與該圓錐等體積的球的半徑為__________．
【答案】 eq \r(3,9)
【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則扇形的側面展開圖面積S＝ eq \f(1,2)·2πr·5＝15π，解得r＝3．該圓錐的高h＝ eq \r(52－32)＝4，∴V圓錐＝ eq \f(1,3)π·32·4＝12π．設球的半徑為R，由題意得 eq \f(4,3)πR3＝12π，解得R＝ eq \r(3,9)．
14．(2023年保定期中)古希臘數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)——圓柱容球定理．如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊(即圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑)，則該球與圓柱的體積之比為__________，該球與圓柱的表面積之比為__________．
【答案】2∶3 2∶3
【解析】設球的半徑為R，根據(jù)題意可得圓柱的底面半徑為R，高為2R， eq \f(V球,V圓)＝ eq \f(\f(4,3)πR3,πR2·2R)＝ eq \f(2,3)， eq \f(S球,S圓)＝ eq \f(4πR2,2πR2＋2πR·2R)＝ eq \f(2,3)．
15．已知一倒置圓錐的母線長為10 cm，底面半徑為6 cm．
(1)求該圓錐的高；
(2)若有一球剛好放進該圓錐(球與圓錐的底面相切)中，求這個球的半徑以及此時圓錐剩余空間的體積．
解：(1)設圓錐的高為h cm，底面半徑為R cm，母線長為l cm，則h＝ eq \r(l2－R2)＝ eq \r(102－62)＝8，所以圓錐的高為8 cm．
(2)球放入圓錐后的軸截面如圖所示，設球的半徑為r cm．
易得△OCD∽△ACO1，則 eq \f(OC,AC)＝ eq \f(OD,AO1)，即 eq \f(8－r,10)＝ eq \f(r,6)，解得r＝3．
圓錐剩余空間的體積為圓錐的體積減去球的體積，即V圓錐－V球＝ eq \f(1,3)×π×62×8－ eq \f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此時圓錐剩余空間的體積為60π cm3．

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8.3 簡單幾何體的表面積與體積

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