知識精講
知識點01 二次函數與之間的相互關系
1．頂點式化成一般式
從函數解析式我們可以直接得到拋物線的頂點 ，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．
2．一般式化成頂點式
．
對照，可知 ， ．
∴ 拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ．
【注意】
1．拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ，可以當作公式加以記憶和運用．
2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據實際靈活選擇和運用．
知識點02 二次函數的圖象的畫法
1．一般方法
列表、描點、連線
2．簡易畫法：五點定形法
步驟：
(1)先根據函數解析式，求 和 ，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．
(2)求拋物線與 的交點，
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來．
【注意】
當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數的圖象，
知識點03 二次函數的圖象與性質
1．二次函數圖象與性質
2．二次函數圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系
知識點04 求二次函數的最大（?。┲档姆椒?br>如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大(或最小)值，即當 時， ．
【注意】
如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，若在此范圍內，則當時，，若不在此范圍內，則需要考慮函數在x1≤x≤x2范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．
能力拓展
考法01 二次函數的圖象與性質
【典例1】如圖所示是二次函數的圖象，以下結論：①；②；③的兩個根是，；④，其中正確的是（ ）
A．③④B．①②C．②③D．②③④
【即學即練】如圖，拋物線的對稱軸為，下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．當時，隨的增大而減小D．當時，隨的增大而減小
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，則二次函數y=ax2+bx+c的圖象頂點可能在（ ）
A．第一或第四象限B．第三或第四象限
C．第一或第二象限D．第二或第三象限
【即學即練】關于拋物線，下列說法錯誤的是（ ）
A．當時，對稱軸是軸B．當時，經過坐標原點
C．不論為何值，都過定點D．時，對稱軸在軸的左側
考法02 二次函數的最值
【典例3】已知二次函數y=2x2?4x?1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即學即練】已知二次函數＝﹣+2x+4，關于該函數在﹣2≤x≤2的取值范圍內，下列說法正確的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【典例4】已知二次函數y＝x2＋bx＋c，當x＞0時，函數的最小值為﹣3，當x≤0時，函數的最小值為﹣2，則b的值為（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【即學即練】已知拋物線過（1，m），（-1，3m）兩點，若，且當時，y的最小值為-6，則m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
考法03 二次函數性質的綜合應用
【典例5】已知A(?3，?2) ，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側），下列結論：
①c≥?2 ；
②當x>0時，一定有y隨x的增大而增大；
③若點D橫坐標的最小值為?5，點C橫坐標的最大值為3；
④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a=．
其中正確的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【即學即練】如圖，已知拋物線經過點，，與y軸交于點，P為AC上的一個動點，則有以下結論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結論為（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數），則下列說法正確的是____________．
①當時，點在拋物線上；
②對于任意的實數m，都是方程的一個根；
③若，當時，y隨x的增大而增大；
④已知點，則當時，拋物線與線段有兩個交點．
【即學即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點，，與軸的交于點．點在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設的面積為．下列結論：①；②；③，其中，正確結論的序號是________．（所有正確的序號都填上）
分層提分
題組A 基礎過關練
1．拋物線經過點（m，3），則代數式的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．二次函數（a≠0）中x，y的部分對應值如下表：
則該二次函數圖象的對稱軸為（ ）
A．y軸B．直線x＝C．直線x＝1D．直線x＝
3．若二次函數y＝x2+2x+k的圖象經過點（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＜y2D．不能確定
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點，則y1、y2、y3的大小關系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
5．已知函數y＝a﹣2ax﹣1（a是常數，a≠0），下列結論正確的是（ ）
A．若a＞0，則當x≥1時，y隨x的增大而減小B．若a＜0，則當x≤1時，y隨x的增大而增大
C．當a＝1時，函數圖像過點（﹣1，1）D．當a＝﹣2時，函數圖像與x軸沒有交點
6．已知二次函數的圖象如圖所示，有以下4個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．已知二次函數y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．
8．二次函數的圖象過點，，若當時．隨著的增大而減小，則實數的取值范圍是______．
9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2 （a0，開口向上，
∴在對稱軸x=1的右側，y隨x的增大而增大，
∵當0≤x≤a時，即在對稱軸右側，y取得最大值為15，
∴當x=a時，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值為4．
故選：D．
【即學即練】已知二次函數＝﹣+2x+4，關于該函數在﹣2≤x≤2的取值范圍內，下列說法正確的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【答案】D
【詳解】∵二次函數＝﹣+2x+4＝﹣+5，
∴該函數的對稱軸是直線＝1，函數圖象開口向下，
∴當﹣2≤x≤2時，x＝1時取得最大值5，當x＝﹣2時，取得最小值﹣4，
故選：D．
【典例4】已知二次函數y＝x2＋bx＋c，當x＞0時，函數的最小值為﹣3，當x≤0時，函數的最小值為﹣2，則b的值為（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【答案】C
【詳解】解：二次函數y＝x2＋bx＋c的開口向上，當x＞0時，函數的最小值為－3，當x≤0時，函數的最小值為－2，
該函數圖象的對稱軸所在直線在y軸的右側，
，，且時，y=c=－2，
，，解得 ，
．
故選C．
【即學即練】已知拋物線過（1，m），（-1，3m）兩點，若，且當時，y的最小值為-6，則m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
【答案】C
【詳解】解：將點（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
則，
對稱軸為，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-處，最小值為-6，
∴=-6，
=4c+24，
將b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故選：C.
考法03 二次函數性質的綜合應用
【典例5】已知A(?3，?2) ，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側），下列結論：
①c≥?2 ；
②當x>0時，一定有y隨x的增大而增大；
③若點D橫坐標的最小值為?5，點C橫坐標的最大值為3；
④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a=．
其中正確的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【答案】D
【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為(-3，-2)和(1，-2)，
∴線段AB與y軸的交點坐標為(0，-2)，
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為(0，c) ，
∴C≥-2，(頂點在y軸上時取“=”)，故①正確；
∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，
∴當x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；
若點D的橫坐標最小值為-5，則此時對稱軸為直線x=-3，
根據二次函數的對稱性，點C的橫坐標最大值為1+2=3，故③正確；
令y=0，則ax2+bx+c=0，
設該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根據頂點坐標公式，，
∴，即，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正確；
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選：D．
【即學即練】如圖，已知拋物線經過點，，與y軸交于點，P為AC上的一個動點，則有以下結論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結論為（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【詳解】解：∵拋物線經過點，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
故①正確；
設拋物線關系式為：，
∵拋物線經過點，
∴-4a=2，解得：，
∴拋物線關系式為：，
∴當時，y有最大值，
故②錯誤；
∴點B坐標為（-1，0），點A坐標為（4，0），
∴AB=5．
當x=0時，y=2，
∴點C坐標為（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正確；
當OP⊥AC時，OP取最小值，
此時根據三角形的面積可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值為．
故④正確；
故正確的有：①③④，
故選：D．
【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數），則下列說法正確的是____________．
①當時，點在拋物線上；
②對于任意的實數m，都是方程的一個根；
③若，當時，y隨x的增大而增大；
④已知點，則當時，拋物線與線段有兩個交點．
【答案】②
【詳解】解：拋物線（為常數）中，
當時，拋物線，若，則，
點不在拋物線上，
即①說法錯誤，不符合題意，
方程即，
或，
解得，，
對于任意實數，都是方程的一個根，
即②說法正確，符合題意，
拋物線（為常熟）中，，開口向上，
對稱軸是直線，當時，隨的增大而增大，
即若，，當時，y隨x的增大而增大，不一定正確，
即③說法錯誤，不符合題意，
拋物線（為常數）中，
當時，，
解得，，
拋物線與軸的交點坐標為、，
當時，，
“④已知點，則當時，拋物線與線段有兩個交點”的說法錯誤，（因為當時只有一個交點），不符合題意，
綜上所述，說法正確的是②，
故答案為：②．
【即學即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點，，與軸的交于點．點在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設的面積為．下列結論：①；②；③，其中，正確結論的序號是________．（所有正確的序號都填上）
【答案】①②③
【詳解】∵拋物線與x軸相交于于點，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正確；
∵拋物線與y軸相交于于點C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正確；
過點作軸，交于點，如圖1所示．
設直線的解析式為，
將、代入，
得，解得，
直線的解析式為．
點在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，
點的坐標為，則點的坐標為，
，
，
當時，面積取最大值，最大值為．
故③正確，
故答案為：①②③．
分層提分
題組A 基礎過關練
1．拋物線經過點（m，3），則代數式的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【詳解】解：將點（m，3）代入中得，
，
故代數式的值為3，
故選：D．
2．二次函數（a≠0）中x，y的部分對應值如下表：
則該二次函數圖象的對稱軸為（ ）
A．y軸B．直線x＝C．直線x＝1D．直線x＝
【答案】B
【詳解】解：由圖表可知：
x=0時，y=-6，
x=1時，y=-6，
∴二次函數的對稱軸為：，
故選：B．
3．若二次函數y＝x2+2x+k的圖象經過點（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＜y2D．不能確定
【答案】A
【詳解】解：當x＝1時，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
當x＝﹣2時，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故選：A．
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點，則y1、y2、y3的大小關系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【詳解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴與直線x＝﹣1距離越近的點的縱坐標越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故選：A．
5．已知函數y＝a﹣2ax﹣1（a是常數，a≠0），下列結論正確的是（ ）
A．若a＞0，則當x≥1時，y隨x的增大而減小B．若a＜0，則當x≤1時，y隨x的增大而增大
C．當a＝1時，函數圖像過點（﹣1，1）D．當a＝﹣2時，函數圖像與x軸沒有交點
【答案】B
【詳解】解：A、拋物線的對稱軸為直線：，則若a＞0，則當x≥1時，y隨x的增大而增大，選項說法錯誤，不符合題意；
B、拋物線的對稱軸為直線：，若a＜0，則當x≤1時，y隨x的增大而增大，選項說法正確，符合題意；
C、當，時，，則當a＝1時，函數圖像不經過點（﹣1，1），選項說法錯誤，不符合題意；
D、當a＝﹣2時，，，則函數圖像與x軸有兩個交點，選項說法錯誤，不符合題意；
故選B．
6．已知二次函數的圖象如圖所示，有以下4個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【詳解】解：①拋物線開口向下，
，
∵，
∴，
，
拋物線與軸的交點在軸的正半軸，
，
，故錯誤；
②觀察函數圖象，可知：
當時，，
，故錯誤．
③拋物線的對稱軸為，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，
當時，，
，故正確；
④拋物線與軸有2個交點，
△，故正確．
故選：B．
7．已知二次函數y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．
【答案】-5
【詳解】解：由知，
當x=2時，y有最小值為-4-m，
∵該函數的最小值為1，
∴-4-m=1，
解得：m=-5，
故答案為：-5．
8．二次函數的圖象過點，，若當時．隨著的增大而減小，則實數的取值范圍是______．
【答案】且
【詳解】解：將代入得①，
將代入得②，
由②①得，
，，
拋物線的對稱軸為直線，
當時．隨著的增大而減小，
時，，
解得，
時，，
解得，
故答案為：且．
9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2 （a

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