題型四多邊形證明類型一三角形全等與相似（專題訓(xùn)練）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高分突破（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.如圖，，，點(diǎn)在上，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】
由題意易得，進(jìn)而可證，然后問(wèn)題可求證．
【詳解】
證明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2.如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，．求證：．
【答案】見解析
【分析】
根據(jù)，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件，利用ASA證明△ABC≌△DEF即可．
【詳解】
證明：點(diǎn)A，B，C，D，E在一條直線上
∵
∴
在與中
∴
【點(diǎn)睛】
本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．
3.如圖，已知，，與相交于點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
4.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE
【答案】證明見詳解．
【分析】
根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.
【詳解】
證明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．
5.如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)E．求證：．
【答案】見解析
【分析】
直接利用SSS證明△ACD≌△BDC，即可證明．
【詳解】
解：在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意靈活運(yùn)用SSS的方法．
6.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．
【分析】由“AAS”可證△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．
【解答】證明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
7.如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．
【分析】證明△ABC≌△CDE（ASA），可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
8.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．
【分析】要證BD＝CE只要證明AD＝AE即可，而證明△ABE≌△ACD，則可得AD＝AE．
【解答】證明：在△ABE與△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
9.如圖，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，進(jìn)而利用全等三角形的判定定理ASA，進(jìn)而得出答案．
【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
10.如圖，AC平分∠BAD，AB＝AD．求證：BC＝DC．
【分析】由“SAS”可證△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
11.如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求證：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【分析】
（1）先由平行線的性質(zhì)得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB＝∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線的判定可得結(jié)論．
【解答】
證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
12.如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求證：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】
（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
13.已知：如圖，點(diǎn)B，D在線段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求證：BC=DF．
【解析】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC=DF．
14.如圖，AB=AD，BC=DC，點(diǎn)E在AC上．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）求證：BE=DE．
【解析】
（1）在△ABC與△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
（2）由（1）∠BAE=∠DAE，
在△BAE與△DAE中，得，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE．
15.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDE≌△CDF；
（2）當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
【解析】
（1）∵，
∴，
∵是邊上的中線，∴，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴，
∴．
∵，
∴．
16.如圖，是的角平分線，在上取點(diǎn)，使．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）35°
【分析】
（1）直接利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角求出，即可完成求證；
（2）先求出∠ADE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ ABC，最后利用角平分線的定義即可完成求解．
【詳解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎(chǔ)題型，著重考查了學(xué)生對(duì)基本概念的理解與掌握．
17.如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．
（1）若，求，的度數(shù)．
（2）寫出與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；；（2），見解析
【分析】
（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出，．
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關(guān)系．
【詳解】
（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．
（2），的關(guān)系：．
理由如下：設(shè)，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要通過(guò)求解角和兩角之間的關(guān)系，考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三角形的內(nèi)角和等于．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．等腰三角形等邊對(duì)等角．
18.如圖，已知，，與相交于點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．

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