1.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點，，延長交于點，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對頂角相等可得，進而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進而即可證明是的切線；
（2）根據(jù)，可得，設，則，分別求得，進而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進而根據(jù)即可求得．
【詳解】
（1），
，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
是的切線；
（2），
，
，
設，則，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【點睛】
本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．
2.如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點E，過點D作，交的延長線于點F，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）已知，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）由題意根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合同弧或等弧所對的圓周角相等并利用經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線進行證明即可；
（2）根據(jù)題意利用相似三角形的判定即兩個角分別相等的兩個三角形相似得出，繼而運用相似比即可求出的長．
【詳解】
解：（1）證明：∵是的直徑
∴（直徑所對的圓周角是直角）
即
∵
∴（等邊對等角）
∵
∴（同弧或等弧所對的圓周角相等）
∴
∵，
∴
∴即
∴
又∵是的直徑
∴是的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴（兩個角分別相等的兩個三角形相似）
∴，
∴
∴．
【點睛】
本題主要考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
3.如圖，AB為的直徑，C為上一點，D為AB上一點，，過點A作交CD的延長線于點E，CE交于點G，連接AC，AG，在EA的延長線上取點F，使．
（1）求證：CF是的切線；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）5
【分析】
（1）根據(jù)題意判定，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得，從而可得，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判定CF是的切線；
（2）由切線長定理可得，從而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圓的半徑．
【詳解】
（1）證明：，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
AB是的直徑，
，
又，
，
，
，
即CF是的切線；
（2）CF是的切線，，
，
，
，
又，
在中，，
設的半徑為x，則，，
在中，，
解得：，
的半徑為5．
【點睛】
本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，熟練掌握相關定理與性質(zhì)是解決本題的關鍵．
4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是4.5
【分析】
（1）如圖1，連接OC，先根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，得，再根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)可得，由切線的判定可得結(jié)論；
（2）如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，先根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：如圖1，連接OC，
∵，
∴，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE為⊙O的切線；
（2）解：如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，
∵，
∴四邊形OGEC是矩形，
∴，
設⊙O的半徑為x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半徑是4.5．
【點睛】
本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)是解決問題的關鍵．
5.如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分線AD與CO的延長線交于點D．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，BC＝6，求圖中陰影部分面積．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接OA，證明OA⊥AD即可，利用角平分線的意義以及等腰三角形的性質(zhì)得以證明；
（2）求出圓的半徑和陰影部分所對應的圓心角度數(shù)即可，利用相似三角形求出半徑，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求出∠BOC．
【詳解】
解：（1）如圖，連接OA并延長交BC于E，
∵AB=AC，△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴AE所在的直線是△ABC的對稱軸，也是⊙O的對稱軸，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，
∴∠BAD+∠BAE=×180°=90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切線；
（2）連接OB，
∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴，
由（1）可知是的對稱軸，
垂直平分，
，
設半徑為，在中，由勾股定理得，
，
，
解得（取正值），
經(jīng)檢驗是原方程的解，
即，
又，
是等邊三角形，
，，
．
【點睛】
本題考查了切線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外接圓與外心，扇形面積的計算，靈活運用切線的判定方法是解題的關鍵．
6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點D作，DG交線段AC于點G，交AB于點E，交⊙O于點F，連接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求證：BD與⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）如圖1，延長至，證明，即可根據(jù)切線的判定可得與相切；
（2）如圖2，連接，先根據(jù)圓周角定理證明，再證明，列比例式可得，即的半徑為4，根據(jù)勾股定理可得的長．
【詳解】
（1）證明：如圖1，延長至，
，
，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
∴AB⊥BD，
與相切；
（2）解：如圖2，連接，
平分，
，
，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理等知識，解答本題需要我們熟練掌握切線的判定，第2問關鍵是證明．
7.如圖，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，點O在CD上，作⊙O，使⊙O與AD相切于點B，⊙O與CD交于點E，過點D作DF∥AC，交AO的延長線于點F，且∠OAB＝∠F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．
【答案】（1）見詳解；（2）．
【分析】
（1）由題意，先證明OA是∠BAC的角平分線，然后得到BO=CO，即可得到結(jié)論成立；
（2）由題意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出，，結(jié)合直角三角形ODF，即可求出tan∠F的值．
【詳解】
解：（1）∵DF∥AC，
∴∠CAO=∠F，
∵∠OAB＝∠F，
∴∠CAO=∠OAB，
∴OA是∠BAC的角平分線，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴BO=CO，
又∵AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）由題意，
∵OC＝3，DE＝2，
∴OD=5，OB=3，CD=8，
∴，
由切線長定理，則AB=AC，
設，
在直角三角形ACD中，由勾股定理，則
，
即，
解得：，
∴，，
∵∠OAB＝∠F，
∴，
∵，
∴．
【點睛】
本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的求出所需的長度，從而進行解題．
8.如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，與交于點，與的另一個交點為，過作，垂足為．
（1）求證：是的切線；
（2）若的直徑為5，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）欲證明MN為⊙O的切線，只要證明OM⊥MN．
（2）連接，分別求出BD=5，BE=，根據(jù)求解即可．
【詳解】
（1）證明：連接，
，
．
在中，是斜邊上的中線，
，
，
，
，
，，
是的切線．
（2）連接，易知，
由（1）可知，故M為的中點，
，
，
在中，，
．
在中，，
．
【點睛】
本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識；熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．
9.如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點與相交于點是半圓所任圓的切線，與的延長線相交于點，
求證：；
若求平分．
【答案】證明見解析；證明見解析．
【解析】
【分析】
利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；
利用等腰三角形的性質(zhì)證明： 再證明 利用切線的性質(zhì)與直徑所對的圓周角是直角證明： 從而可得答案．
【詳解】
證明：


為直徑，


．
證明：



為半圓的切線，





平分．
【點睛】
本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關系，直徑所對的圓周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
10.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長度．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；
（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從而求得BD2的值，求算術(shù)平方根即可得出BD的值．
【詳解】
解：（1）連接OD，如圖：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
為⊙的直徑，

∵DE∥BC，
∴∠E＝ 90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF?BA＝2×6＝12．
∴BD＝
【點睛】
本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定，同時考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）中判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”，有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解題關鍵．
11.如圖，在?中，AB為?的直徑，C為?上一點，P是的中點，過點P作AC的垂線，交AC的延長線于點D．
（1）求證：DP是?的切線；
（2）若AC=5，,求AP的長．
【答案】（1）見解析；（2）AP=．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意連接OP，直接利用切線的定理進行分析證明即可；
（2）根據(jù)題意連接BC，交于OP于點G，利用三角函數(shù)和勾股定理以及矩形的性質(zhì)進行綜合分析計算即可.
【詳解】
解：（1）證明：連接OP；
∵OP=OA;
∴∠1=∠2；
又∵P為的中點；
∴
∴∠1=∠3；
∴∠3=∠2；
∴OP∥DA；
∵∠D=90°；
∴∠OPD=90°；
又∵OP為?O半徑；
∴DP為?O的切線；
（2）連接BC，交于OP于點G；
∵AB是圓O的直徑；
∴∠ACB為直角；
∵
∴sin∠ABC=
AC=5,則AB=13,半徑為
由勾股定理的BC=，那么CG=6
又∵四邊形DCGP為矩形；
∴GP=DC=6.5-2.5=4
∴AD=5+4=9;
在Rt△ADP中，AP=.
【點睛】
本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓的切線定理和勾股定理以及三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)是解題的關鍵.
12.如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，CE⊥AB于點E，D是直徑AB延長線上一點，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝8，＝，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結(jié)論；
（2）設BC＝k，AC＝2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，
設BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
【點睛】
本題考查了切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的應用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．
13.如圖，是的直徑，點是上一點，的平分線交于點，過點作交的延長線于點．
（1）求證：是的切線；
（2）過點作于點，連接．若，，求的長度．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；
（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從而求得BD2的值，求算術(shù)平方根即可得出BD的值．
【詳解】
解：（1）連接OD，如圖：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°?∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）因為直徑，則
∵，
∴OB=3
∴，
∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B
∴△DBF∽△ABD
∴
∴
所以．
【點睛】
本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓的切線的判定及圓中的相關計算是解題的關鍵．

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