【二輪復(fù)習(xí)】2024年中考數(shù)學(xué) 題型4 多邊形證明類型1 三角形全等與相似（專題訓(xùn)練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在與中
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，．求證：．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：，
即．
在和中，
．
【點(diǎn)睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查幾何直觀、推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，在和中，．
求證：．

【答案】證明見解析
【分析】直接利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．
【詳解】解：在和中，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AO=BO，AC∥DB．求證：AC=BD．
【答案】見解析
【分析】要證明AC=BD，只要證明△AOC≌△BOD，根據(jù)AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，則可得到△AOC≌△BOD，從而求得結(jié)論．
【詳解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC與△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC與△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
5．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，．

(1)求證：；
(2)若，時(shí)，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對(duì)等角得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)求出和，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：過點(diǎn)E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
6.如圖，，，點(diǎn)在上，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】
由題意易得，進(jìn)而可證，然后問題可求證．
【詳解】
證明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
7.如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，．求證：．
【答案】見解析
【分析】
根據(jù)，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件，利用ASA證明△ABC≌△DEF即可．
【詳解】
證明：點(diǎn)A，B，C，D，E在一條直線上
∵
∴
在與中
∴
【點(diǎn)睛】
本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．
8.如圖，已知，，與相交于點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
9.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE
【答案】證明見詳解．
【分析】
根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.
【詳解】
證明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．
10.如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)E．求證：．
【答案】見解析
【分析】
直接利用SSS證明△ACD≌△BDC，即可證明．
【詳解】
解：在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意靈活運(yùn)用SSS的方法．
11.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．
【分析】由“AAS”可證△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．
【解答】證明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
12.如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．
【分析】證明△ABC≌△CDE（ASA），可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
13.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．
【分析】要證BD＝CE只要證明AD＝AE即可，而證明△ABE≌△ACD，則可得AD＝AE．
【解答】證明：在△ABE與△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
14.如圖，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，進(jìn)而利用全等三角形的判定定理ASA，進(jìn)而得出答案．
【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
15.如圖，AC平分∠BAD，AB＝AD．求證：BC＝DC．
【分析】由“SAS”可證△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
16.如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求證：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【分析】
（1）先由平行線的性質(zhì)得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB＝∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線的判定可得結(jié)論．
【解答】
證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
17.如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求證：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】
（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
18.已知：如圖，點(diǎn)B，D在線段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求證：BC=DF．
【解析】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC=DF．
19.如圖，AB=AD，BC=DC，點(diǎn)E在AC上．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）求證：BE=DE．
【解析】
（1）在△ABC與△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
（2）由（1）∠BAE=∠DAE，
在△BAE與△DAE中，得，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE．
20.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDE≌△CDF；
（2）當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
【解析】
（1）∵，
∴，
∵是邊上的中線，∴，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴，
∴．
∵，
∴．
21.如圖，是的角平分線，在上取點(diǎn)，使．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）35°
【分析】
（1）直接利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角求出，即可完成求證；
（2）先求出∠ADE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ ABC，最后利用角平分線的定義即可完成求解．
【詳解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎(chǔ)題型，著重考查了學(xué)生對(duì)基本概念的理解與掌握．
22.如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．
（1）若，求，的度數(shù)．
（2）寫出與之間的關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）；；（2），見解析
【分析】
（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出，．
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關(guān)系．
【詳解】
（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．
（2），的關(guān)系：．
理由如下：設(shè)，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要通過求解角和兩角之間的關(guān)系，考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三角形的內(nèi)角和等于．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．等腰三角形等邊對(duì)等角．
23.如圖，已知，，與相交于點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．
(2)求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，滿足，交于點(diǎn)H，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；
（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對(duì)應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè),則，
可得方程，
解得，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；
（2）可求，再證，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
．
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)M，連接相交于點(diǎn)N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若的面積為4，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形，四邊形均為平行四邊形，進(jìn)而得到：，即可得證；
（2）連接，推出，，進(jìn)而得到，求出，再根據(jù)，即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
同理可得：四邊形為平行四邊形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：連接，

∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：
(2)若，求證：
【答案】見解析
【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的全等的判定可得，然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，，
，
．
（2）證明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已證：，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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