考點(diǎn)01一次方（組）程應(yīng)用
1．列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟
（1）審題；
（2）設(shè)出未知數(shù)；
（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；
（4）解方程（組）；
（5）檢驗(yàn)結(jié)果；
（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）．
2．一次方程（組）常見的應(yīng)用題型
（1）銷售打折問題：利潤售價(jià)-成本價(jià)；利潤率=×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷售額=售價(jià)×數(shù)量．
（2）儲(chǔ)蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．
（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
1.（2022·山東泰安）泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元．求第一次購進(jìn)的A、B兩種茶每盒的價(jià)格．
【答案】A種茶每盒100元，B種茶每盒150元
【分析】設(shè)第一次購進(jìn)A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，根據(jù)第一次購進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)第一次購進(jìn)A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，
根據(jù)題意，得解，得
A種茶每盒100元，B種茶每盒150元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確設(shè)出未知數(shù)列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南常德）小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行駛了的路程用時(shí)為2小時(shí)，后續(xù)減速后用了3小時(shí)，用遇到暴雨前行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個(gè)等量關(guān)系列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛千米，減速后每小時(shí)行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，
則可得：，解得：，
答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的行程問題，直接設(shè)未知數(shù)法，找到準(zhǔn)確的等量關(guān)系，列出方程正確求解是解題的關(guān)鍵．
3.（2021·重慶中考真題）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡稱“堂食”小面），也可購買搭配佐料的袋裝生面（簡稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價(jià)為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價(jià)為33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元？
（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變，每份“生食”小面的價(jià)格降低．統(tǒng)計(jì)5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．（2）a的值為8．
【分析】
（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列方程組得，，
解得，，
答：每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．
（2）根據(jù)題意得，，
解得，（舍去），，
答：a的值為8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，列出方程，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解方程．
4.（2020?安徽）某超市有線上和線下兩種銷售方式．與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長10%，其中線上銷售額增長43%，線下銷售額增長4%．
（1）設(shè)2019年4月份的銷售總額為a元，線上銷售額為x元，請用含a，x的代數(shù)式表示2020年4月份的線下銷售額（直接在表格中填寫結(jié)果）；
（2）求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值．
【分析】
（1）由線下銷售額的增長率，即可用含a，x的代數(shù)式表示出2020年4月份的線下銷售額；
（2）根據(jù)2020年4月份的銷售總額＝線上銷售額+線下銷售額，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代數(shù)式表示），再將其代入中即可求出結(jié)論．
【解析】
（1）∵與2019年4月份相比，該超市2020年4月份線下銷售額增長4%，
∴該超市2020年4月份線下銷售額為1.04（a﹣x）元．
故答案為：1.04（a﹣x）．
（2）依題意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），
解得：x=213，
∴?213a1.1a=．
答：2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為0.2．
5.（2020?江西）放學(xué)后，小賢和小藝來到學(xué)校附近的地?cái)偵腺徺I一種特殊型號(hào)的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元．小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費(fèi)19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費(fèi)26元．
（1）求筆記本的單價(jià)和單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格；
（2）小賢和小藝都還想再買一件單價(jià)為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2元錢．他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請通過運(yùn)算說明．
【分析】
（1）設(shè)筆記本的單價(jià)為x元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為y元，根據(jù)“小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費(fèi)19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費(fèi)26元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）先求兩人帶的總錢數(shù)，再求出兩人合在一起買文具所需費(fèi)用，由二者的差大于2個(gè)小工藝品所需錢數(shù)，可找出：他們合在一起購買，才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品．
【解析】
（1）設(shè)筆記本的單價(jià)為x元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為y元，
依題意，得：2x+3y=19x+7y=26，
解得：x=5y=3．
答：筆記本的單價(jià)為5元，單獨(dú)購買一支筆芯的價(jià)格為3元．
（2）小賢和小藝帶的總錢數(shù)為19+2+26＝47（元）．
兩人合在一起購買所需費(fèi)用為5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．
∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，
∴他們合在一起購買，才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品．
6.（2020?重慶）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對A，B兩個(gè)小麥品種進(jìn)行種植對比實(shí)驗(yàn)研究．去年A，B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A，B兩個(gè)品種的售價(jià)均為2.4元/kg，且B的平均畝產(chǎn)量比A的平均畝產(chǎn)量高100kg，A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．
（1）請求出A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少？
（2）今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在A，B種植畝數(shù)不變的情況下，預(yù)計(jì)A，B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場的歡迎，預(yù)計(jì)每千克價(jià)格將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價(jià)不變．A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加209a%．求a的值．
【分析】
（1）設(shè)A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x千克和y千克；根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解析】
（1）設(shè)A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x千克和y千克；
根據(jù)題意得，y?x=10010×2.4(x+y)=21600，
解得：x=400y=500，
答：A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+209a%），
解得：a＝10，
答：a的值為10．
考點(diǎn)02不等式的應(yīng)用
3、列不等式（組）解決實(shí)際問題
列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：
①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案．
考情總結(jié)：列不等式（組）解決實(shí)際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等．列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．
1.（2022·四川瀘州）某經(jīng)銷商計(jì)劃購進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品．已知購進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元．
(1)，兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少元？(2)該經(jīng)銷商計(jì)劃用不超過5400元購進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍．如果該經(jīng)銷商將購進(jìn)的農(nóng)產(chǎn)品按照種每件160元，種每件200元的價(jià)格全部售出，那么購進(jìn)，兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時(shí)獲利最多？
【答案】(1)A每件進(jìn)價(jià)120元，B每件進(jìn)價(jià)150元；
(2)A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，B農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，最大利潤是1800元．
【分析】（1）根據(jù)“購進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品2件，種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進(jìn)種農(nóng)產(chǎn)品1件，種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以求得A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少元；（2）根據(jù)題意可以得到利潤與購買甲種商品的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題．
【解析】 (1)設(shè)A每件進(jìn)價(jià)x元，B每件進(jìn)價(jià)y元，
由題意得，解得：，
答：A每件進(jìn)價(jià)120元，B每件進(jìn)價(jià)150元；
(2)設(shè)A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)a件，B農(nóng)產(chǎn)品（40-a）件，由題意得，
解得，
設(shè)利潤為y元，則，
∵y隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a=20時(shí)，y最大， 最大值y=2000-10×200=1800，
答：A農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，B農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)20件，最大利潤是1800元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
2．（2021·四川成都市·中考真題）為改善城市人居環(huán)境，《成都市生活垃圾管理?xiàng)l例》（以下簡稱《條例》）于2021年3月1日起正式施行．某區(qū)域原來每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個(gè)A型和10個(gè)B型預(yù)處置點(diǎn)位進(jìn)行初篩、壓縮等處理．已知一個(gè)A型點(diǎn)位比一個(gè)B型點(diǎn)位每天多處理7噸生活垃圾．
（1）求每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾的噸數(shù)；
（2）由于《條例》的施行，垃圾分類要求提高，現(xiàn)在每個(gè)點(diǎn)位每天將少處理8噸生活垃圾，同時(shí)由于市民環(huán)保意識(shí)增強(qiáng)，該區(qū)域每天需要處理的生活垃圾比原來少10噸．若該區(qū)域計(jì)劃增設(shè)A型、B型點(diǎn)位共5個(gè)，試問至少需要增設(shè)幾個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾？
【答案】（1）38噸；（2）3個(gè)
【分析】
（1）設(shè)每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾的噸數(shù)為x，則A型為x+7，由每天需要處理生活垃圾920噸列出方程求解即可；
（2）設(shè)至少需要增設(shè)y個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾．則B型為5-y，根據(jù)兩種需要處理的生活垃圾和不低于910噸列不等式求解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾的噸數(shù)為x，則A型為x+7，
由題意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾為38噸數(shù)；
（2）設(shè)至少需要增設(shè)y個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾．則B型為5-y．
由題意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y為整數(shù)
∴至少需要增設(shè)3個(gè)A型點(diǎn)位，
答：至少需要增設(shè)3個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元一次方程以及一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
3．（2021·四川眉山市·中考真題）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學(xué)以體育為突破口，準(zhǔn)備從體育用品商場一次性購買若千個(gè)足球和籃球，用于學(xué)校球類比賽活動(dòng)．每個(gè)足球的價(jià)格都相同，每個(gè)籃球的價(jià)格也相同．已知籃球的單價(jià)比足球單價(jià)的2倍少30元，用1200元購買足球的數(shù)量是用900元購買籃球數(shù)量的2倍．
（1）足球和籃球的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購買足球和籃球共200個(gè)，但要求足球和籃球的總費(fèi)用不超過15500元，學(xué)校最多可以購買多少個(gè)籃球？
【答案】（1）每個(gè)足球60元，每個(gè)籃球90元；（2）最多購進(jìn)籃球116個(gè)
【分析】
（1）設(shè)一個(gè)足球的單價(jià)x元，已知籃球的單價(jià)比足球單價(jià)的2倍少30元，則一個(gè)籃球的單價(jià)為（2x-30）元，根據(jù)“用1200元購買足球的數(shù)量是用900元購買籃球數(shù)量的2倍”列方程求解即可；
（2）設(shè)買籃球m個(gè)，則買足球（200-m）個(gè)，根據(jù)購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過15500元建立不等式求出解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)每個(gè)足球x元，每個(gè)籃球（2x-30）元，
根據(jù)題意得：，
解得x=60，
經(jīng)檢驗(yàn)x=60是方程的根且符合題意，
2x-30=90，
答：每個(gè)足球60元，每個(gè)籃球90元．
（2）設(shè)設(shè)買籃球m個(gè)，則買足球（200-m）個(gè)，
由題意得：，
解得．
∵ m為正整數(shù)，∴ 最多購進(jìn)籃球116個(gè)．
【點(diǎn)睛】
本題考查了列一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，列一元一次不等式解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答本題時(shí)找到方程的等量關(guān)系和建立不等式的不等關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
4.（2021·浙江溫州市·中考真題）某公司生產(chǎn)的一種營養(yǎng)品信息如下表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克．
（1）問甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）該公司每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．
①問每日購進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？
②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？
【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元；（2）①每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；②當(dāng)為400包時(shí)，總利潤最大．最大總利潤為2800元
【分析】
（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克列分式方程即可求解；
（2）①設(shè)每日購進(jìn)甲食材千克，乙食材千克．根據(jù)每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完，利用進(jìn)貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求解；
②設(shè)為包，根據(jù)題意，可以得到每日所獲總利潤與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，可以得到m的取值范圍，從而可以求得總利潤的最大值．
【詳解】
解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為元，
由題意得，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意．
（元）．
答：甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元．
（2）①設(shè)每日購進(jìn)甲食材千克，乙食材千克．
由題意得，解得
答：每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克．
②設(shè)為包，則為包．
記總利潤為元，則
．
的數(shù)量不低于的數(shù)量，
，．
，隨的增大而減小。
當(dāng)時(shí)，的最大值為2800元．
答：當(dāng)為400包時(shí)，總利潤最大．最大總利潤為2800元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題時(shí)要明確題意、弄清表格數(shù)據(jù)的意義及各種量之間關(guān)系，利用方程的求未知量和一次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢驗(yàn)．
5.（2021·四川資陽市·中考真題）我市某中學(xué)計(jì)劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識(shí)競賽，并對獲獎(jiǎng)的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)要購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，已知1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元．
（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）根據(jù)頒獎(jiǎng)計(jì)劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，且甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的，應(yīng)如何購買才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用．
【答案】（1）甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元；（2）購買甲種獎(jiǎng)品20件，乙種獎(jiǎng)品40件時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為800元．
【分析】
（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列方程組求出x、y的值即可得答案；
（2）設(shè)總費(fèi)用為w元，購買甲種獎(jiǎng)品為m件，根據(jù)甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的可得m的取值范圍，根據(jù)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件可得購買乙種獎(jiǎng)品為（60-m）件，根據(jù)（1）中所求單價(jià)可得w與m的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案．
【詳解】
（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，
∵1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元，
∴，
解得：，
答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元．
（2）設(shè)總費(fèi)用為w元，購買甲種獎(jiǎng)品為m件，
∵需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，
∴購買乙種獎(jiǎng)品為（60-m）件，
∵甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元，
∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的，
∴m≥（60-m），
∴20≤m≤60，
∵10>0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=20時(shí)，w有最小值，最小值為10×20+600=800（元），
∴購買甲種獎(jiǎng)品20件，乙種獎(jiǎng)品40件時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為800元．
【點(diǎn)睛】
本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系及不等關(guān)系列出方程組及不等式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6.（2021·江蘇連云港市·中考真題）為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并求出最少費(fèi)用．
【答案】（1）種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元；（2）購進(jìn)種消毒液67瓶，購進(jìn)種23瓶，最少費(fèi)用為676元
【分析】
（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；
（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價(jià)，表示出購買的費(fèi)用的表達(dá)式，根據(jù)購買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進(jìn)表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．
【詳解】
解：（1）設(shè)種消毒液的單價(jià)是元，型消毒液的單價(jià)是元．
由題意得：，解之得，，
答：種消毒液的單價(jià)是7元，型消毒液的單價(jià)是9元．
（2）設(shè)購進(jìn)種消毒液瓶，則購進(jìn)種瓶，購買費(fèi)用為元．
則，
∴隨著的增大而減小，最大時(shí)，有最小值．
又，∴．
由于是整數(shù)，最大值為67，
即當(dāng)時(shí)，最省錢，最少費(fèi)用為元．
此時(shí)，．
最省錢的購買方案是購進(jìn)種消毒液67瓶，購進(jìn)種23瓶．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數(shù)的增減性來解決生活中的優(yōu)化決策問題，解題的關(guān)鍵是：仔細(xì)審題，找到題中的等量關(guān)系，建立等式進(jìn)行求解．
考點(diǎn)03分式方程的應(yīng)用
4．分式方程的應(yīng)用
（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．
每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．
（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：
①設(shè)未知數(shù)；
②找等量關(guān)系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；
⑥答．
1.（2022·重慶）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；
(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)地，求甲騎行的速度．
【答案】(1) (2)千米/時(shí)
【分析】（1）設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，根據(jù)甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙列方程求解即可；（2）設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，根據(jù)甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)地列方程求解即可．
(1)解：設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，
由題意得：，解得：，
則（千米/時(shí)），
答：甲騎行的速度為千米/時(shí)；
(2)設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，
由題意得：，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
則（千米/時(shí)），
答：甲騎行的速度為千米/時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
2.（2020?泰州）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．
【分析】設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合走路線B比走路線A少用6min，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，
依題意，得：25x?30(1+50%)x=660，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路線B的平均速度為75km/h．
3.（2020?常德）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快140秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？
【分析】首先設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：4G下載600兆所用時(shí)間﹣5G下載600兆所用時(shí)間＝140秒．然后根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，再解即可．
【解析】設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，
由題意得：600x?60015x=140，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原分式方程的解，且符合題意，
15×4＝60，
答：該地4G的下載速度是每秒4兆，則該地5G的下載速度是每秒60兆．
4.（2020?廣東）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元．用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35．
（1）求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個(gè)攤位的最大費(fèi)用．
【分析】
（1）設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位占地面積為（x+2）平方米，根據(jù)用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35這個(gè)等量關(guān)系列出方程即可．
（2）設(shè)建A攤位a個(gè)，則建B攤位（90﹣a）個(gè)，結(jié)合“B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍”列出不等式并解答．
【解析】
（1）設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位占地面積為（x+2）平方米，
根據(jù)題意得：60x+2=60x?35，
解得：x＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每個(gè)A類攤位占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位的占地面積為3平方米；
（2）設(shè)建A攤位a個(gè)，則建B攤位（90﹣a）個(gè)，
由題意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，
∴要想使建造這90個(gè)攤位有最大費(fèi)用，所以要多建造A類攤位，即a取最大值22時(shí)，費(fèi)用最大，
此時(shí)最大費(fèi)用為：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造這90個(gè)攤位的最大費(fèi)用是10520元．
5.（2021·山東聊城市·中考真題）為迎接建黨一百周年，我市計(jì)劃用兩種花卉對某廣場進(jìn)行美化．已知用600元購買A種花卉與用900元購買B種花卉的數(shù)量相等，且B種花卉每盆比A種花卉多0.5元．
（1）A，B兩種花卉每盆各多少元？
（2）計(jì)劃購買A，B兩種花卉共6000盆，其中A種花卉的數(shù)量不超過B種花卉數(shù)量的，求購買A種花卉多少盆時(shí)，購買這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？
【答案】（1）A 種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元；（2）購買A 種花卉1500盆時(shí)購買這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為 8250元
【分析】
（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元，根據(jù)題意列分式方程，解出方程并檢驗(yàn)；
（2）設(shè)購買A種花卉∶t盆，購買這批花卉的總費(fèi)用為w元，則t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w隨t的增大而減小，所以根據(jù)t的范圍可以求得w的最小值．
【詳解】
解：（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元．
根據(jù)題意，得．
解這個(gè)方程，得x＝1.
經(jīng)檢驗(yàn)知，x＝1是原分式方程的根，并符合題意．
此時(shí)x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．
所以，A種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元．
（2）設(shè)購買A種花卉∶t盆，購買這批花卉的總費(fèi)用為w元，則t≤（6000－t），
解得∶t≤1500.
由題意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.
因?yàn)閣是t的一次函數(shù)，k＝－0.5＜0，w隨t的增大而減小，所以當(dāng)t＝1500 盆時(shí)，w最?。?br>w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，購買A種花卉1500盆時(shí)購買這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為8250元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程解決實(shí)際問題和一次函數(shù)求最值，根據(jù)等量關(guān)系列出方程和函數(shù)關(guān)系式及取值范圍是解題關(guān)鍵．
6.（2021·湖南中考真題）“七一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買，兩種獎(jiǎng)品，用于表彰在“童心向黨”活動(dòng)中表現(xiàn)突出的學(xué)生．已知獎(jiǎng)品比獎(jiǎng)品每件多25元預(yù)算資金為1700元，其中800元購買獎(jiǎng)品，其余資金購買獎(jiǎng)品，且購買獎(jiǎng)品的數(shù)量是獎(jiǎng)品的3倍．
（1）求，獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）購買當(dāng)日，正逢該店搞促銷活動(dòng)，所有商品均按原價(jià)八折銷售，學(xué)校調(diào)整了購買方案：不超過預(yù)算資金且購買獎(jiǎng)品的資金不少于720元，，兩種獎(jiǎng)品共100件．求購買，兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量，有哪幾種方案？
【答案】（1）A，獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是40元，15元；（2）購買A獎(jiǎng)品23件，B獎(jiǎng)品77件；購買A獎(jiǎng)品24件，B獎(jiǎng)品76件；購買A獎(jiǎng)品25件，B獎(jiǎng)品75件．
【分析】
（1）設(shè)B獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A獎(jiǎng)品的單價(jià)為(x+25)元，根據(jù)“購買獎(jiǎng)品的數(shù)量是獎(jiǎng)品的3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）設(shè)購買A獎(jiǎng)品a件，則購買B獎(jiǎng)品(100-a)件，列出一元一次不等式組，即可求解．
【詳解】
（1）解：設(shè)B獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A獎(jiǎng)品的單價(jià)為(x+25)元，
由題意得：，解得：x=15，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是方程的解，且符合題意，
15+25=40，
答：A，獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是40元，15元；
（2）設(shè)購買A獎(jiǎng)品a件，則購買B獎(jiǎng)品(100-a)件，
由題意得：，解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整數(shù)，
∴a=23，24，25，
答：購買A獎(jiǎng)品23件，B獎(jiǎng)品77件；購買A獎(jiǎng)品24件，B獎(jiǎng)品76件；購買A獎(jiǎng)品25件，B獎(jiǎng)品75件．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程以及一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程和不等式組，是解題的關(guān)鍵．
7.（2020?牡丹江）某商場準(zhǔn)備購進(jìn)A，B兩種書包，每個(gè)A種書包比B種書包的進(jìn)價(jià)少20元，用700元購進(jìn)A種書包的個(gè)數(shù)是用450元購進(jìn)B種書包個(gè)數(shù)的2倍，A種書包每個(gè)標(biāo)價(jià)是90元，B種書包每個(gè)標(biāo)價(jià)是130元．請解答下列問題：
（1）A，B兩種書包每個(gè)進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）若該商場購進(jìn)B種書包的個(gè)數(shù)比A種書包的2倍還多5個(gè)，且A種書包不少于18個(gè)，購進(jìn)A，B兩種書包的總費(fèi)用不超過5450元，則該商場有哪幾種進(jìn)貨方案？
（3）該商場按（2）中獲利最大的方案購進(jìn)書包，在銷售前，拿出5個(gè)書包贈(zèng)送給某希望小學(xué)，剩余的書包全部售出，其中兩種書包共有4個(gè)樣品，每種樣品都打五折，商場仍獲利1370元．請直接寫出贈(zèng)送的書包和樣品中，B種書包各有幾個(gè)？
【分析】
（1）設(shè)每個(gè)A種書包的進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)B種書包的進(jìn)價(jià)為（x+20）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用700元購進(jìn)A種書包的個(gè)數(shù)是用450元購進(jìn)B種書包個(gè)數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該商場購進(jìn)m個(gè)A種書包，則購進(jìn)（2m+5）個(gè)B種書包，根據(jù)購進(jìn)A，B兩種書包的總費(fèi)用不超過5450元且A種書包不少于18個(gè)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)即可得出各進(jìn)貨方案；
（3）設(shè)銷售利潤為w元，根據(jù)總利潤＝銷售每個(gè)書包的利潤×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出獲得利潤最大的進(jìn)貨方案，設(shè)贈(zèng)送的書包中B種書包有a個(gè)，樣品中B種書包有b個(gè)，則贈(zèng)送的書包中A種書包有（5﹣a）個(gè)，樣品中A種書包有（4﹣b）個(gè)，根據(jù)利潤＝銷售收入﹣成本，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論．
【解析】
（1）設(shè)每個(gè)A種書包的進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)B種書包的進(jìn)價(jià)為（x+20）元，
依題意，得：700x=2×450x+20，
解得：x＝70，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝70是原方程的解，且符合題意，
∴x+20＝90．
答：每個(gè)A種書包的進(jìn)價(jià)為70元，每個(gè)B種書包的進(jìn)價(jià)為90元．
（2）設(shè)該商場購進(jìn)m個(gè)A種書包，則購進(jìn)（2m+5）個(gè)B種書包，
依題意，得：m≥1870m+90(2m+5)≤5450，
解得：18≤m≤20．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為18，19，20，
∴該商場有3種進(jìn)貨方案，方案1：購買18個(gè)A種書包，41個(gè)B種書包；方案2：購買19個(gè)A種書包，43個(gè)B種書包；方案3：購買20個(gè)A種書包，45個(gè)B種書包．
（3）設(shè)銷售利潤為w元，則w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200．
∵k＝100＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝20時(shí)，w取得最大值，此時(shí)2m+5＝45．
設(shè)贈(zèng)送的書包中B種書包有a個(gè)，樣品中B種書包有b個(gè)，則贈(zèng)送的書包中A種書包有（5﹣a）個(gè)，樣品中A種書包有（4﹣b）個(gè)，
依題意，得：90×[20﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+0.5×90（4﹣b）+130（45﹣a﹣b）+0.5×130b﹣70×20﹣90×45＝1370，
∴b＝10﹣2a．
∵a，b，（5﹣a），（4﹣b）均為正整數(shù)，
∴a=4b=2．
答：贈(zèng)送的書包中B種書包有4個(gè)，樣品中B種書包有2個(gè)．
8.（2020?黔西南州）隨著人們“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng)，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C(jī)．某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元．今年該型自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元．若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，求：
（1）A型自行車去年每輛售價(jià)多少元？
（2）該車行今年計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍．已知A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)格分別為1500元和1800元，計(jì)劃B型車銷售價(jià)格為2400元，應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多？
【分析】
（1）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（x﹣200）元，由賣出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可；
（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值．
【解析】
（1）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)x元，則今年售價(jià)每輛為（x﹣200）元，由題意，得
80000x=80000(1?10%)x?200，
解得：x＝2000．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型車每輛售價(jià)為2000元；
（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利y元，由題意，得
y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），
y＝﹣300a+36000．
∵B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝﹣300a+36000．
∴k＝﹣300＜0，
∴y隨a的增大而減?。?br>∴a＝20時(shí)，y有最大值
∴B型車的數(shù)量為：60﹣20＝40輛．
∴當(dāng)新進(jìn)A型車20輛，B型車40輛時(shí)，這批車獲利最大
考點(diǎn)04二次方程的應(yīng)用
5、利用一元二次方程解決實(shí)際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容．
6．增長率等量關(guān)系
（1）增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．
（2）設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．
7．利潤等量關(guān)系
（1）利潤=售價(jià)－成本．
（2）利潤率=×100％．
8．面積問題
（1）類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
（2）類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
（3）類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

1.（2022·四川眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？
【答案】(1)20% (2)18個(gè)
【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的資金年增長率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費(fèi)用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．
【解析】(1)解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，
根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合本題要求．
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．
(2)設(shè)該市在2022年可以改造個(gè)老舊小區(qū)，
由題意得：，解得．
∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個(gè)小區(qū)．
答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．
2.（2022·湖北宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤達(dá)到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？
【答案】(1)4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸(2)的值20(3)6月份每噸再生紙的利潤是1500元
【分析】（1）設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，然后根據(jù)該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)總利潤=每一噸再生紙的利潤×數(shù)量列出方程求解即可；
（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，根據(jù)總利潤=每一噸再生紙的利潤×數(shù)量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，
由題意得：，解得：，∴，
答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；
(2)解：由題意得：，
解得：或（不合題意，舍去）
∴，∴的值20；
(3)解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，
∴
答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．
3.（2021·四川遂寧市·中考真題）某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）2元；（2）當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤是4000元
【分析】
（1）根據(jù)題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）設(shè)利潤為M元，結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算得利潤最大值對應(yīng)的的值，從而得到答案．
【詳解】
（1）由題意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要盡可能減少庫存，
∴x2＝18不合題意，故舍去
∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；
（2）設(shè)利潤為M元，由題意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴當(dāng)x＝10時(shí)，M最大值＝4000元
∴銷售單價(jià)：40＋10＝50元
∴當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤是4000元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
4.（2021·重慶中考真題）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡稱“堂食”小面），也可購買搭配佐料的袋裝生面（簡稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價(jià)為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價(jià)為33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元？
（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變，每份“生食”小面的價(jià)格降低．統(tǒng)計(jì)5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．（2）a的值為8．
【分析】
（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列方程組得，，
解得，，
答：每份“堂食”小面價(jià)格是7元，“生食”小面的價(jià)格是5元．
（2）根據(jù)題意得，，
解得，（舍去），，
答：a的值為8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，列出方程，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解方程．
5.（2021·重慶中考真題）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．
（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？
（2）隨著5G時(shí)代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加%．求a的值．
【答案】（1）A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元；（2）20
【分析】
（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元，根據(jù)題意列出方程解出即可；
（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意根據(jù)題意列出方程解出即可；
【詳解】
解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元．
根據(jù)題意，得
．
解這個(gè)方程，得．
則．
答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元．
（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意，得
設(shè)a%=m，則原方程可化簡為．
解這個(gè)方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次方程．
時(shí)間
銷售總額（元）
線上銷售額（元）
線下銷售額（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
1.04（a﹣x）
營養(yǎng)品信息表
營養(yǎng)成份
每千克含鐵42毫克
配料表
原料
每千克含鐵
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
規(guī)格
每包食材含量
每包單價(jià)
A包裝
1千克
45元
B包裝
0.25千克
12元

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