中考數(shù)學(xué)幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線(xiàn)三等角及“K”模型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2．矩形中，，，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（）．

A．1B．3C．1或3D．1或4
【答案】D
【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明，即可得，進(jìn)而可得，問(wèn)題隨之得解．
【詳解】∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
整理：，
解得：，或者，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．
3．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持．當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為（）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】證明，得出，即，求出，得出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．
4．如圖，在矩形中，，將點(diǎn)折疊到邊上點(diǎn)處，折痕為，連接，，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到，，的長(zhǎng)；再根據(jù)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得的長(zhǎng)．
【詳解】解：矩形中，，

，
又是的中點(diǎn)，
，
中，，
由題可得，，
，
，
，
，即，
解得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，翻折變換折疊問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
5．如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，，若，則的長(zhǎng)度為（）

A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【詳解】解：為等邊三角形，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
二、填空題
6．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在對(duì)角線(xiàn)上．若，則的長(zhǎng)為 cm，的長(zhǎng)為 cm．

【答案】 2 /
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及，可以得到為等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角的意義，得出，對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)，，，由比例式列出方程，再根據(jù)，解出，即可解答．
【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，，，
∴，
即，
又，
即，
解得，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案為：2；．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例式列方程．
7．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為．
【答案】1或2
【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．
【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的長(zhǎng)為1或2，
故答案為：1或2
【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF= ．
【答案】2.4
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6 ，
∴ ，解得：．
故答案為：2.4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為（點(diǎn)E在邊上）．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，．
【答案】
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，再由推出，可得，由此即可得到答案；
（2），用表示和，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵三角形是等邊三角形，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：
（2）
設(shè)，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與折疊問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
10．如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在上，，同時(shí)平分和，則，BD的長(zhǎng)是．

【答案】
【分析】根據(jù)同時(shí)平分和得到，，再由，證明，由三角形全等性質(zhì)，，再根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論，根據(jù)和是等邊三角形，證明，設(shè)，利用三角形相似比構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】同時(shí)平分和得到，
，
，
，
，，
又，
故答案為：
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對(duì)應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】過(guò)C作交于F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，，可得和的長(zhǎng)，再由求得和的比即可解答；
【詳解】解：如圖，過(guò)C作交于F，

是菱形，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，則，
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．在等邊中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，，則的邊長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，得，從而得出與相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
，
，
，
，，
；
，
，，
，
，
的邊長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．綜合利用題目中條件證明出兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，等邊中，、分別在邊，上，，，沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，則．

【答案】
【分析】證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，，得出，解得，可得出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，
，，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
，
，
，
．
，
解得或（不合題意，舍去）．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，且，則度，的長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】延長(zhǎng)至使，連接，證明即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】∵，
∴，
∴
延長(zhǎng)至使，連接，

∵在中，，
∴，
∴是等邊三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一線(xiàn)三等角模型構(gòu)造輔助線(xiàn)．
15．如圖，在等邊中，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，則．

【答案】
【分析】如圖，作，，垂足為，，利用勾股定理和含角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的線(xiàn)段，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，作，，垂足為，，如圖，
設(shè)，，
∵等邊，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
同理可得，
∴，即，
解得，
則．
故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)三角形相似求出相關(guān)線(xiàn)段是關(guān)鍵．
16．如圖，矩形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，且．對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，先證明，得出，根據(jù)，得出，，再證明，得出，證明，得出，聯(lián)立求出得出，，最后在中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，
設(shè)，則，
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，，
設(shè)，則，，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，解得：，
∴，解得：，
在中，根據(jù)勾股定理可得：．
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．
17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cs∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【答案】①②④
【分析】①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得；④依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．
【詳解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正確；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，csα＝，
∴BG＝ABcsB，
∴BC＝2BG＝2ABcsB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD與△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；
③當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且csα＝，AB＝10，BD＝8，
當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且csα＝，AB＝10，
∴csB＝＝，
∴BD＝，故③錯(cuò)誤；
④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
設(shè)BD＝y(tǒng)，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2?16y＋64＝64?10x，
即（y?8）2＝64?10x，
∴0＜x≤6.4，故④正確；
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，該直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線(xiàn)上的點(diǎn)處，且折痕為則的長(zhǎng)為．
【答案】或．
【分析】分情況討論：方法一：當(dāng)點(diǎn)落在如圖1所示的位置時(shí)，證明△BMD∽△CDN，得到，根據(jù)設(shè)求出AN；方法二：當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，同樣方法求出AN.
【詳解】方法一：當(dāng)點(diǎn)落在如圖1所示的位置時(shí)，
是等邊三角形，
，
，
得，
得，
，
設(shè)
則，
，
，
，
解得
；
方法二：當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，
與同理可得.
得.
，
，
設(shè)
則
，
，
，
解得：，
，
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中注意題中的條件“點(diǎn)落在直線(xiàn)上的點(diǎn)處”故點(diǎn)A可在線(xiàn)段BC上，也可在延長(zhǎng)線(xiàn)上，應(yīng)分類(lèi)討論避免漏解.
19．如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線(xiàn)為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過(guò)矩形EAOM的性質(zhì)得到EM的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到DB的長(zhǎng)度，最后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵四邊形AOBC為矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．
∴，，，．
∵點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，
∴，．
又∵點(diǎn)E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵沿EF對(duì)折后得到，
∴，，．
∴．
∵軸，
∴
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵四邊形AOBC是矩形，
∴．
又∵軸，
∴．
∴四邊形EAOM是矩形，
∴．
在中，滿(mǎn)足，
即，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長(zhǎng)度之間的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線(xiàn)，熟練應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
20．將邊長(zhǎng)為15的等邊三角形紙片進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)邊上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且滿(mǎn)足，則的長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】設(shè)，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，，由折疊的性質(zhì)得：，，，由三角形的外角性質(zhì)得出，證明，得出，，由得出方程，解方程即可．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，設(shè)，
是等邊三角形，
，，
，
，，
由折疊的性質(zhì)得：，，，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
，
解得：，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握折疊變換和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．課題學(xué)習(xí)：
【證明體驗(yàn)】
（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，，求證：．
【思考探究】
（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．
【拓展延伸】
（3）請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，證明見(jiàn)解析；（3）5；
【分析】（1）如圖1，由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2，由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（3）證明，求出，再證，可求，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：（1）如圖1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，（負(fù)根舍去）
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，能夠通過(guò)角將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一線(xiàn)三等角是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用同角的余角相等，先說(shuō)明，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；
（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．
（3）由，可得，結(jié)合為的中點(diǎn)，可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∵沿翻折得到，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵四邊形是矩形，，，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，．
在中，．
設(shè)CE的長(zhǎng)為x，則．
∵，
∴．
∴，
即．
∴，
即．
（3）∵，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對(duì)邊相等”、“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”、“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”及“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵．
23．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)交于點(diǎn)，使；
(1)求證：；
(2)設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．(直接寫(xiě)出答案，不寫(xiě)解題過(guò)程)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)3或
【分析】（1）因?yàn)椋?，得到，，得到，即可得出?br>（2）由（1）得到比例式，代入變形得到；
（3）為等腰三角形有三種情況，、、分別利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∵，
∴，
∴．
（3）如圖，當(dāng)時(shí)
∵，
∴，
∴．
如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，
∴即點(diǎn)與點(diǎn)重合．
∵不與點(diǎn)、重合，舍去．
如圖，當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴．
∴，即，
∴．
綜上所述，的長(zhǎng)為3或．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，重點(diǎn)要運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算，第三問(wèn)關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切芜M(jìn)行分類(lèi)．
24．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，連接、，且．
(1)證明：；
(2)若，，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為3或
【分析】(1)證明即可．
(2)利用分類(lèi)思想，分三種情況計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）
當(dāng)時(shí)
∴
∵
∴
∴
∴點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去；
當(dāng)時(shí)，如圖1，
∴
∵
∴
∴AD平分
∴AD垂直平分BC
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖2
∵，
∴∽
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為3或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)交于點(diǎn)，使．

(1)求證：；
(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求線(xiàn)段長(zhǎng)度．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或
【分析】（1）由題意易得，則有，證明，進(jìn)而問(wèn)題可證；
（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，則可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論求解．
【詳解】（1）證明：如圖1，

，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由題意知，
①當(dāng)時(shí)，如圖2，

由（1）知，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
，
②當(dāng)時(shí)，如圖3，

由（1）知，，
作于點(diǎn)，
則，，
，
，
，
，
．
的長(zhǎng)是或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在線(xiàn)段、上運(yùn)動(dòng)，并保持

(1)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)或2或1
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)分別求解，即可得到答案；
（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而得到，，再利用勾股定理，求出，然后證明，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出．
【詳解】（1）解：在中，，，
，
由勾股定理得：，
①如圖1，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)，點(diǎn)、分別與點(diǎn)、重合，
；
②如圖2，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)，，
，，
，即是等腰三角形，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
；
③如圖3，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
綜上可知，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或2或1；

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
在中，，
由（1）③可知，，
又，
，
．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的思想，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
27．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為4．
(1)如圖，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，求證：；

(2)如圖，若點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)7
(3)
【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出，進(jìn)而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；
（3）先求出的值，進(jìn)而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出的值，再求出的長(zhǎng)度，最后用面積差即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)作于，

∴，
∵是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，根據(jù)勾股定理得，，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如下圖，

由（2）知，，
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，，，
∵，
∴，，
過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，
過(guò)點(diǎn)作于，
∵，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于，
∵，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．
28．已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，交射線(xiàn)于點(diǎn)與、不重合），是邊上一點(diǎn)，且．設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，的面積為．

(1)若時(shí)，求的值．
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域．
(3)當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，過(guò)作于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)，得到，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
過(guò)作于，

，
，，
，
，
，
；
（2），，
，
，
過(guò)作于，則四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
即；
（3）設(shè)，
由（1）知，，
，如圖1，

，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，
，
，
當(dāng)與相似時(shí)，
有或，
，
與相似，
或，
或，
解得：或（不合題意舍去），
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，，

當(dāng)與相似時(shí)，
有，
，
，
，
，
解得：，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似形三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．
（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說(shuō)明理由；
（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；
（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)用BP表示BD，并求出BD的最大值．
【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由見(jiàn)解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值為4．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)解答；
（2）證明△BDP≌△CPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CP，BP＝CE，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；
（3）證明△BDP∽△CPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求出BP與BD的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出BD的最大值．
【詳解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE為正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC為等邊三角形，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，即
整理得，BD＝，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值為4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行邏輯證明是解題關(guān)鍵．
30．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折?為（點(diǎn)E在邊上）．

(1)當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，的值為_(kāi)_____．
(2)當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)時(shí)，的值為_(kāi)_____．
【答案】(1)1
(2)或
【分析】（1）連接，根據(jù)三線(xiàn)合一和折疊得到，，進(jìn)而得到，再證明是等邊三角形即可得到即可求出結(jié)果；
（2）分兩種情況，和，用k表示和，然后利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：連接，如下圖所示，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，為等邊三角形，
∴，，，
∵將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴ ,
即；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)時(shí)，共有兩種情況：
情況一：當(dāng)時(shí)，設(shè)，
∴，
∵為等邊三角形，由折疊可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
同上一種情況得：，
∴，
∴，
∴，
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，利用折疊得出等邊三角形是解第一問(wèn)的關(guān)鍵，利用相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，再適當(dāng)?shù)挠胟表示邊是解第二問(wèn)的關(guān)鍵.
31．如圖所示，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B，將沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)P為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線(xiàn)交于點(diǎn)M，使，
①求證：；
②是否存在點(diǎn)P使為直角三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)①見(jiàn)解析；②存在，點(diǎn)有兩個(gè)，
【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可得到，則，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得，從而證得兩個(gè)三角形相似；
②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，則有，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得的長(zhǎng)，求得P的坐標(biāo)；
當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，則此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．
【詳解】（1）解：，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
；
（2）①證明：，且，，
，
又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且，
，
；
②解：存在．
由題意：，，，
當(dāng)時(shí)，則有，
∴，即，
，即：；
當(dāng)時(shí)，則，
，
，
，
，
過(guò)點(diǎn)B只有一條直線(xiàn)與垂直，
∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)，．
【點(diǎn)睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
32．在矩形中，點(diǎn)在上，，，．
(1)如圖1，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證明：是等腰三角形；
(2)如圖2，點(diǎn)在矩形的邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．求證：；
(3)如圖3，若交于點(diǎn)，，其他條件不變，且的面積是6，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）先利用矩形性質(zhì)得，再利用同角的余角相等得，根據(jù)已知邊的長(zhǎng)度計(jì)算出，則由證得，據(jù)此即可求解；
（2）利用兩角對(duì)應(yīng)相等證明；
（3）作輔助線(xiàn)，構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得，則，所以，再利用的面積是6，列式可得，兩式結(jié)合可求得的長(zhǎng)，利用勾股定理求，從而得出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）證明：∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖③，過(guò)F作于G，則四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
33．閱讀下列材料：
如圖1，點(diǎn)A、D、E在直線(xiàn)l上，且，
則：，
又，
故．
像這樣一條直線(xiàn)上有三個(gè)等角頂點(diǎn)的圖形我們把它稱(chēng)為“一線(xiàn)三等角”圖形．

請(qǐng)根據(jù)以上閱讀解決下列問(wèn)題：
(1)如圖2，中，，，直線(xiàn)ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作于點(diǎn)D，過(guò)B作于點(diǎn)E．求證：．
(2)如圖3，在中，點(diǎn)D在上，，，，，求點(diǎn)C到邊的距離．
(3)如圖4，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)．若，，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)15
【分析】（1）由可證，由可證，進(jìn)一步可證；
（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，由等腰三角形三線(xiàn)合一，得，進(jìn)一步證得，可證∴，于是，得解點(diǎn)C到的距離為；
（3）以點(diǎn)D為端點(diǎn)，作線(xiàn)段，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，則，可證，于是，得，從而求得．
【詳解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，．
∴．
在與中，
，
∴；
（2）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在與中，
，
∴．
∴．
即點(diǎn)C到的距離為；
（3）解：以點(diǎn)D為端點(diǎn)，作線(xiàn)段，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，
則．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，相似三角形得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
34．如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將含有的三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，并繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交邊于、兩點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：
(2)如圖2，連接，，，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)15
【分析】（1）證明，即可得到；
（2）如圖，連接，過(guò)作于，設(shè)，則，，證明，，可得，可得，，同理：由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)可得：，，證明，可得，則，可得，，結(jié)合，可得，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，，將含有的三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如圖，連接，過(guò)作于，

∵，，為中點(diǎn)，
∴，，，
設(shè)，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理：由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（負(fù)根舍去），
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．
35．如圖1，點(diǎn)P是線(xiàn)段上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以A，P，B為頂點(diǎn)作，其中∠1與∠3的一邊分別是射線(xiàn)和射線(xiàn)，的兩邊不在直線(xiàn)上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線(xiàn)段為等聯(lián)線(xiàn)．

(1)如圖2，在個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長(zhǎng)均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線(xiàn)段．請(qǐng)用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線(xiàn)段為等聯(lián)線(xiàn)、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；
(2)如圖3，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)B，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得到，再延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接．
①確定的形狀，并說(shuō)明理由；
②若，求等聯(lián)線(xiàn)和線(xiàn)段的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；②等聯(lián)線(xiàn)，線(xiàn)段
【分析】（1）根據(jù)新定義，畫(huà)出等聯(lián)角即可；
（2）①是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，由折疊得，證明四邊形為正方形，進(jìn)而證明，得出，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)F作于Q，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于R，則．證明，得出，在中，，，進(jìn)而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可．
【詳解】（1）解：作圖如下：（方法不唯一）

（2）①是等腰直角三角形．理由為：
如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于N．

由折疊得，
∵，
∴四邊形為正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如圖，過(guò)點(diǎn)F作于Q，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于R，
則，

∵，
∴，
由是等腰直角三角形知：，
∴，
∴，
而，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為正方形，，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
解得：，
由①知：，
∴，
答：等聯(lián)線(xiàn)，線(xiàn)段．
【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．如圖，已知等腰，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），作．射線(xiàn)交邊于點(diǎn)M．
(1)求證：；
(2)若為等腰三角形，求的長(zhǎng)；
(3)如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使得，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或
(3)
【分析】（1）先根據(jù)等邊對(duì)等角證明，則，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明，即可證明；
（2）分當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，三種情況討論求解即可；
（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于E，過(guò)點(diǎn)P作于G，過(guò)點(diǎn)N作于H，設(shè)，利用三線(xiàn)合一定理和勾股定理求出，，證明，推出，，證明，得到，則可設(shè)，根據(jù)三線(xiàn)合一定理得到，證明，得到，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，則，
∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得（不合題意值舍去），
∴；
當(dāng)時(shí)，則，
∴；
綜上所述，當(dāng)為等腰三角形，的長(zhǎng)為或
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于E，過(guò)點(diǎn)P作于G，過(guò)點(diǎn)N作于H，設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴可設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
37．【感知】
如圖①，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（不與A、B重合），．
易證：（不要求證明）．
【探究】
如圖②，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．
(1)求證：．
(2)若，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________．
【應(yīng)用】
如圖③，在中，．點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)，作與邊交于點(diǎn)E．
(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
(4)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)，得到，即可求解；
（2）設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)，求解即可；
（3）通過(guò)三角形外角的性質(zhì)，得到，利用相似三角形的性質(zhì)，求解即可；
（4）分兩種情況，、，分別求解即可．
【詳解】（1）證明：由三角形外角的性質(zhì)可得：；
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：設(shè)，
由（1）得，則，即
解得，
（3）解：設(shè)，則
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
化簡(jiǎn)可得：，
解得或
即或
（4）解：由（3）可得，
∴，
則為等腰三角形，有兩種情況，或
當(dāng)時(shí)
由（3）可得，，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
則，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
，
由可得，，即，
解得，
，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
38．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)與的斜邊的中點(diǎn)重合．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段與線(xiàn)段相交于點(diǎn)，射線(xiàn)與線(xiàn)段相交于點(diǎn)，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)．
(1)求證：∽．
(2)當(dāng)，，求的長(zhǎng)．
(3)在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)10
(3)
【分析】由和是兩個(gè)等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得，則可證得；
由相似三角形的性質(zhì)可求，可求，，即可求的長(zhǎng)；
首先解，求出的長(zhǎng)，再證明，進(jìn)而解決問(wèn)題．
【詳解】（1）證明：和是兩個(gè)等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
（2）解：，
，且，，
，
，
，
，，
；
（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，

，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查相似形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

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