◎結(jié)論1：已知點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB.

【證明】∵點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴CM=AC，CN=BC
【奇思妙想消消消：等號左邊CM，CN消掉共同字母C,得MN。
等號右邊AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB
◎結(jié)論2：已知點(diǎn)C在線段AB延長線上，點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB.

【證明】∵點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=AC，NC=BC，
【奇思妙想消消消：等號左邊MC，NC消掉共同字母C,得MN。
等號右邊AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
一半一半又一半
已知點(diǎn)C是線段BA 延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) M，N分別是 AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB

無論線段之間的和差關(guān)系如何變 ，MN的長度只與AB有關(guān).即MN=AB.
1. (2023·山西晉城·七年級期末）已知線段，在線段上任取一點(diǎn)C，其中線段的中點(diǎn)為E、線段的中點(diǎn)為F．則線段的長度是_______．
2. (2023·甘肅·涼州區(qū)中佳育才學(xué)校七年級期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．
(1)若AM=1，BC=4，求MN的長度．
(2)若AB=6，求MN的長度．
1． (2023·福建泉州·七年級期末）如圖，線段，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的長為__________．
2． (2023·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知線段AB=10cm，線段AC=16cm，且AB、AC在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)AB、AC的中點(diǎn)M、N之間的距離為（ ）
A．13cmB．6cmC．3cmD．1.5cm
3． (2023·云南保山·七年級期末）如圖，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．則MN的長為（ ）
A．12cmB．11cmC．13cmD．10cm
4． (2023·山東棗莊東方國際學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知線段AB＝12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．
(1)若AC＝4cm，求DE的長；
(2)若把“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在直線AB上”，當(dāng)AC＝4cm時(shí)，求DE的長．（請畫出圖形，說明理由）
5． (2023·山東·龍口市培基學(xué)校期中）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．
(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的長度；
(2)若AB＝14，求MN的長度．
1．（2018·湖南邵陽·中考模擬）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
（1）若，求線段MN 的長；
（2）若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，你能求出的長度嗎？請說明理由．
（3）若在線段的延長線上，且滿足分別為 AC、BC的中點(diǎn)，你能求出的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
2． (2023·安徽·宣城市第六中學(xué)一模）如圖所示，已知是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
（1）若，，求的長和的距離；
（2）如果，，用含的式子表示的長．
幾何圖形初步
模型（一） 線段雙中點(diǎn)

◎結(jié)論1：已知點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB.

【證明】∵點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴CM=AC，CN=BC
【奇思妙想消消消：等號左邊CM，CN消掉共同字母C,得MN。
等號右邊AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB
◎結(jié)論2：已知點(diǎn)C在線段AB延長線上，點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB.

【證明】∵點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=AC，NC=BC，
【奇思妙想消消消：等號左邊MC，NC消掉共同字母C,得MN。
等號右邊AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
一半一半又一半
已知點(diǎn)C是線段BA 延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) M，N分別是 AC，BC的中點(diǎn)，則MN=AB

無論線段之間的和差關(guān)系如何變 ，MN的長度只與AB有關(guān).即MN=AB.
1. (2023·山西晉城·七年級期末）已知線段，在線段上任取一點(diǎn)C，其中線段的中點(diǎn)為E、線段的中點(diǎn)為F．則線段的長度是_______．
【答案】##2.5cm【也可根據(jù)雙中點(diǎn)結(jié)論，直接得出結(jié)果】
【分析】先畫出圖形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，再根據(jù)即可得．
【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：
線段的中點(diǎn)為、線段的中點(diǎn)為，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握線段中點(diǎn)的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
2. (2023·甘肅·涼州區(qū)中佳育才學(xué)校七年級期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．
(1)若AM=1，BC=4，求MN的長度．
(2)若AB=6，求MN的長度．
【答案】(1)MN=3
(2)MN=3【也可根據(jù)雙中點(diǎn)結(jié)論，直接得出結(jié)果】
【分析】（1）由已知可求得CN的長，從而不難求得MN的長度；
（2）由已知可得AB的長是NM的2倍，已知AB的長則不難求得MN的長度．
（1）
解：∵N是BC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，AM=1，BC=4，
∴CN=2，AM=CM=1，
∴MN=MC+CN=3；
（2）
解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，AB=6，
∴NM=MC+CN=AB=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離，熟練掌握線段的中點(diǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·福建泉州·七年級期末）如圖，線段，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的長為__________．
【答案】6.5【也可根據(jù)雙中點(diǎn)結(jié)論，直接得出結(jié)果】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出MN=AB即可．
【詳解】∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)
∴MC=AC；CN=BC，
∴MN=MC+CN
=AC+BC
=
=
=6.5cm
故答案為6.5.
【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
2． (2023·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知線段AB=10cm，線段AC=16cm，且AB、AC在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)AB、AC的中點(diǎn)M、N之間的距離為（ ）
A．13cmB．6cmC．3cmD．1.5cm
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)，分別算出、的長，然后再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
∵cm，
又∵的中點(diǎn)為，
∴，
∵cm，
∵的中點(diǎn)為，
∴，
∴．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和、差關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．
3． (2023·云南保山·七年級期末）如圖，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．則MN的長為（ ）
A．12cmB．11cmC．13cmD．10cm
【答案】A
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)直接可得出BM的長，計(jì)算出BD，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)推出BN=DN=BD，進(jìn)而結(jié)合圖形根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴BM=AM=AB=×6=3（cm），
∵BC=10cm,CD=8cm,
∴BD=BC+CD=10+8=18（cm），
∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，
∴BN=DN=BD=×18=9（cm），
∴MN=MB+BN=3+9=12（cm）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是能正確表示線段的和差倍分，連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離，平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長度．
4． (2023·山東棗莊東方國際學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知線段AB＝12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．
(1)若AC＝4cm，求DE的長；
(2)若把“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在直線AB上”，當(dāng)AC＝4cm時(shí)，求DE的長．（請畫出圖形，說明理由）
【答案】(1)6cm
(2)DE的長是6cm，圖形、理由見解析
【分析】（1）由AB＝12cm，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，即可推出DE＝DC+CE＝6cm；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上；②當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上；根據(jù)線段的中點(diǎn)與和差關(guān)系可得DE的長．
（1）
解：∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝AB﹣AC＝8cm，
∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，
∴DC＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm，
∴DE＝DC+CE＝6cm；
（2）
解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，由（1）得DE＝6cm；
②當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上，如下圖所示，
BC＝AC+AB＝4+12＝16cm，
∵AC＝4cm，且D是AC的中點(diǎn)，
∴CD＝AC＝2cm，
又∵E分別是BC的中點(diǎn)，
∴CE＝BC＝8cm，
∴DE＝CE﹣CD＝8﹣2＝6cm，
∴當(dāng)C在直線AB上時(shí)，線段DE的長度是6cm．
綜上所述，DE的長是6cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，掌握線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·山東·龍口市培基學(xué)校期中）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．
(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的長度；
(2)若AB＝14，求MN的長度．
【答案】(1)6
(2)7
【分析】（1）由已知可求得CN的長，從而不難求得MN的長度；
（2）由已知可得AB的長是MN的2倍，已知AB的長則不難求得MN的長度．
（1）
解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，
∴MC＝AM＝2，NC＝BC＝4，
∴MN＝MC+NC＝6；
故MN的長度為6．
（2）
解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，
∴MC＝AC，NC＝BC，
∴MN＝MC+NC＝＝AC+BC＝AB＝7．
故MN的長度為7．
【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)間距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點(diǎn)性質(zhì)．
1．（2018·湖南邵陽·中考模擬）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
（1）若，求線段MN 的長；
（2）若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，你能求出的長度嗎？請說明理由．
（3）若在線段的延長線上，且滿足分別為 AC、BC的中點(diǎn)，你能求出的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】（1）7.5；（2）a，理由見解析；（3）能，MN=b，畫圖和理由見解析
【分析】（1）據(jù)“點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的長度即可．
（2）據(jù)題意畫出圖形，利用MN=MC+CN即可得出答案．
（3）據(jù)題意畫出圖形，利用MN=MC-NC即可得出答案．
【詳解】解：（1）點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴CM=AC=4.5cm，
CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．
所以線段MN的長為7.5cm．
（2）MN的長度等于a，
根據(jù)圖形和題意可得：MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a；
（3）MN的長度等于b，
根據(jù)圖形和題意可得：
MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是掌握線段的中點(diǎn)把線段分成兩條相等的線段，注意根據(jù)題意畫出圖形也是關(guān)鍵．
2． (2023·安徽·宣城市第六中學(xué)一模）如圖所示，已知是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
（1）若，，求的長和的距離；
（2）如果，，用含的式子表示的長．
【答案】（1）10，11；（2）
【分析】（1）利用即可求出的長，進(jìn)一步求取的距離即可；
（2）根據(jù)（1）中的式子、將，代入進(jìn)一步求解即可.
【詳解】（1）∵，，
∴
∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
∴AM= AC，BN=BD，
∵
∴，
∴cm；
（2）由（1）可知，
∵，，
∴
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

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