考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 零點(diǎn)的區(qū)間
【例1】 (2023·河南開封·）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·湖南）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
2． (2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)二 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
【例2-1】 (2023·陜西）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例2-2】 (2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【一隅三反】
1． (2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．0
3． (2023·海南?。┰O(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有（ ）個(gè)零點(diǎn)
A．4B．5C．6D．7
考點(diǎn)三 比較零點(diǎn)的大小
【例3】 (2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c則a，b，c的大小順序?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南）若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·安徽）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·山西）正實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)四 已知零點(diǎn)求參數(shù)
【例4-1】 (2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】 (2023·吉林）已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】 (2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模）已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五 零點(diǎn)的綜合運(yùn)用
【例5-1】 (2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】 (2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·陜西·模擬預(yù)測（理））已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2B．3C．6D．10
3． (2023·陜西·西安中學(xué)一模（理））函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_________.
3.6 零點(diǎn)定理（精講）（提升版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 零點(diǎn)的區(qū)間
【例1】 (2023·河南開封·）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋亩x域?yàn)椋?br>，所以在上單調(diào)遞增，
所以，，
由零點(diǎn)存在性定理知：，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：D.
【一隅三反】
1． (2023·湖南）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).
故選：B
2． (2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，故其至多一個(gè)零點(diǎn)；
又，，故的零點(diǎn)在區(qū)間，故.故選：．
3． (2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，易知在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
又，，所以的零點(diǎn)在上，即題中方程的根屬于．故選：B．
考點(diǎn)二 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
【例2-1】 (2023·陜西）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與函數(shù)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，
當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有一個(gè).
綜上，函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè).故選：D
【例2-2】 (2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】作出的圖像，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為曲線
與直線在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)9.
選：B.
【一隅三反】
1． (2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】令，得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，可知兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．0
【答案】C
【解析】在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，，，，
作出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
3． (2023·海南?。┰O(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有（ ）個(gè)零點(diǎn)
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故關(guān)于原點(diǎn)對稱，故關(guān)于對稱，又為偶函數(shù)，故關(guān)于對稱，又當(dāng)時(shí)，，畫出圖象，易得函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)
故選：C
考點(diǎn)三 比較零點(diǎn)的大小
【例3】 (2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c則a，b，c的大小順序?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，
由圖象知，，.
故選：D
【一隅三反】
1． (2023·河南）若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】畫出與三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖可得的與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，故
故選：B
2． (2023·安徽）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，
，，即，由零點(diǎn)存在定理可知．；
設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知，；
設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，，因?yàn)椋珊瘮?shù)單調(diào)性可知，，即.故選:A．
3． (2023·山西）正實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即，即，與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，
則在只有一個(gè)根，令，
，，，則；
，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，
則在只有一個(gè)根，令，，
，，故；
，即，
即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，
則在只有一個(gè)根，令，，
，，則；故選：A.
考點(diǎn)四 已知零點(diǎn)求參數(shù)
【例4-1】 (2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得：，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，在處取得極小值，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖像和直線，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B
【例4-2】 (2023·吉林）已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)闀r(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；
時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；
作出在上的圖象，如圖：
由圖可知要使有3個(gè)不同的實(shí)根，則.
故選：D.
【例4-3】 (2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，
若，即，必有，令，則，
設(shè)，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，
又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的圖像如下圖所示：
若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)的圖像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，
若直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，m＝0，
若直線與函數(shù)的圖像相切，令，令.故.故選：D．
2． (2023·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)闉槎x在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，
則，，即，
因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，.
當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得.
結(jié)合函數(shù)的圖象可知，若有3個(gè)零點(diǎn)，則．
故選：A
3． (2023·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模）已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即.
設(shè)，即在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，
因?yàn)?，故只需，解得，故選：D．
4． (2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知，畫出函數(shù)的簡圖，如圖所示
由恰好有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)的斜率為，則.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.
考點(diǎn)五 零點(diǎn)的綜合運(yùn)用
【例5-1】 (2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，令，即，?dāng)時(shí)顯然不成立，
當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，如圖，
它們關(guān)于點(diǎn)對稱，
由圖象可知它們在上有4個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱，每對稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，所以4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．故選：C．
【例5-2】 (2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
即方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根
設(shè)，則為偶函數(shù).且
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且
所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，；時(shí)，，則的大致圖像如圖.
所以方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根滿足
則，設(shè)，則在上恒成立
所以
故選：A
【例5-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令、，則、，
在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，
因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，，
解方程組，
因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，
則，，，A、B、D錯(cuò)誤，
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)?，?br>所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，，故C正確，
故選：C．
【一隅三反】
1． (2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，
所以，把分別代入下面四個(gè)選項(xiàng)，
對于A，，不一定為0，故A錯(cuò)誤；
對于B，，所以是函數(shù)的零點(diǎn)，故B正確；
對于C，，故C不正確；
對于D，，故D不正確；
故選：B.
2． (2023·陜西·模擬預(yù)測（理））已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2B．3C．6D．10
【答案】A
【解析】方程可變形為方程，方程可變形為方程，
是方程的根，是方程的根，
是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)等于函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)縱坐標(biāo),即在數(shù)圖象上，
又圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為2， ，
故選：．
3． (2023·陜西·西安中學(xué)一模（理））函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_________.
【答案】
【解析】由，可得，令，
可得函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線的對稱，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，
由圖象可得，函數(shù)與的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)依次為，
這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線的對稱，所以，
所以，
即函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.
故答案為：.

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