考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 復(fù)數(shù)的基本知識
【例1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．z的虛部為4iB．z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣4i
C．|z|＝5D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．的虛部為B．
C．在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限D(zhuǎn)．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)（多選））已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．
C．若，則，D．的虛部是
3． (2023·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（ ）
A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為
B．若為實數(shù)，則
C．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則
D．當時，
考點二 復(fù)數(shù)的模長
【例2-1】 (2023·湖南·高一期中）已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【例2-2】 (2023·福建寧德·模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A．B．2C．D．3
【例2-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．5D．6
【例2-4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點(x，y)滿足方程（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南·模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)z滿足，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．4C．9D．16
2 (2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若z是復(fù)數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
考點三 復(fù)數(shù)的幾何意義
【例3-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，且在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限，則z=（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】 (2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)z的虛部為B．
C．D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2． (2023·河南新鄉(xiāng)·高二期中（理））若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則（ ）
A．不可能為純虛數(shù)
B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第二象限
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點一定位于第三象限
D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第四象限
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，為的共軛復(fù)數(shù)，有下列關(guān)于的四個命題：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一個假命題，則該命題是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
考點四 復(fù)數(shù)與其他知識的綜合運用
【例4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．1010D．1011
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2，4對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3． (2023·河南商丘）定義函數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則的展開式中系數(shù)最大項為（ ）
A．B．
C．D．
考點五 解復(fù)數(shù)的方程
【例5】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個虛根，若，則的值是（ ）
A．或B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·重慶八中模擬預(yù)測）若虛數(shù)單位是關(guān)于x的方程的一個根，則（ ）
A．0B．1C．D．2
2． (2023·山東棗莊·一模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，且使得關(guān)于的方程有實根，則這樣的復(fù)數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
考點六 綜合運用
【例6】 (2023·河北·石家莊二中）（多選）下列四個命題中，真命題為（ ）
A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)滿足，則D．若復(fù)數(shù)，滿足，則
【一隅三反】
1． (2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·福建泉州·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則或
3． (2023·山東青島·高三期末）（多選）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列正確的為（ ）
A．若z是實數(shù)，則B．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點位于一條拋物線上
C．D．若，則
1.3 復(fù)數(shù)（精講）（提升版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 復(fù)數(shù)的基本知識
【例1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．z的虛部為4iB．z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣4i
C．|z|＝5D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限
【答案】B
【解析】∵，
∴ z的虛部為4, z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣4i，|z|，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限.故選：B
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．的虛部為B．
C．在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限D(zhuǎn)．
【答案】D
【解析】因為復(fù)數(shù)，所以，
z的虛部為，，對應(yīng)點在第一象限，，
故選：D
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)（多選））已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．
C．若，則，D．的虛部是
【答案】BC
【解析】，，故不能推出，A不正確；
由復(fù)數(shù)模的定義，故B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)相等知，時，正確，故C正確；
由虛部的定義知，的虛部是y,故D不正確.故選：BC
3． (2023·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（ ）
A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為
B．若為實數(shù)，則
C．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則
D．當時，
【答案】D
【解析】，
對于A：當是純虛數(shù)時，則且，解得，此時這個純虛數(shù)為，故A不正確；
對于B：當為實數(shù)時，則，解得，故B不正確；
對于C：當在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則，解得，故C不正確；
對于D：當時，，所以，故D正確，故選：D.
考點二 復(fù)數(shù)的模長
【例2-1】 (2023·湖南·高一期中）已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.
故選：C
【例2-2】 (2023·福建寧德·模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】因為，所以，故設(shè)，則，
所以.故選：D
【例2-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．5D．6
【答案】C
【解析】設(shè).則表示復(fù)平面點到點的距離為3.
則的最大值為點到的距離加上3.即.故選：C.
【例2-4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點(x，y)滿足方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，代入得：. 故選：B
【一隅三反】
1． (2023·河南·模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)z滿足，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．4C．9D．16
【答案】C
【解析】設(shè)，則，
由，得，即，
所以所對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心為半徑的圓，
因為為z的共軛復(fù)數(shù)，所以即，
而可看作該圓上的點到原點的距離的平方，所以.故選：C.
2 (2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】令，，則表示與距離為1的點集，即，
此時，表示圓上點到原點距離，
所以的最大值，即為圓上點到原點的最大距離，而圓心到原點距離為1，且半徑為1，
所以圓上點到原點的最大為2.故選：B.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若z是復(fù)數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，動點的軌跡可看作以為圓心，2為半徑的圓，
|z+1-i|+|z|可看作點P到和的距離之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知當P，A，O三點共線時，|z+1-i|+|z|取得最大值時，
且最大值為|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故選：D．
考點三 復(fù)數(shù)的幾何意義
【例3-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，且在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限，則z=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】把四個選項一一代入驗證：
對于A：z=，則有，.故A錯誤；
對于B：z=，則有，.故B正確；
對于C：z=，則有，.故C錯誤；
對于D：z=，則有，.故D錯誤；
故選：B
【例3-2】 (2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)z的虛部為B．
C．D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】BC
【解析】設(shè)復(fù)數(shù).
因為，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，
所以，解得：，即.
對于A：復(fù)數(shù)z的虛部為.故A錯誤；
對于B：.故B正確；
對于C：因為，所以.故C正確；
對于D：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為.故D錯誤.
故選：BC
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】.所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，故選：D
2． (2023·河南新鄉(xiāng)·高二期中（理））若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則（ ）
A．不可能為純虛數(shù)
B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第二象限
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點一定位于第三象限
D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第四象限
【答案】D
【解析】由為第二象限，其對應(yīng)輻角范圍為，所以對應(yīng)輻角為，
故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第三、四象限及y軸的負半軸.所以A、B、C錯誤，D正確.
故選：D
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，為的共軛復(fù)數(shù)，有下列關(guān)于的四個命題：
甲：； 乙：；
丙：； ?。海?br>如果只有一個假命題，則該命題是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】設(shè)，由于對應(yīng)點在第二象限，所以，
，，，.
甲，乙，丙，
丁，由于“只有一個假命題”，所以乙是假命題，的值應(yīng)為.
故選：B
考點四 復(fù)數(shù)與其他知識的綜合運用
【例4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．1010D．1011
【答案】B
【解析】因為，
所以，
相減得，
所以，虛部為．故選：B．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2，4對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且，則點C對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知，復(fù)平面內(nèi)點A和點B的坐標分別為，，設(shè)點C的坐標為
所以，根據(jù)得，
計算得
所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，其共軛復(fù)數(shù)為，選項C正確.
故選：C.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】設(shè)，,
當，即時， ，所以
取，，,,則滿足，但顯然不滿足
所以“”是“”的充分不必要條件故選：A
3． (2023·河南商丘）定義函數(shù)，若（i為虛數(shù)單位），則的展開式中系數(shù)最大項為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知，兩邊取模，得，所以n＝10．
二項式的展開式的通項為，
因為n＝10，則．
令第r＋1項的系數(shù)最大，則，即，解得，
因為，所以r＝3，所以，故系數(shù)最大的項為．故選：C．
考點五 解復(fù)數(shù)的方程
【例5】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個虛根，若，則的值是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知方程有兩個虛根，因此方程判別式小于0，即.,
設(shè)由韋達定理可知
所以, 即
, 即, 所以
所以
故答案為：C
【一隅三反】
1． (2023·重慶八中模擬預(yù)測）若虛數(shù)單位是關(guān)于x的方程的一個根，則（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【解析】由題，是方程的一個根，所以，即，則，
所以，即，所以，選：B
2． (2023·山東棗莊·一模）設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由方程得，由求根公式得，不妨設(shè)，.
，A錯誤；，B錯誤；
，C錯誤；，D正確.
故選：D.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，且使得關(guān)于的方程有實根，則這樣的復(fù)數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【解析】設(shè),因為,所以,
所以將代入方程整理
，
因為關(guān)于的方程有實根，
所以
所以當時，解得，此時關(guān)于的方程為或，易知方程無實數(shù)根，故舍去，所以；
當時，解得，，所以，所以，此時方程有實數(shù)根，滿足條件.
綜上，或.
故這樣的復(fù)數(shù)的個數(shù)為個.故選：C
考點六 綜合運用
【例6】 (2023·河北·石家莊二中）（多選）下列四個命題中，真命題為（ ）
A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)滿足，則D．若復(fù)數(shù)，滿足，則
【答案】AB
【解析】對選項A，若復(fù)數(shù)，設(shè)，其中，則，則選項A正確；
對選項B，若設(shè)，其中，且，則，則選項B正確；
對選項C，若，設(shè)，則，但，則選項C錯誤；
對選項D，若復(fù)數(shù)，滿足，設(shè)，，則，
而，則選項D錯誤.故選：AB.
【一隅三反】
1． (2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】，，
故B錯誤；
，
故A正確；
，故C正確；
，，
，
，，
故D錯誤.故選：AC.
2． (2023·福建泉州·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則或
【答案】AD
【解析】對于A，設(shè)，，則，
，即，，A正確；
對于B，令，，則，此時，B錯誤；
對于C，令，，則，此時，C錯誤；
對于D，設(shè)，，則，
，即，則；
若，則成立，此時；
若，，由知：；由知：；此時；
同理可知：當，時，；
若，，由得：，，此時；
綜上所述：若，則或，D正確.
故選：AD.
3． (2023·山東青島·高三期末）（多選）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列正確的為（ ）
A．若z是實數(shù)，則B．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點位于一條拋物線上
C．D．若，則
【答案】BC
【解析】選項A：由復(fù)數(shù)是實數(shù)可知，解之得.選項A判斷錯誤；
選項B：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點，其坐標滿足方程，即點位于拋物線上. 判斷正確；
選項C：由，可得
.判斷正確；
選項D： 即
可得，解之得.選項D判斷錯誤.
故選：BC

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2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 9.2 橢圓（精講）（提升版）（原卷版+解析版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 9.2 橢圓（精講）（提升版）（原卷版+解析版），共28頁。試卷主要包含了橢圓定義及應(yīng)用，橢圓的標準方程，橢圓的離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長及中點弦等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.5 外接球（精講）（提升版）（原卷版+解析版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.5 外接球（精講）（提升版）（原卷版+解析版），共31頁。試卷主要包含了漢堡模型，墻角模型，斗笠模型，麻花模型，L模型，懷表模型，矩形模型，內(nèi)切球等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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