2024年新高考數(shù)學(xué)專(zhuān)用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 4.1 切線方程（精講）（提升版）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一斜率和傾斜角
【例1-1】 (2023·江蘇淮安）已知函數(shù)在處的切線斜率為，則（）
A．B．C．D．
【例1-2】 (2023·重慶一中）已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·遼寧）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
2． (2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在處的切線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（）
A．B．±C．D．±
3． (2023·湖南）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)二 “在型”的切線方程
【例2-1】 (2023·廣西）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·廣西·貴港市）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）
A．，B．，
C．，D．，
【一隅三反】
1． (2023·河南）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）
A．B．
C．D．
2． (2023·安徽）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
3． (2023·安徽·巢湖市）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（）
A．B．C．D．1
4． (2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三 “過(guò)型”的切線方程
【例3】 (2023·河南洛陽(yáng)）已知函數(shù)，則曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)）（多選）已知曲線.則曲線過(guò)點(diǎn)P（1，3）的切線方程為.（）
A．B．C．D．
2 (2023·北京·匯文中學(xué)）過(guò)點(diǎn)的切線方程是__________.
3． (2023·四川·廣安二中）函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程為
考點(diǎn)四切線或切點(diǎn)數(shù)量問(wèn)題
【例4-1】 (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【例4-2】 (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
2． (2023·湖北·宜城市第一中學(xué)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．且
3． (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4． (2023·全國(guó)·高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．
考點(diǎn)五公切線
【例5-1】 (2023·安徽省舒城中學(xué)）已知直線l是曲線與的公共切線，則l的方程為_(kāi)____.
【例5-2】 (2023·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．
2． (2023·河北保定·二模）（多選）若直線是曲線與曲線的公切線，則（）
A．B．C．D．
3． (2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.
考點(diǎn)六切線與其他知識(shí)的運(yùn)用
【例6-1】 (2023·湖北·黃岡中學(xué)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．8B．9C．10D．13
【例6-2】 (2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)_____________.
【一隅三反】
1． (2023·河北衡水）已知函數(shù)在處的切線為l，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在切線l上，則的最小值為（）
A．B．C．D．
2． (2023·安徽）對(duì)于三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處點(diǎn)的切線重合，則（）
A．B．C．D．
3． (2023·黑龍江·哈爾濱三中）若曲線過(guò)點(diǎn)的切線恒在函數(shù)的圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
考點(diǎn)七切線方程的運(yùn)用
【例7-1】 (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【例7-2】 (2023·山東煙臺(tái)·三模）已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·江蘇徐州）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線的兩條互相垂直的切線，切點(diǎn)分別為（不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則面積的取值范圍為（）
A．B．C．D．
2． (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
3． (2023·云南曲靖·二模）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．
C．D．
4． (2023·江西·新余市）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)距離的最小值為_(kāi)______
4.1 切線方程（精講）（提升版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一斜率和傾斜角
【例1-1】 (2023·江蘇淮安）已知函數(shù)在處的切線斜率為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，則，
，而，故，，故選：D
【例1-2】 (2023·重慶一中）已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，
又為偶函數(shù)，，即時(shí)，，
則，.故選：A.
【一隅三反】
1． (2023·遼寧）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，
又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得．故答案為：.
2． (2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在處的切線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】因?yàn)樗?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴．
故選：C.
3． (2023·湖南）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，
即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．
考點(diǎn)二 “在型”的切線方程
【例2-1】 (2023·廣西）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵∴，所以，
又當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.
故選：A.
【例2-2】 (2023·廣西·貴港市）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．
【一隅三反】
1． (2023·河南）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，所以，
所以所以．因?yàn)?，所以．所以所求切線方程為，即．故選：A.
2． (2023·安徽）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
所以，又，故切線方程為，即.故選：A
3． (2023·安徽·巢湖市）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；
對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得
故選：A.
4． (2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，
曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，
整理得，所以．
令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，
則的取值范圍是．故選：C.
考點(diǎn)三 “過(guò)型”的切線方程
【例3】 (2023·河南洛陽(yáng)）已知函數(shù)，則曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率為，
所以，所求切線方程為，
將原點(diǎn)坐標(biāo)代入所求切線方程可得，即，解得，
因此，所求切線方程為.故選：C.
【一隅三反】
1． (2023·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)）（多選）已知曲線.則曲線過(guò)點(diǎn)P（1，3）的切線方程為.（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，
所以切線方程為，
因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)（1，3），所以，即，即，
解得或，所以切線方程為或，故選：AB
2 (2023·北京·匯文中學(xué)）過(guò)點(diǎn)的切線方程是__________.
【答案】或
【解析】由題，設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線方程為：
因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，，即，解得或.
所以，當(dāng)時(shí)，切線方程為：；當(dāng)時(shí)，切線方程為：；
綜上，所求切線方程為：或故答案為: 或
3． (2023·四川·廣安二中）函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程為
【答案】或
【解析】由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，又切線過(guò)，
則，可得或，當(dāng)時(shí)，切線為；當(dāng)時(shí)，切線為，整理得.故選：C
考點(diǎn)四切線或切點(diǎn)數(shù)量問(wèn)題
【例4-1】 (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，
所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，
所以，解得或，所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C
【例4-2】 (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，，
設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.
【一隅三反】
1． (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（）
A．0條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，
所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，
所以，解得或，所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C
2． (2023·湖北·宜城市第一中學(xué)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【解析】作出的圖象，由圖可知，
若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，點(diǎn)應(yīng)在曲線外，
設(shè)切點(diǎn)為，所以，，
所以切線斜率為，
整理得，即方程在上有兩個(gè)不同的解，
所以，，所以且.故選：D．
3． (2023·河南洛陽(yáng)）若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，曲線，即令，則，
設(shè)切點(diǎn)為，切線方程的斜率為，
所以切線方程為：，將點(diǎn)代入方程得：，整理得，
設(shè)函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，
可知兩個(gè)函數(shù)圖像與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
又因?yàn)椋?，可得或?br>所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，
如圖所示，
當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).故選：C.
4． (2023·全國(guó)·高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,故答案為：
考點(diǎn)五公切線
【例5-1】 (2023·安徽省舒城中學(xué)）已知直線l是曲線與的公共切線，則l的方程為_(kāi)____.
【答案】或
【解析】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)1），
則，整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，的方程為；當(dāng)時(shí)，的方程為.故答案為：或.
【例5-2】 (2023·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)
切線：，即
切線：，即，
令
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)的切點(diǎn)為，，故，
則切線方程為：，即圓心到圓的距離為，即，
解得：或（舍去）所以，則的斜率為故答案為：
2． (2023·河北保定·二模）（多選）若直線是曲線與曲線的公切線，則（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，
與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)于函數(shù)，，則，解得，所以，即.
對(duì)于函數(shù)，，則，
又，所以，
又，所以，.故選：AD
3． (2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.
【答案】1或
【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，
∴，∴∴
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴或.故答案為：1或.
考點(diǎn)六切線與其他知識(shí)的運(yùn)用
【例6-1】 (2023·湖北·黃岡中學(xué)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，
由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點(diǎn)為，
代入，得，
、為正實(shí)數(shù)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9，故選：B
【例6-2】 (2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)_____________.
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，則．
又，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，
即，由可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．故答案為：．
【一隅三反】
1． (2023·河北衡水）已知函數(shù)在處的切線為l，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在切線l上，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)，，，，
由點(diǎn)斜式直線方程得：切線l的方程為，，
由于點(diǎn)P在直線l上，則且，即，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；2． (2023·安徽）對(duì)于三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處點(diǎn)的切線重合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
，
設(shè)，則，即……①
又，即……②
由①②可得，.故選：B.
3． (2023·黑龍江·哈爾濱三中）若曲線過(guò)點(diǎn)的切線恒在函數(shù)的圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，
所以，，切線方程為，所以恒成立，
所以恒成立，令，則
因?yàn)楫?dāng)，，，，
所以為的極小值點(diǎn)，又因?yàn)闀r(shí)，，
所以，所以.故答案為：.
考點(diǎn)七切線方程的運(yùn)用
【例7-1】 (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，令，解得，所以，故的最小值為到的距離，．故選：B．
【例7-2】 (2023·山東煙臺(tái)·三模）已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出函數(shù)的圖象如圖：
依題意方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)楸剡^(guò)，且，
若時(shí)，方程不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則必有，
當(dāng)直線與在時(shí)相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，
則切線方程為，
即，
切線方程為，
且，則，所以，
即當(dāng)時(shí)與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
要使方程有且僅有三個(gè)的實(shí)數(shù)解，
則當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線與切于點(diǎn)，此時(shí)，則，即，
所以，
故選：B
【一隅三反】
1． (2023·江蘇徐州）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線的兩條互相垂直的切線，切點(diǎn)分別為（不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則面積的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)
當(dāng)時(shí)，故切線為：，即
當(dāng)時(shí)，，，故切線為：，即
兩切線垂直，則，則所以，
，解得∴.故選：B．
2． (2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過(guò)原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)即有兩個(gè)根．
故答案為：.
3． (2023·云南曲靖·二模）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閷?duì)任意，，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，即的圖象增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，從圖象上來(lái)看函數(shù)是上凸遞增的，所以，
又，表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，
由圖可知
即，故選：A
4． (2023·江西·新余市）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)距離的最小值為_(kāi)______
【答案】
【解析】設(shè)與直線平行且與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，
此時(shí)兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
因?yàn)?，所以，即得?br>，所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以?xún)牲c(diǎn)距離的最小值為．故答案為：

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