A．B．0C．1D．2
2． (2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，．當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·天津市）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________.
6． (2023·重慶·二模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足且，則函數(shù)的解析式可以是______.
7． (2023·陜西渭南·二模（文））已知為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足，則在處的切線斜率為___________.
8． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則___________.
題組二 函數(shù)的對(duì)稱性
1． (2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）函數(shù)滿足，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
2． (2023·甘肅蘭州）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．7B．10C．D．
3． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．的周期為2D．
5． (2023·江西·二模（理））已知函數(shù)則（ ）
A．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
C．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
D．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
6． (2023·河南·許昌高中高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·全國·江西師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，則下列函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
9 (2023·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.
題組三 Mm函數(shù)求值
1． (2023寧波）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則
A．B．0C．1D．2
2． (2023 ?合肥）已知，設(shè)函數(shù)，，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為
A．4與3B．3與1C．5和2D．7與4
3． (2023?溫州）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
4． (2023?郫都）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
5． (2023?湖南）已知函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，則
A．4B．2C．1D．0
6． (2023?廣西）已知函數(shù)，，，的最大值為，最小值為，則
A．4B．C．D．
7． (2023?吉安）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．1B．2C．3D．4
8． (2023?云南）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則
A．B．0C．1D．2
9． (2023?廣州）已知函數(shù)在，上的最大值和最小值分別為、，則
A．8B．6C．4D．2
10． (2023?上海）設(shè)函數(shù)，，的最大值為，最小值為，那么 ．
題組四 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用
1． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
2． (2023·云南德宏）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．有2個(gè)零點(diǎn)D．是偶函數(shù)
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
5． (2023·寧夏·銀川一中一模（理））已知函數(shù)，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
②函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；
③是函數(shù)的極值點(diǎn)；
④不等式的解集是.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6． (2023·天津南開·高三期末）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）.
A．10B．11C．12D．13
7． (2023·江蘇）（多選）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．是以2為周期的周期函數(shù)
B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．
D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
8． (2023·遼寧沈陽·二模）（多選）已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，若在單調(diào)遞增，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．
C．D．
9． (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)?br>C．在定義域上單調(diào)遞減D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
10． (2023·河北）（多選）若函數(shù)（）是周期為2的奇函數(shù)．則下列選項(xiàng)一定正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．2是函數(shù)的一個(gè)周期
C．
D．
11． (2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且，則（ ）
A．B．有3個(gè)零點(diǎn)
C．的對(duì)稱中心是D．
12． (2023·四川省瀘縣）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，是偶函數(shù)，且．則下列選項(xiàng)中說法不正確的有（ ）
A．為奇函數(shù)B．周期為2C．D．是奇函數(shù)
3.2.2 函數(shù)的性質(zhì)（二）（精練）（提升版）
題組一 函數(shù)的周期性
1． (2023·四川攀枝花）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）．
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】∵定義在R上的奇函數(shù)滿足，∴的周期為4，
∴，，
∴.故選：A
2． (2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，
故 ，
故 ，
又，故即，
即，而當(dāng)時(shí)，，
故，則當(dāng)時(shí)，，
故，
故選：B
3． (2023·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，因此函?shù)的周期為，
所以，
又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，
所以，即，
所以原式，
又當(dāng)時(shí)，，可得，因此原式.
故選：B．
4． (2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，．當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>則，即，
所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：C
5． (2023·天津市）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________.
【答案】
【解析】是上的奇函數(shù)，
又，
，所以是周期函數(shù)，且周期為4
.故答案為：2
6． (2023·重慶·二模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足且，則函數(shù)的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）；
【解析】由題意，函數(shù)滿足且，
可得函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且周期為2，
可令函數(shù)的解析式為（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）；
7． (2023·陜西渭南·二模（文））已知為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足，則在處的切線斜率為___________.
【答案】0
【解析】由題設(shè)，，則，即，
所以的周期為4，又為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，即，
而，故，即，
且，故.
故答案為：0
8． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則___________.
【答案】
【解析】由題意知為定義在上的奇函數(shù)，，即.
因?yàn)椋?，所以函?shù)的周期為4，則.
因?yàn)?，為奇函?shù)，
所以.
故答案為：
題組二 函數(shù)的對(duì)稱性
1． (2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）函數(shù)滿足，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【答案】B
【解析】∵關(guān)于對(duì)稱，
∴關(guān)于對(duì)稱，即是奇函數(shù)，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函數(shù)的周期是4．
∴．故選：B.
2． (2023·甘肅蘭州）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．7B．10C．D．
【答案】C
【解析】在R上是奇函數(shù)，
，即
，即函數(shù)是周期為的函數(shù)
故選：C
3． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
結(jié)合草圖可知：要使，則到的距離小于到的距離，故不等式
等價(jià)于，兩邊同時(shí)平方后整理得，解得或.
故選：C．
4． (2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．的周期為2D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即.
用x代換上式中的2x，即可得到，所以關(guān)于直線對(duì)稱.
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
對(duì)于，令x取x+1，可得：.
對(duì)于，令x取x+2，可得：.
所以，令x取-x，可得：，
所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期為4.所以C、D錯(cuò)誤；
對(duì)于B：對(duì)于，令x取x-3，可得：.
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，
所以，即.故B正確.
對(duì)于A：由，可得為對(duì)稱軸，所以不能確定是否成立.故A錯(cuò)誤.
故選：B
5． (2023·江西·二模（理））已知函數(shù)則（ ）
A．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
C．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
D．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對(duì)稱
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有，，故圖象關(guān)于中心對(duì)稱；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且圖像連續(xù)，
故在R上單調(diào)遞增，
故選：D.
6． (2023·河南·許昌高中高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
【答案】D
【解析】，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，
所以
.
故選：D．
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，所以將向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱中心為，故為奇函數(shù)，
故選：D
8． (2023·全國·江西師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，則下列函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，則，
故函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于軸對(duì)稱，
因此函數(shù)為函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
且函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，因此函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
故選：C．
9 (2023·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.
【答案】，
【解析】構(gòu)造函數(shù)，那么 是單調(diào)遞增函數(shù)，
且向左移動(dòng)一個(gè)單位得到，
的定義域?yàn)椋遥?br>所以 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以 圖象關(guān)于對(duì)稱．
不等式 等價(jià)于，
等價(jià)于
結(jié)合單調(diào)遞增可知，
所以不等式的解集是，．故答案為：，．
題組三 Mm函數(shù)求值
1． (2023寧波）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】，
令，則，即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，，且，
，則．故選：．
2． (2023 ?合肥）已知，設(shè)函數(shù)，，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為
A．4與3B．3與1C．5和2D．7與4
【答案】B
【解析】令，，，由，得為奇函數(shù)，
設(shè)的最大值為，則最小值為，，，可得，
，為偶數(shù)，即為偶數(shù)，綜合選項(xiàng)可知，和的值可能為3和1．故選：．
3． (2023?溫州）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
【答案】B
【解析】，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，，
即（a），，
故選：．
4． (2023?郫都）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
【答案】D
【解析】函數(shù)．
令，．
由于在，時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)；（a）
函數(shù)的最大值為；
最小值為（a）；那么；故選：．
5． (2023?湖南）已知函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，則
A．4B．2C．1D．0
【答案】A
【解析】
令，
而，，
則關(guān)于中心對(duì)稱，則在，上關(guān)于中心對(duì)稱．．故選：．
6． (2023?廣西）已知函數(shù)，，，的最大值為，最小值為，則
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)，，，所以，令，，，，或，或，或，
，，，和，，，單調(diào)遞增，
，和，，，單調(diào)遞減，
所以，，的最大值為，最小值為，
，，，
，，中最大值及最小值，所以，，所以，故選：．
7． (2023?吉安）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】易知函數(shù)在，上單調(diào)，且
，
．
故選：．
8． (2023?云南）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】，且，
所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．所以最大值和最小值的和．故選：．
9． (2023?廣州）已知函數(shù)在，上的最大值和最小值分別為、，則
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】設(shè)，因?yàn)槠婧瘮?shù)，
所以，所以，所以．
故選：．
10． (2023?上海）設(shè)函數(shù)，，的最大值為，最小值為，那么 4040 ．
【答案】4040
【解析】令，則
，
故函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，，即，
．故答案為：4040．
題組四 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用
1． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【答案】C
【解析】由可得2是函數(shù)的周期，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.
2． (2023·云南德宏）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，
所以，.
所以，，所以.
令，則.
令上式中t取t-4，則，所以.
令t取t+4，則，所以.
所以為周期為8的周期函數(shù).
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
令，得：，所以，所以，即為，所以.
記，所以.
因?yàn)?，所以，所以在R上單調(diào)遞減.
不等式可化為，即為.所以.故選：C
3． (2023·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．有2個(gè)零點(diǎn)D．是偶函數(shù)
【答案】B
【解析】顯然，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，且?br>記，則有，
故是奇函數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
又
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
令，則有，即或，
解得或，即，或，
故有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：B
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)椋?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，如圖所示：
由圖可知，函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
由于函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)，與有2個(gè)交點(diǎn)，
在上，與有1個(gè)交點(diǎn)，
所以根據(jù)函數(shù)周期性可知，當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn).
所以關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是個(gè).
故選：B
5． (2023·寧夏·銀川一中一模（理））已知函數(shù)，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
②函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；
③是函數(shù)的極值點(diǎn)；
④不等式的解集是.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解析】，
令，則，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確：
又因?yàn)椋?br>所以在R上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，
所以只有一個(gè)零點(diǎn)且無極值點(diǎn)，故②③錯(cuò)誤；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正確：綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).
故選：B
6． (2023·天津南開·高三期末）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）.
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】記，，而
，
，于是這兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系下畫出它們圖像如下，可知它們有8個(gè)交點(diǎn)，這8個(gè)交點(diǎn)可以分成4組，每一組的兩個(gè)點(diǎn)都關(guān)于對(duì)稱，這樣的兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)之和是3，于是這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.
故選：C.
7． (2023·江蘇）（多選）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．是以2為周期的周期函數(shù)
B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．
D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
【答案】BD
【解析】依題意，為偶函數(shù)，
且，有，即關(guān)于對(duì)稱，
則
，
所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)榈闹芷跒?，關(guān)于對(duì)稱，
所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；
因?yàn)榈闹芷跒?，則，，
所以，故C錯(cuò)誤；
作函數(shù)和的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：BD.
8． (2023·遼寧沈陽·二模）（多選）已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，若在單調(diào)遞增，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
對(duì)于A，若，符合題意，故錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，所以，故正確，
對(duì)于C和D，設(shè)，則為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，，
由題意，得，關(guān)于直線對(duì)稱，
易得奇函數(shù)的一個(gè)周期為4，，故C正確，
由對(duì)稱性可知，關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而可得，（其證明過程見備注）
且的一個(gè)周期為4，所以，故D正確．
備注：，即，所以，
等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，，
令，得，所以．
方法二：
對(duì)于A，若，符合題意，故錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，所以，故正確，
對(duì)于C，將中的x代換為，
得，所以，
可得，兩式相減得，，
則，，…，，
疊加得，
又由，得，
所以，故正確，
對(duì)于D，將的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，
令得，，
將的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，所以，
將的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，
所以，故正確．
故選：BCD
9． (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)?br>C．在定義域上單調(diào)遞減D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
【答案】AD
【解析】
由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故D正確；
函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A正確，B錯(cuò)誤；
函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
故選：AD
10． (2023·河北）（多選）若函數(shù)（）是周期為2的奇函數(shù)．則下列選項(xiàng)一定正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．2是函數(shù)的一個(gè)周期
C．
D．
【答案】AC
【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
函數(shù)是周期為2，所以的周期為4，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)， ，故C正確；
，無法判斷的值，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11． (2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且，則（ ）
A．B．有3個(gè)零點(diǎn)
C．的對(duì)稱中心是D．
【答案】ABD
【解析】由題設(shè)，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正確；有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；
由，則，所以關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
，D正確.
故選：ABD
12． (2023·四川省瀘縣）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，是偶函數(shù)，且．則下列選項(xiàng)中說法不正確的有（ ）
A．為奇函數(shù)B．周期為2C．D．是奇函數(shù)
【答案】BC
【解析】由于關(guān)于中心對(duì)稱，又將函數(shù)向左平移1個(gè)單位后為，所以關(guān)于中心對(duì)稱，即是奇函數(shù)；又是偶函數(shù)，又將函數(shù)向右平移1個(gè)單位后為，所以關(guān)于直線對(duì)稱，即；
所以，
所以函數(shù)的周期，所以選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：
所以是奇函數(shù)，D正確.
故選：BC.

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