2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 7.5 外接球（精講）（提升版）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一漢堡模型
【例1】 (2023·陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
3．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.
考點二墻角模型
【例2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（）
A．3B．2C．D．1
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
3． (2023·海原縣）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.
考點三斗笠模型
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上是邊長為的正三角形，則球的表面積等于（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
2． (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.
3． (2023·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）
A．B．C．D．
考點四麻花模型
【例4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（）
A．12πB．13πC．D．

考點五 L模型
【例5】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1 (2023·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）
A．B．C．D．
2． (2023·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）
A．B．C．D．
3．（2023·重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
考點六懷表模型
【例6】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（）
A．60πB．45πC．30πD．20π
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．
C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
考點七矩形模型
【例7】 (2023·湖北襄陽市）若矩形ABCD的面積是4，沿對角線AC將矩形ABCD折成一個大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023.江西）在矩形中，，沿對角線進行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
2． (2023·天津河）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
3． (2023·四川）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點均在球上，則球的表面積為______.
考點八內(nèi)切球
【例8】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·江西·高三階段練習(xí)（理））在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．
C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（）
A．B．C．D．
3. (2023黑龍江）如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內(nèi)切球的體積為（）
A．B．C．D．
7.5 外接球（精講）（提升版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一漢堡模型
【例1】 (2023·陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故，
解得，故球的體積為：.故選：D.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
在中，由余弦定理得：，
，
外接圓半徑，又平面，
三棱錐的外接球半徑，
則三棱錐的外接球的表面積.
故選：A.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因平面，平面，則，而，
則，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心是正的中心，，
連，則平面，取線段的中點，則球的球心在過E垂直于直線的垂面上，連，如圖，則四邊形是矩形，，因此，球的半徑有：，
所以三棱錐外接球的表面積.故選：C
3．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.
【答案】
【解析】設(shè)三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結(jié)OC，CD，設(shè)外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面積為．
故答案為：
考點二墻角模型
【例2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】球O的半徑為，∴體積．故選：A
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（）
A．3B．2C．D．1
【答案】D
【解析】設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．
由題意，易知，得，
設(shè)，得，解得，
所以四棱錐P-ABCD的體積為．
故選：D
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，
則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，
所以外接球的直徑，
∴該球的體積為.故選：B
3． (2023·海原縣）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.
【答案】
【解析】平面，平面，，，
又，，，
，，則可將三棱錐放入如下圖所示的長方體中，
則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，
球的半徑，
球的表面積.故答案為：.
考點三斗笠模型
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上是邊長為的正三角形，則球的表面積等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，是邊長為的正三角形，如圖所示：
取BC的中點D，點H為底面的中心，所以
設(shè)外接球的半徑為R，所以，
利用勾股定理可得，解得
則球的表面積為
故選：B.
【一隅三反】
1 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設(shè)圓臺上、下底面半徑為，因母線與軸的夾角為60°，可得圓臺高為1，則；
設(shè)圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，易得圓臺兩底面在球心同側(cè)，則，且，解得，則該圓臺外接球的表面積為.故選：C.
2． (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.
【答案】
【解析】因為，所以正三棱錐外接球半徑，
正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，
因為是正三棱錐，所以是的中心，
所以，,
又因為，所以
，
所以，
令，
解得
所以在遞增，在遞減，
故當時，取最大值，.
故答案為：.
3． (2023·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由圖，設(shè)，則，而，
因為PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，
由對稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，
假設(shè)為O點，則，因為,所以，
又由于點D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，所以,
在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，
所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.故選：C
考點四麻花模型
【例4】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，
設(shè)長方體的長、寬、高分別為，
則，，，
解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．故選：C
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，
設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，
因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：A
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（）
A．12πB．13πC．D．
【答案】B
【解析】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，
，所以，
又，
，，
又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，
所以，
所以，
因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，
此長方體的外接球就是四面體的外接球，設(shè)長方體的棱長分別為，
則，解得，
所以外接球的直徑為，，
球表面積為．
故選：B．

考點五 L模型
【例5】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：其中D為AB的中點，O為外接圓的圓心，，
∴O在CD上，且，
．
，D為AB的中點，
，
∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
平面PAB．又DA，DB，平面PAB，
，，．
在中，，D為AB的中點，
．
．
∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，
∴該三棱錐外接球的表面積．
故選：B
【一隅三反】
1 (2023·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】中，，
所以，，
設(shè)是中點，則是外心，又是等邊三角形，所以，
而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，
所以球半徑，球體積為．故選：C．
2． (2023·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】四面體ABCD中，取AB的中點E，連CE，DE，如圖：
因，則，有平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，
在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，
由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，
因平面平面，則，而，
即有四邊形OO1EO2是正方形，則，
中，，則，
所求外接球的表面積.故選：B
3．（2023·重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，取中點，中點，連接，是等邊三角形，則
因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，
過作平面，則，
因為，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為，連接，設(shè)外接球半徑為，
由已知，，，，
在直角梯形中，，，，
所以球表面積為．故選：C．
考點六懷表模型
【例6】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（）
A．60πB．45πC．30πD．20π
【答案】A
【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，
取的中點為，連接，則.
設(shè)分別為，外接圓的圓心，
為三棱錐的外接球的球心，
則在上，在上，且,
且平面，平面.
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四邊形為平行四邊形
平面，平面
，即四邊形為矩形.

外接球半徑
外接球的表面積為
故選：A.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.
由題意可得D為AC的中點.
在中，，D為AC的中點，
因為，所以，則.
因為二面角是150°，所以，
所以，.
因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.
設(shè)為外接圓的圓心，則.
設(shè)三棱錐外接球的球心為O，
因為，所以O(shè)在平面ABC下方，
連接，OB，OP，作，垂足為H，
則，.
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
，即，解得，
故三棱錐外接球的表面積是.
故選：A.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，為直角三角形，又，
所以，
因為為正三角形，所以，
連接，為的中點，E為中點，
則，所以為二面角的平面角
所以．
因為為直角三角形，E為中點，
所以點為的外接圓的圓心，
設(shè)G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設(shè)兩垂線交于O．
則O即為三棱錐的外接球球心．設(shè)與交于點H，
，所以,，
∴．所以，故選：C.
考點七矩形模型
【例7】 (2023·湖北襄陽市）若矩形ABCD的面積是4，沿對角線AC將矩形ABCD折成一個大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為球心到四個頂點的距兩相等,所以球心在對角線上,且半徑為，
設(shè)矩形的的長力x,寬為y則，所以，
又，由基本不等式知: ，當且僅當，即時，等號成立，
，故選：B
【一隅三反】
1． (2023.江西）在矩形中，，沿對角線進行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為在翻折過程中，始終不變，
所以的中點到，，，四點的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，
所以外接球的表面積為，故選：D
2． (2023·天津河）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：
由題意，
因為，為的中點，所以，，
所以，為四面體的外接球的球心，且球的半徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為.故選：A.
3． (2023·四川）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點均在球上，則球的表面積為______.
【答案】
【解析】由題意可知：球為鱉臑的外接球，
面，面，，，
又，面，，面，
又面，；
取中點，連接，
，，同理可知：，
點與球的球心重合，球的半徑，
球的表面積.故答案為：.
考點八內(nèi)切球
【例8】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，
在三棱錐中，，，
三棱錐是正四面體，是的中心，平面，
三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，
，解得球的半徑，
設(shè)，則，，
，
，，，解得，，
此三棱錐的體積為.故選：D.
【一隅三反】
1． (2023·江西·高三階段練習(xí)（理））在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點是點在底面上的射影，則平面，平面，
所以，由三棱錐為正三棱錐可得，點為底面的中心，
所以，又，
所以平面，平面，
所以，
因為，分別是，的中點，
所以，因為，
所以，又，
所以平面，又，平面，
所以，，又三棱錐是正三棱錐，
所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直，因為，
所以，
所以，
所以該三棱錐的表面積，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，又該三棱錐的體積，
所以，
所以此內(nèi)切球的表面積為.
故選：D.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因為平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均為直角三角形，
設(shè)球的半徑為r，則，
而，，
所以，解得，
所以球的表面積為，
故選：A.
3. (2023黑龍江）如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內(nèi)切球的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題可知,該幾何體的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都為，連接.
底面，.
，
，
，.
設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，球心為，
由，
得，
即，解得，
故四棱錐內(nèi)切球的體積為.故選：B.

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