2024年新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練32 利用均值和方差解決風(fēng)險評估和決策型問題（原卷版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員各6場比賽得分情況用莖葉圖記錄，下列四個結(jié)論中，正確的是（）
A．甲運(yùn)動員得分的極差大于乙運(yùn)動員得分的極差
B．甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動員得分的中位數(shù)
C．甲運(yùn)動員得分的平均值大于乙運(yùn)動員得分的平均值
D．甲運(yùn)動員的成績比乙運(yùn)動員的成績穩(wěn)定
【答案】ABC
【分析】
對各個選項(xiàng)分別加以判斷：根據(jù)極差的定義結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，可得出A正確；根據(jù)中位數(shù)的定義結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，可得出B正確；通過計算平均數(shù)的公式結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，可得出C正確；通過計算方差的公式，結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，可得出D不正確．由此可以得出答案．
【詳解】
首先將莖葉圖的數(shù)據(jù)還原：
甲運(yùn)動員得分：18 20 35 33 47 41
乙運(yùn)動員得分：17 19 19 26 27 29
對于選項(xiàng)A，極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，
由圖中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動員得分的極差為，
乙運(yùn)動員得分的極差為，
得甲運(yùn)動員得分的極差大于乙運(yùn)動員得分的極差，故A正確；
對于選項(xiàng)B，甲數(shù)據(jù)從小到大排列：18 20 33 35 41 47
處于中間的數(shù)是33、35，所以甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)是34，
同理求得乙數(shù)據(jù)的中位數(shù)是22.5，
因此甲運(yùn)動員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動員得分的中位數(shù)，故B正確；
對于選項(xiàng)C，甲運(yùn)動員的得分平均值約為
，
乙運(yùn)動員的得分平均值為
，
因此甲運(yùn)動員的得分平均值大于乙運(yùn)動員的得分平均值，故C正確；
對于選項(xiàng)D，分別計算甲、乙兩個運(yùn)動員得分的方差，方差小的成績更穩(wěn)定.
可以算出甲的方差為：
，
同理，得出乙的方差為：
因?yàn)橐业姆讲钚∮诩椎姆讲?，所以乙運(yùn)動員的成績比甲運(yùn)動員的成績穩(wěn)定，
故D不正確.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】
本題考查了莖葉圖、極差、平均數(shù)與方差等統(tǒng)計中常的幾個知識點(diǎn)，屬于中檔題．值得注意的是數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性與數(shù)據(jù)的方差有關(guān)，方差越小的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越好．
二、解答題
2．2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費(fèi)每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.
（1）若兩個顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？
【答案】（1）；（2）選擇第二種方案更合算.
【分析】
（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率；
（2）選擇方案一，計算所付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計算所付款金額的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論.
【詳解】
（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，
設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，
所以兩位顧客均享受到免單的概率為；
（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.
，，
，.
故的分布列為，
所以（元）.
若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，
由已知可得，故，
所以（元）.
因?yàn)?，所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題步驟如下：
（1）判斷隨機(jī)變量的可能取值；
（2）說明隨機(jī)變量取各值的意義（即表示什么事件）并求出取該值的概率；
（3）列表寫出隨機(jī)變量的分布列；
（4）利用期望公式求值
3．某蔬菜種植基地有一批蔬菜需要兩天內(nèi)采摘完畢，天氣預(yù)報顯示這兩天每天是否有雨相互獨(dú)立，無雨的概率都為0.8.現(xiàn)有兩種方案可以選擇：
方案一：基地人員自己采摘，不額外聘請工人，需要兩天完成，兩天都無雨收益為2萬元，只有一天有雨收益為1萬元，兩天都有雨收益為0.75萬元.
方案二：基地額外聘請工人，只要一天就可以完成采摘.當(dāng)天無雨收益為2萬元，有雨收益為1萬元.額外聘請工人的成本為萬元.
問：（1）若不額外聘請工人，寫出基地收益的分布列及基地的預(yù)期收益；
（2）該基地是否應(yīng)該外聘工人？請說明理由.
【答案】（1）分布列見解析；期望為萬元；（2）答案不唯一，具體見解析.
【分析】
（1）求出每種收益情況的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意求出基地額外聘請工人情況下的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)，利用比較法分類討論進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
（1）基地收益的可能值為2，1，0.75，
因?yàn)閮商烀刻鞜o雨的概率都為0.8，所以兩天每天有雨的概率都為，
則，
，
，
故的分布列為
則.
（2）設(shè)基地額外聘請工人時的收益為萬元，則其預(yù)期收益
，
，
當(dāng)時，即時，不外聘工人；
當(dāng)時，即時，外聘工人；
當(dāng)時，即時，是否外聘工人均可以，
綜上可得，當(dāng)額外聘請工人的成本高于0.17萬元時，不外聘工人，
當(dāng)成本低于0.17萬元時，外聘工人，
當(dāng)成本恰為0.17萬元時，是否外聘工人均可以.
【點(diǎn)睛】
本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列，考查了數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
4．目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐．在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，我國的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙兩個地區(qū)采取防護(hù)措施后，統(tǒng)計了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成如下圖所示的折線圖：
（1）根據(jù)圖中甲、乙兩個地區(qū)折線圖的信息，分別從均值與方差的角度比較甲乙兩地新增確診人數(shù)的統(tǒng)計結(jié)論（不用計算數(shù)據(jù)，給出判斷即可）；
（2）治療“新冠肺炎”藥品的研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急，某藥企計劃對甲地區(qū)的項(xiàng)目或乙地區(qū)的項(xiàng)目投入研發(fā)資金．經(jīng)過評估，對于項(xiàng)目，每投資十萬元，一年后利潤是1.38萬元，1.17萬元，1.16萬元的概率分別為，，；對于項(xiàng)目，產(chǎn)品價格在一年內(nèi)需進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，每次價格調(diào)整中，產(chǎn)品價格下調(diào)的概率都是，且產(chǎn)品價格的下調(diào)次數(shù)為0，1，2時，每投資十萬元，一年后相應(yīng)利潤是1.4萬元，1.25萬元，0.6萬元．對項(xiàng)目投資十萬元，一年后利潤的隨機(jī)變量記為，對項(xiàng)目投資十萬元，一年后利潤的隨機(jī)變量記為．
（?。┣?，的分布列和數(shù)學(xué)期望，；
（ⅱ）如果你是該企業(yè)投資決策者，將做出怎樣的決策？請寫出決策理由．
【答案】（1）甲地區(qū)比乙地區(qū)的新增人數(shù)的均值小；甲地區(qū)比乙地區(qū)的方差大；（2）（?。┓植剂幸娊馕觯?；；（ⅱ）當(dāng)時，投資項(xiàng)目，當(dāng)時，兩個項(xiàng)目都可以，當(dāng)時，投資項(xiàng)目．
【分析】
（1）甲地區(qū)比乙地區(qū)的新增人數(shù)的均值?。患椎貐^(qū)比乙地區(qū)的方差大；
（2）（ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)直接列出分布列，再由期望公式計算出期望；
（ⅱ）比較和的大小可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）甲地區(qū)比乙地區(qū)的新增人數(shù)的均值??；甲地區(qū)比乙地區(qū)的方差大；
（2）（?。┯深}意得的概率分布列為：
所以，
所以的概率分布列為：
所以，
（ⅱ）當(dāng)時，得，即，
解得；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以，當(dāng)時，投資項(xiàng)目，當(dāng)時，兩個項(xiàng)目都可以，當(dāng)時，投資項(xiàng)目．
【點(diǎn)睛】
本題考查統(tǒng)計圖表的認(rèn)識，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的應(yīng)用，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力．
5．疫情過后，為了增加超市的購買力，營銷人員采取了相應(yīng)的推廣手段，每位顧客消費(fèi)達(dá)到100元以上可以獲得相應(yīng)的積分，每花費(fèi)100積分可以參與超市的抽獎游戲，游戲規(guī)則如下：抽獎箱中放有2張獎券，3張白券，每次任取兩張券，每個人有放回的抽取三次，即完成一輪抽獎游戲；若摸出的結(jié)果是“2張獎券”三次，則獲得10100積分，若摸出的結(jié)果是“2張獎券”一次或兩次，則獲得300積分，若摸出“2張獎券”的次數(shù)為零，則獲得0積分；獲得的積分扣除花費(fèi)的100積分，則為該顧客所得的最終積分；最終積分若達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)，可以兌換電飯鍋.洗衣機(jī)等生活用品.
（1）求一輪抽獎游戲中，甲摸出“2張獎券”的次數(shù)為零的概率；
（2）記一輪抽獎游戲中，甲摸出“2張獎券”的次數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；
（3）試用概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識，從數(shù)學(xué)期望的角度進(jìn)行分析，多次參與抽獎游戲后，甲的最終積分情況.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）多次參與抽獎活動后，可以估計中的最終積分會越來越少.
【分析】
（1）先求出摸出“2張獎券”的概率，再根據(jù)重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式可計算；
（2）可知的可能取值為0，1，2，3，分別求出概率即可得出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（3）記一輪抽獎游戲后，甲的最終積分為，則可得出分布列，求出的期望，可得期望為負(fù)，從而判斷最終積分會越來越少.
【詳解】
（1）每次抽取，摸出“2張獎券”的概率，
故一輪游戲中，甲摸出“2張獎券”的次數(shù)為零的概率.
（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，故，，，，
故的分布列為：
故.
（3）記一輪抽獎游戲后，甲的最終積分為，則的分布列為
故，
可知一輪游戲過后，甲的最終積分的期望為負(fù)數(shù)，
故多次參與抽獎活動后，可以估計中的最終積分會越來越少.
【點(diǎn)睛】
本題考查獨(dú)立重復(fù)事件概率的求法，考查分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.
6．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值為，當(dāng)時，產(chǎn)品為一級品；當(dāng)時，產(chǎn)品為二級品；當(dāng)時，產(chǎn)品為三級品.現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為配方和配方）做實(shí)驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：
配方的頻數(shù)分布表
配方的頻數(shù)分布表
（1）從配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中按等級分層抽樣抽取5件產(chǎn)品，再從這5件產(chǎn)品中任取3件，求恰好取到1件二級品的頻率；
（2）若這種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)滿足如下條件：，其中，請分別計算兩種配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤率，如果從長期來看，你認(rèn)為投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大?
【答案】（1）（2）配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均利潤率為，配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均利潤率為，投資配方的產(chǎn)品平均利潤率較大
【分析】
（1）按分層抽樣抽取的5件產(chǎn)品中有2件為二級品，記為，，有3件為一級品，記為，，，可得從這5件產(chǎn)品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；
（2）分別將與用表示，計算出的值，由可得哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大.
【詳解】
解：（1）由題知，按分層抽樣抽取的5件產(chǎn)品中有2件為二級品，記為，，有3件為一級品，記為，，，
從5件產(chǎn)品中任取3件共有10種取法，枚舉如下：，，，，，，，，，
其中恰好取到1件二級品共有6種取法，所以恰好取到1件二級品的概率為.
（2）由題知配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均利潤率，
配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均利潤率，
所以，
因?yàn)?，所以，所以投資配方的產(chǎn)品平均利潤率較大.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查概率的求法，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.
7．某企業(yè)擁有三條相同的且相互獨(dú)立的生產(chǎn)線．據(jù)統(tǒng)計，每條生產(chǎn)線每月出現(xiàn)故障的概率為，且至多可能出現(xiàn)一次故障．
（1）求該企業(yè)每月有且只有條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；
（2）在正常生產(chǎn)的情況下，每條生產(chǎn)線每月的利潤是萬元；如果一條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障能及時維修，還能創(chuàng)造萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時維修，該生產(chǎn)線就沒有利潤．為提高生產(chǎn)效益，企業(yè)決定安排維修工人對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維修．如果一名維修工人每月只能及時維修一條生產(chǎn)線，且一名工人每月所需費(fèi)用為萬元，以該企業(yè)每月實(shí)際利潤的期望值為決策依據(jù)，你選擇安排幾名維修工？（實(shí)際利潤生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤維修工人費(fèi)用）
【答案】（1）；（2）安排二名維修工.
【分析】
（1）由題知服從二項(xiàng)分布，直接利用二項(xiàng)分布的概率計算公式.
（2）分類討論思想，分別計算安排1名，2名，3名維修工時，每月的實(shí)際獲利潤期望值，并比較，選出安排幾名維修工合適．
【詳解】
（1）設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布
因此該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率：．
（2）①若安排一名維修工時，設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為萬元．
若，則；
若，則；
若，則；
若，則；
又，
，，
此時，實(shí)際獲利的均值.
②若安排二名維修工時，設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為萬元．
若，則；
若，則；
若，則；
若，則；
此時，實(shí)際獲利的均值，
可知．
③若安排三名維修工時，設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為萬元．
若，則；
若，則；
若，則；
若，則；
此時，實(shí)際獲利的均值，
可知.
由于利潤期望值最大化是決策的依據(jù)，在上述情形中最大，由計算過程易知安排三名以上的維修工時利潤還會下降，故選擇安排二名維修工，此時實(shí)際利潤最大
【點(diǎn)睛】
（1）考查了二項(xiàng)分布的判定及概率的計算.
（2）離散型隨機(jī)變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點(diǎn)，不僅考查學(xué)生的理解能力與計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學(xué)生運(yùn)用概率，期望和方差解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題.
8．已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染者．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康．
（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②平均分組混合化驗(yàn)：先將血液樣本平均分成若干組，對組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則對該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者．
（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需化驗(yàn)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），求不同分組方法所需化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．你認(rèn)為選擇哪種化驗(yàn)方案更合理？請說明理由．
【答案】（1）；（2）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（ii）分類討論，答案見解析．
【分析】
（1）總數(shù)為，抽到感染者，則從余下5名某疾病病毒密切接觸者中，再抽2人，有，從而求得抽到感染者的概率；
（2）分別求出方案（i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)，又平均分成3組和平均分成2組兩種情況，再通過對比得出結(jié)論.
【詳解】
（1）6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名共有種方法，
抽取3名中有感染者的抽法共有種方法，
所以抽到感染者的概率；
（2）（i）按逐一化驗(yàn)法，的可能取值是1，2，3，4，5，
，，，
，，
表示第5次化驗(yàn)呈陽性或前5次化驗(yàn)都呈陰性（即不檢驗(yàn)可確定第6個樣本為陽性），
分布列如下：
所以；
（ii）平均分組混合化驗(yàn)，6個樣本可按平均分成2組，或者按分成3組．
如果按分2組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，
，，
分布列如下：

如果按分3組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，
，，
分布列如下：

因?yàn)椋?
所以我認(rèn)為平均分組混合化驗(yàn)法較好，按或分組進(jìn)行化驗(yàn)均可．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了隨機(jī)事件概率的計算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列的均值與方差,屬于中檔題.
9．某廠加工的零件按箱出廠，每箱有個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗(yàn)，人工檢驗(yàn)方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗(yàn)；若抽取的零件至少有1個至多有個次品，則對剩下的個零件逐一檢驗(yàn)．已知每個零件檢驗(yàn)合格的概率為，每個零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立，且每個零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為元．
（1）設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為元，求的分布列；
（2）除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法，機(jī)器檢驗(yàn)需要對每箱的每個零件作檢驗(yàn)，每個零件的檢驗(yàn)費(fèi)為元，現(xiàn)有箱零件需要檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中，應(yīng)該選擇哪一個？說明你的理由．
【答案】（1）分布列見解析；（2）人工檢驗(yàn)，詳見解析．
【分析】
（1）根據(jù)題意，工人抽查的5個零件中，分別計算出5個都是正品或者都是次品，5個不全是次品的人工費(fèi)用，得出的可能值，利用二項(xiàng)分布分別求出概率，即可列出的分布列；
（2）由（1）求出的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)條件分別算出1000箱零件的人工檢驗(yàn)和機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，比較即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）的可能取值為，，
，
，
則的分布列為
（2）由（1）知，，
∴1000箱零件的人工檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元．
∵1000箱零件的機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元，
且，∴應(yīng)該選擇人工檢驗(yàn)．
【點(diǎn)睛】
該題考查離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量概率、分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于簡單題目.
10．已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名未感染，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染者.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為未感染者.
（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取2名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：方法一是逐一化驗(yàn)；方法二是平均分組混合化驗(yàn)，先將血液樣本平均分成若干組，對組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒，若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則對該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者.
（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需化驗(yàn)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（ii）采取平均分成三組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），求該分組方法所需化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.你認(rèn)為選擇哪種化驗(yàn)方案更合理？請說明理由.
【答案】（1）；（2）（i）分布列見解析，；（ii），按平均分組法較合理，理由見解析.
【分析】
（1）由超幾何分布的概率公式運(yùn)算即可得解；
（2）（i）先計算出分別取1，2，3，4，5時的概率，進(jìn)而可得的分布列，由數(shù)學(xué)期望的公式即可得的數(shù)學(xué)期望；
（ii）分別計算出時的概率，進(jìn)而可得的分布列與數(shù)學(xué)期望，比較、的大小即可選出方案.
【詳解】
（1）由題意，抽到感染者的概率；
（2）（i）按逐一化驗(yàn)法，的可能取值為1，2，3，4，5，
，，，
，，
所以所需化驗(yàn)次數(shù)的分布列為
所以數(shù)學(xué)期望；
（ii）平均分成三組即按分組，記所需化驗(yàn)次數(shù)為，則，
，，
所以的分布列為
所以數(shù)學(xué)期望，
因?yàn)?，所以按平均分組法較合理.
【點(diǎn)睛】
本題考查了超幾何分布概率公式的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的求解與應(yīng)用，屬于中檔題.
11．某校從高三年級中選拔一個班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進(jìn)入最后決賽，規(guī)定回答1相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學(xué)校參加大賽．每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機(jī)抽取2人回答這個問題．已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答這道題目，而乙班級4人中能正確回答這道題目的概率每人均為，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．
（1）求甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為，，求隨機(jī)變量，的期望，和方差，，并由此分析由哪個班級代表學(xué)校參加大賽更好？
【答案】（1）；（2），，，，由甲班級代表學(xué)校參加大賽更好．
【分析】
（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計算公式即可求出答案；
（2）結(jié)合超幾何分布和二項(xiàng)分布，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義依次求出，，，，由此可求出答案．
【詳解】
解：（1）甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率；
（2）甲班級能正確回答題目人數(shù)為，的取值分別為1，2，
，，
則，，
乙班級能正確回答題目人數(shù)為，的取值分別為0，1，2，
∵，∴，，
由，可知，由甲班級代表學(xué)校參加大賽更好．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查超幾何分布與二項(xiàng)分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．某汽車租賃公司為了調(diào)查A型汽車與B型汽車的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種車各50輛，分別統(tǒng)計每輛車在某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
A型汽車
B型汽車
（1）試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，判斷這兩種車在某個星期內(nèi)的出租天數(shù)的方差的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)果）；
（2）如果A型汽車與B型汽車每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要購買一輛汽車，請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種車，并說明你的理由.
【答案】（1）B型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的方差較大；（2）答案詳見解析.
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度可得到結(jié)果；
（2）從利潤均值和方差兩方面來進(jìn)行決策都是正確的.
【詳解】
（1）由數(shù)據(jù)的離散程度，可以看出B型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的方差較大.
（2）50輛A型汽車出租天數(shù)的平均數(shù)為
，
50輛B型汽車出租天數(shù)的平均數(shù)為
，
方案一：A型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的平均值為4.62，B型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的平均值為4.8，選擇B型汽車的出租車的利潤較大，應(yīng)該購買B型汽車.
方案二：A型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的平均值為4.62，B型汽車在某個星期內(nèi)出租天數(shù)的平均值為4.8，而B型汽車出租天數(shù)的方差較大，所以應(yīng)該購買A型汽車.（任選其一）.
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)據(jù)方差和均值的計算，以及涉及了決策問題.
13．受電視機(jī)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每臺電視機(jī)的利潤與該電視機(jī)首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某電視機(jī)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號電視機(jī)，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種型號電視機(jī)中各隨機(jī)抽取50臺，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
將頻率視為概率，解答下列問題：
（1）從該廠生產(chǎn)的甲種型號電視機(jī)中隨機(jī)抽取一臺，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
（2）該廠預(yù)計今后這兩種型號電視機(jī)銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種型號電視機(jī)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種型號電視機(jī)？說明理由.
【答案】（1）；（2）選擇生產(chǎn)甲汽車.
【分析】
根據(jù)保修期為2年，可知甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的轎車數(shù)量為，由此可求其概率；求出生產(chǎn)兩種汽車的收益的分布列和期望，比較即得解.
【詳解】
設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件，
則（A）.
依題意得，生產(chǎn)甲汽車的效益的分布列為
生產(chǎn)乙汽車的效益的分布列為
所以（萬元
（萬元
，
應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的求解，考查分布列與期望，解題的關(guān)鍵是求出概率，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．
14．
隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為．
（1）求的分布列；
（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(即的數(shù)學(xué)期望)；
（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品提高為70%.如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
【答案】（1）的分布列見解析；（2）4.34；（3）.
【分析】
本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及期望的實(shí)際運(yùn)用．對于（１）可先將的各種可能值對應(yīng)的概率求出，然后代入公式可得（２）的答案
【詳解】
（１）的可能取值有;
故的分布列為
（2）
（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時１件產(chǎn)品的平均利潤
，
依題意，
所以三等品率最多是.
15．某高校設(shè)計了一個實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
（2）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及甲，乙能通過提交的概率，分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.
【答案】（1）數(shù)學(xué)期望分別為2，2；（2）答案見解析.
【分析】
（1）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為，，則的取值分別為1、2、3，的取值分別，0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
（2）因?yàn)椋瑥淖鰧︻}的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).
【詳解】
（1）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為，，
則的取值分別為1、2、3，的取值分別，0、1、2、3，
，
，
，
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：
.
因?yàn)?，所以考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的期望.
（2）因?yàn)椋?br>，所以，
從做對題的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；
從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，
因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).
【點(diǎn)睛】
本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查兩人實(shí)驗(yàn)操作能力的判斷，是中檔題，解題時要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用.
16．某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果（以下簡稱水果），購入價為150元/箱，并以180元/箱的價格售出，若前8小時內(nèi)所購進(jìn)的水果沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的水果以110元/箱的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，2小時內(nèi)完全能夠把水果低價處理完，且當(dāng)天不再購進(jìn)）.該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計了100天水果在每天的前8小時內(nèi)的銷售量，制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.現(xiàn)以記錄的100天的水果在每天的前8小40時內(nèi)的銷售量的頻率作為水果在一天的前8小時內(nèi)的銷售量的概率，記表示水果一天前8小時內(nèi)的銷售量，表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的箱數(shù).
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）以日利潤的期望值為決策依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選用哪個？
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由題意求得、、、，即可得解；
（Ⅱ）分別計算出、時，日利潤的數(shù)學(xué)期望，比較即可得解.
【詳解】
（Ⅰ）由題意可取、、、，
且，，，
，
所以的分布列如下：
（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)日利潤為，
則的可能取值為、，
且，，
所以的數(shù)學(xué)期望；
當(dāng)時，設(shè)日利潤為，
則可能取值為、、
，
且，，，
則的數(shù)學(xué)期望；
因?yàn)?，故選.
【點(diǎn)睛】
本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的求解，考查了數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
17．2020年初，新型冠狀病毒肺炎爆發(fā)時，我國政府迅速采取強(qiáng)有力措施抗擊疫情，贏得了國際社會的高度評價，在這期間，為保證抗疫物資的質(zhì)量，我國也加大了質(zhì)量檢查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙兩家專門生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門現(xiàn)從這兩家工廠中各隨機(jī)抽取了100瓶消毒液，檢測其質(zhì)量，得到甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示，乙廠所生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如表所示（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率）
（1）規(guī)定：消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值越高，消毒液的質(zhì)量越好．已求得甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為，乙廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為26.5，分別求甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)以及乙廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)，并針對這兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量情況寫出兩條統(tǒng)計結(jié)論；
（2）甲廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，并已求得．該廠決定將消毒液分為，，級三個等級，其中質(zhì)量指標(biāo)值不高于2.6的為級，高于38.45的為級，其余為級，請利用該正態(tài)分布模型解決下列問題：
（ⅰ）甲廠近期生產(chǎn)了10萬瓶消毒液，試估計其中級消毒液的總瓶數(shù)；
（ⅱ）已知每瓶消毒液的等級與出廠價（單位：元/瓶）的關(guān)系如下表所示：
假定甲廠半年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為4千萬元（含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等一切費(fèi)用在內(nèi)），問：甲廠能否在半年之內(nèi)收回投資？試說明理由．
附：若，則，，．
【答案】（1）26.5；；答案見解析；（2）（?。┘壪疽河?1860瓶；（ⅱ）甲廠能在半年之內(nèi)收回投資．理由見解析.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻率分布表求出平均數(shù)、眾數(shù)，然后對兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值作比較得出方案；
（2）根據(jù)模型可求出；
（3）列出的分布列，可求出期望，然后再作比較可得答案.
【詳解】
（1）甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為
．
設(shè)乙廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為，
則，解得．
統(tǒng)計結(jié)論：（答案不唯一，任意兩個即可，其他答案如果敘述正確也給分）
①兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)相等，從這個角度看這兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量基本相當(dāng)；
②由數(shù)據(jù)波動的情況可知，乙廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差，說明甲廠生產(chǎn)的消毒液比乙廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量更穩(wěn)定．
③兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)相同，但乙廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差，所以甲廠生產(chǎn)的消毒液更好．
④兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)均等于25．
⑤兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)均為．
⑥甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量集中在平均數(shù)附近，乙廠生產(chǎn)的消毒液中質(zhì)量指標(biāo)值特別小和質(zhì)量指標(biāo)值特別大的較多．
（2）（ⅰ）
，
因?yàn)?，所以可估計甲廠所生產(chǎn)的這10萬瓶消毒液中，級消毒液有81860瓶．
（ⅱ）設(shè)每瓶消毒液的利潤為元，則的可能取值為10，5，，
，
由（?。┲?，
所以，故的分布列為
所以每瓶消毒液的平均利潤為（元），
故生產(chǎn)半年消毒液所獲利潤為（千萬元），
而5．5885（千萬元）4（千萬元），所以甲廠能在半年之內(nèi)收回投資．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根據(jù)頻率分布直方圖、頻率分布表求平均數(shù)、中位數(shù)，正態(tài)分布的性質(zhì)及隨機(jī)變量的分布列.
18．2019年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在做政府工作報告時說，打好精準(zhǔn)脫貧攻堅戰(zhàn).圍繞這個目標(biāo)，福建省正著力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活條件，打好產(chǎn)業(yè)扶貧、保障扶貧、安居扶貧三場攻堅戰(zhàn).為響應(yīng)國家政策，小型雜貨店店主老張在報社的幫助下代售某報紙.據(jù)長期統(tǒng)計分析，老張的雜貨店中該報紙每天的需求量的頻率分布如下表所示：
已知該報紙進(jìn)價為每份1.5元，售價為每份2元.若供大于求，則每份報紙以每份1.2 元的價格退回報社.以頻率估計概率，回答下面問題：
（1）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，老張在每日報紙進(jìn)貨量為9，10，11份之間猶豫不決，為了使收益最大，請為老張選擇最合適的報紙進(jìn)貨量，并說明理由；
（2）若老張以（1）中的最合適方案確定每天的進(jìn)貨量，在一個月（以30天計）中，多少天將報紙銷售完的概率最大？
【答案】（1）每日進(jìn)10份報紙；（2）21天.
【分析】
(1) 設(shè)老張在每日報紙進(jìn)貨量為9， 10， 11份時的收益分別為X，Y，Z，分別求出，比較大小可得出為了使收益最大，老張選擇最合適的報紙進(jìn)貨量；
(2)老張選擇最合適的報紙進(jìn)貨量為每日進(jìn)10份報紙，由老張的雜貨店中該報紙每天的需求量的頻率分布表知每日剩余一張的概率為0.3，賣完的概率為0.7，由此能求出在一個月(以30天計) 中，多少天將報紙銷售完的概率最大.
【詳解】
解： (1) 設(shè)老張在每日報紙進(jìn)貨量為9， 10， 11份時的收益分別為X，Y，Z，
當(dāng)老張在每日報紙進(jìn)貨量為9份時，，
當(dāng)老張在每日報紙進(jìn)貨量為10份時，
若需求量為9份時，，，
當(dāng)需求量不小于10份時，，，
；
當(dāng)老張在每日報紙進(jìn)貨量為11份時，
需求量為9份時，，
需求量為10份時，，
當(dāng)需求量不小于11份時，，
，所以，
為了使收益最大，老張選擇最合適的報紙進(jìn)貨量為每日進(jìn)10份報紙.
(2)由(1) 知老張選擇最合適的報紙進(jìn)貨量為每日進(jìn)10份報紙，
由老張的雜貨店中該報紙每天的需求量的頻率分布表知：每日剩余一張的概率為0.3，賣完的概率為0.7，
所以在一個月(以30 天計)中，天將報紙銷售完的概率最大.
【點(diǎn)睛】
本題考查離散型分布列和數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題.
19．某企業(yè)生產(chǎn)一種液體化工產(chǎn)品，其年產(chǎn)量受氣溫影響，該液體化工產(chǎn)品中含有制造高精端儀器所需的稀有金屬，且提取該稀有金屬后，不影響液體化工產(chǎn)品的銷售和用途.根據(jù)以往市場經(jīng)驗(yàn)，制造的該液體化工產(chǎn)品和提取的稀有金屬都能完全銷售.在此之前，該企業(yè)無稀有金屬提取設(shè)備，經(jīng)企業(yè)研究決定安裝，但由于條件限制，最多能安裝6臺.根據(jù)最近20年統(tǒng)計的生產(chǎn)資料數(shù)據(jù)，每年至少生產(chǎn)該液體化工產(chǎn)品40噸，且得到液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如下表：
（Ⅰ）對于液體化工產(chǎn)品，如果年產(chǎn)量不低于100噸，則稱該年度為“優(yōu)質(zhì)年”，每位職工發(fā)放一等年終獎金；如果年產(chǎn)量不足100噸，則稱該年度為“均衡年”，每位職工發(fā)放二等年終獎金.其中一名工人在統(tǒng)計的20年中有5年在該企業(yè)工作，問該工人恰有三年得到一等年終獎金的概率是多少？（最后結(jié)果保留分?jǐn)?shù)形式）
（Ⅱ）若液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量相互獨(dú)立，且把液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量在相應(yīng)段的頻率作為概率.
（?。┰嚽笪磥?年中，至少有一年液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量不低于100噸的概率；（最后結(jié)果保留分?jǐn)?shù)形式）
（ⅱ）企業(yè)希望安裝的稀有金屬提取設(shè)備盡可能多地運(yùn)行，但每年稀有金屬提取設(shè)備運(yùn)行的臺數(shù)受液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量的限制，并有如下關(guān)系：
對于每臺提取設(shè)備，若正常運(yùn)行，則可獲年利潤約50萬元，否則年虧損10萬元.問應(yīng)安裝多少臺稀有金屬提取設(shè)備，可使該企業(yè)在稀有金屬提取項(xiàng)目中獲得最大總利潤？并說明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。?；（ⅱ）5臺，理由見解析.
【分析】
（Ⅰ）由題意知，該工廠得到一等年終獎金的年數(shù)服從超幾何分布，可直接求出概率；
（Ⅱ）（?。┛梢郧蟪瞿戤a(chǎn)量不低于100噸的概率為，則年產(chǎn)量不低于100噸的年數(shù)為服從，則可計算概率；
（ⅱ）要使獲得利潤盡量大，應(yīng)至少安裝3臺提取設(shè)備，分別分情況討論總利潤.
【詳解】
（Ⅰ）；
（Ⅱ）（?。?，所以，所以年產(chǎn)量不低于100噸的概率為，低于100噸的概率為，記未來3年中該液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量不低于100噸的年數(shù)為，則，所以在未來3年中至少有一年年產(chǎn)量不低于100噸的概率；
（ⅱ）記該企業(yè)在稀有金屬提取項(xiàng)目中所得總利潤為（單位：萬元）.
由題得，要使獲得利潤盡量大，應(yīng)至少安裝3臺提取設(shè)備，
①若安裝3臺提取設(shè)備，則在稀有金屬提取項(xiàng)目中所得最大總利潤萬元，
②由題知，液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量的概率為，此時可運(yùn)行3臺設(shè)備，年產(chǎn)量的概率為，此時可運(yùn)行4臺.若安裝4臺提取設(shè)備，則3臺運(yùn)行，1臺不運(yùn)行的概率為，4臺運(yùn)行的概率為，所以離散型隨機(jī)變量的分布列為
此時在稀有金屬提取項(xiàng)目中所得最大總利潤萬元.
③若安裝5臺提取設(shè)備，同理可得離散型隨機(jī)變量的分布列為
此時在稀有金屬提取項(xiàng)目中所得最大總利潤萬元.
④若安裝6臺提取設(shè)備，同理可得離散型隨機(jī)變量的分布列為
此時在稀有金屬提取項(xiàng)目中所得最大總利潤萬元.
綜上，當(dāng)安裝5臺提取設(shè)備時，稀有金屬提取項(xiàng)目所獲總利潤為205萬元，大于其他情況，所以安裝5臺稀有金屬提取設(shè)備能獲得該項(xiàng)目的最大總利潤.
【點(diǎn)睛】
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于綜合題.
20．某縣為了幫助農(nóng)戶脫貧致富，鼓勵農(nóng)戶利用荒地山坡種植果樹，某農(nóng)戶考察了三種不同的果樹苗、、．經(jīng)過引種實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為．
（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）將（1）中的數(shù)學(xué)期望取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率．該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活．
①求一棵種樹苗最終成活的概率；
②若每棵樹苗引種最終成活可獲利元，不成活的每棵虧損元，該農(nóng)戶為了獲利期望不低于萬元，問至少要引種種樹苗多少棵？
【答案】（1）分布列見解析，；（2）①；②棵.
【分析】
（1）根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；
（2）①由（1）知當(dāng)時，最大，然后分一棵種樹苗自然成活和非自然成活兩種情況，可求得所求事件的概率；
②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，由題意可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式得出，根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍即可得解.
【詳解】
（1）依題意，的所有可能值為、、、，
則，
，
，
.
所以，隨機(jī)變量的分布列為：
；
（2）由（1）知當(dāng)時，取得最大值．
①一棵種樹苗最終成活的概率為：，
②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，則，，
，．
所以該農(nóng)戶至少要種植棵樹苗，才可獲利不低于萬元．
【點(diǎn)睛】
本題通過“果樹種植”的例子，第（1）問考查了隨機(jī)變量及其分布列，數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識點(diǎn)，第（2）問考查了考生數(shù)學(xué)建模的能力，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)算求解的能力，對于考生的綜合分析能力提出較高要求，屬中等題．
21．某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型，為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的.
（1）完成聯(lián)表若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？
（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團(tuán)隊來研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個團(tuán)隊各至多安排2個接種周期進(jìn)行試驗(yàn).每人每次接種花費(fèi)元.甲團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計，甲團(tuán)隊平均花費(fèi)為；乙團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個接種周期.假設(shè)兩個研發(fā)團(tuán)隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立.若，從兩個團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，該公司應(yīng)選擇哪個團(tuán)隊進(jìn)行藥品研發(fā)？
附：.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，12人；（2）答案見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可補(bǔ)全列聯(lián)表，計算出卡方值，令，即可求出的取值范圍，結(jié)合條件可得結(jié)果；
（2）設(shè)甲研發(fā)團(tuán)隊試驗(yàn)總花費(fèi)為，,設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊試驗(yàn)總花費(fèi)為元，則的可能取值為，，分別計算出的概率，然后計算出均值進(jìn)行比較即可判斷.
【詳解】
（1）列聯(lián)表如下：
要使在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，
則，，
解得，
因?yàn)椋?，所以的最小整?shù)值為12，
所以男性患者至少有12人；
（2）設(shè)甲研發(fā)團(tuán)隊試驗(yàn)總花費(fèi)為，,
設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊試驗(yàn)總花費(fèi)為元，則的可能取值為，，
所以，
，
所以，
因?yàn)?，所?br>，
①當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，所以?br>乙團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)較少，所以選擇乙團(tuán)隊進(jìn)行研發(fā)；
②當(dāng)時，，因?yàn)椋?，所以?br>甲團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)較少，所以選擇甲團(tuán)隊進(jìn)行研發(fā)；
③當(dāng)時，，所以，甲團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)和乙團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)相同，從兩個團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，該公司應(yīng)選擇甲團(tuán)隊或乙團(tuán)隊進(jìn)行研發(fā)均可.
【點(diǎn)睛】
本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了卡方值的計算，考查離散型隨機(jī)變量的概率分布即均值的求法，考查利用均值進(jìn)行決策的問題.
22．冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾病. 而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株. 人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等. 在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺獎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、賢衰竭，甚至死亡.核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性. 根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有例疑似病例，分別對其取樣、檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗(yàn)，也可以將若干個樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中各個樣本再逐個化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個樣本均為陰性.現(xiàn)有以下三種方案:
方案一：逐個化驗(yàn)；
方案二：四個樣本混在一起化驗(yàn)；
方案三: 平均分成兩組化驗(yàn).
在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.
（1）若，求個疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率；
（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請問：方案一、二、三中哪個最“優(yōu)”?
（3）若對例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）方案二最“優(yōu)”，理由見解析；（3）.
【分析】
（1）可求得個疑似病例均為陰性的概率，再利用對立事件的概率公式可求得事件“個疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性”的概率；
（2）分別計算出方案一、二、三中將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)所需次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比較三種方案中檢測次數(shù)的期望值大小，可得出最“優(yōu)”方案；
（3）求出方案二的數(shù)學(xué)期望，可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由題意可知，個疑似病例均為陰性的概率為，
因此，該混合樣本呈陽性的概率為；
（2）方案一：逐個檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為；
方案二：混合在一起檢測，記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為、，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，方案二的期望為；
方案三：由（1）知，每組兩個樣本檢測時，若呈陰性則檢測次數(shù)為，概率為；若呈陽性則檢測次數(shù)為，概率為.
設(shè)方案三的檢測次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為、、，
，，.
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，方案三的期望為.
比較可得，故選擇方案二最“優(yōu)”；
（3）方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為、，
，，
隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，
由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，
可得，即，解得，
故當(dāng)時，方案二比方案一更“優(yōu)”.
【點(diǎn)睛】
本題考查事件概率的計算，同時也考查了利用數(shù)學(xué)期望進(jìn)行決策，考查計算能力，屬于中等題.
23．某花店每天以每枝5元價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理
（1）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式.
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
（ⅰ）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；
（ⅱ）若花店計劃一天購進(jìn)17枝或18枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)17枝還是18枝？請說明理由.
【答案】（1）
（2）（?。┓植剂幸娊馕?，，；（ⅱ）17枝，理由見解析.
【分析】
（1）分和兩種情況分別求利潤，寫成分段函數(shù)的形式即可得到所求.
（2）（?。┯深}意求出利潤可能的取值，求出相應(yīng)的概率，即可列出分布列，求出期望與方差.（ⅱ）購進(jìn)18枝玫瑰花時，當(dāng)天的利潤可能為60，70，80，90，分別求出相應(yīng)的概率，即可得數(shù)學(xué)期望，比較兩個數(shù)學(xué)期望，即知應(yīng)購進(jìn)17枝還是18枝.
【詳解】
（1）當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以當(dāng)天的利潤關(guān)于當(dāng)天需求量的函數(shù)解析式：

（ⅰ）可能取值為65，75，85
，
，
的分布列為
，

（ⅱ）購進(jìn)18枝時，當(dāng)天的利潤可能為60，70，80，90
，，，

由得：應(yīng)購進(jìn)17枝.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了概率的相關(guān)知識，為概率及隨機(jī)變量的分布列、期望、方差的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.
24．某地盛產(chǎn)臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級（每箱重量為5kg），某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機(jī)抽取50箱，利用臍橙的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如表：
（1）用分層抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，ξ表示隨機(jī)抽取的3箱中是特級的箱數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；
方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如下：
從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？
【答案】（1）分布列見解析，；（2）采用方案二，理由見解析
【分析】
（1）用分層抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，可得特級品的箱數(shù)為，非特級品的箱數(shù)為，從而可知的取值為，然后分別求出四種情況下的概率，進(jìn)而可列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)方案二的單價為，可求出的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而與方案一的單價相比較，可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）用分層抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數(shù)為，非特級品的箱數(shù)為，的取值為.
則，，
，，
則的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（2）方案一的單價為20元/kg，
設(shè)方案二的單價為，則的數(shù)學(xué)期望為：
，
因?yàn)?，所以從采購商?jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該采用方案二.
【點(diǎn)睛】
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查最優(yōu)方案的判斷，考查分層抽樣，考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.
25．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.
（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.
【答案】（1）；（2）①分布列詳見解析，，；②都有道理，理由詳見解析.
【分析】
（1）利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)是分段函數(shù)，考查了分類討論思想；
（2）①可取，，，進(jìn)而求得的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
②花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝玫瑰取決于哪個利潤更大，在利潤相同的情況下，需要再比較方差，方差小的說明其更穩(wěn)定.
【詳解】
（1）當(dāng)日需求量時，利潤.當(dāng)日需求量時，利潤.
所以關(guān)于的函數(shù)解析式為.
（2）①X可能的取值為60，70，80，并且，，.
X的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望為.
X的方差為.
②答案一：
花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為
Y的數(shù)學(xué)期望為.
Y的方差為由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.
另外，雖然，但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.
答案二：
花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利澗（單位：元），那么Y的分布列為
Y的數(shù)學(xué)期望為.
由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是概率相關(guān)知識，是隨機(jī)變量的概率分布的綜合題.求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：判斷取值、探求概率、寫分布列、求期望值.
26．某種體育比賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五場，當(dāng)參賽的兩方有一方先羸得三場比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場比賽都需分出勝負(fù).現(xiàn)A，B雙方參加比賽，A方在每一場獲勝的概率為，假設(shè)每場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）當(dāng)時，求A方恰在比賽四場后贏得比賽的概率；
（2）若B方在每一場獲勝的概率為q，設(shè)比賽場數(shù)為.
（i）試求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（用P，q表示）
（ⅱ）求的最大值，并給出能夠減少比賽場數(shù)的建議.
【答案】（1）；（2）（i）分布列見解析，；（ⅱ），建議A，B雙方擴(kuò)大與對方每一場獲勝的概率，可減少比賽場數(shù).
【分析】
（1）根據(jù)A方在前三場中有兩場獲勝，且第四場獲勝，可得結(jié)果；
（2）（i）取值為3，4，5.求出取各個值的概率即可得分布列；
（ⅱ）根據(jù)和可得結(jié)果，
【詳解】
（1）A方恰在比賽四場后贏得比賽，則A方在前三場中有兩場獲勝，且第四場獲勝，
所以A方恰在比賽四場后贏得比賽的概率為；建議A，B雙方擴(kuò)大與對方每一場獲勝的概率，可減少比賽場數(shù).
（2）（i）易知，取值為3，4，5.
，
，
，
故的概率分布列為：
所以點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望為
.
.
（ⅱ），
因?yàn)?，，所以，所以在?br>即時，取得最大值，最大值為.
由數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式可知當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以接近0時，即當(dāng)p，q相差較大時，也就是，或者，時，
比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望相對較小，
故建議A，B雙方擴(kuò)大與對方每一場獲勝的概率，可減少比賽場數(shù).
【點(diǎn)睛】
本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.
27．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.
（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列.
（2）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了，請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.
【答案】（1）分布列見解析；（2）答案見解析.
【分析】
（1）先寫出可能取值有，10，20，100，再利用求概率，最后求得的分布列；
（2）先求每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為的數(shù)學(xué)期望，再因?yàn)槊勘P游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而會減少.
【詳解】
解：（1）可能取值有，10，20，100.
則，
，，
故分布列為：
（2）由（1）知，每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為的數(shù)學(xué)期望是
.
這說明每盤游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而會減少.
【點(diǎn)睛】
本題考查隨機(jī)變量的分布列、獨(dú)立重復(fù)事件的概率、利用數(shù)學(xué)期望判斷分?jǐn)?shù)增減，是基礎(chǔ)題.
28．近期，濟(jì)南公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)與（，均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；
（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：
車隊為緩解周邊居民出行壓力，以80萬元的單價購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車每個月的運(yùn)營成本約為0.66萬元.已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受7折優(yōu)惠，有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，預(yù)計該車隊每輛車每個月有1萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需要年才能開始盈利，求的值.
參考數(shù)據(jù)：其中，
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.
【答案】（1）；（2），347；（3）7.
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)近似在指數(shù)型函數(shù)的圖象上，可知，適宜作為掃碼支付的人數(shù)關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型：
（2）對兩邊同時取常用對數(shù)得：，換元，設(shè)，則，再利用最小二乘法求出，由此可得，把代入上式可的結(jié)果；
（3）記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為，則的取值可能為：2，1.8，1.6，1.4；
根據(jù)題意計算出取每個值的概率，根據(jù)期望公式求出一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用，再根據(jù)利潤大于0列不等式，解得結(jié)果即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)近似在指數(shù)型函數(shù)的圖象上，所以適宜作為掃碼支付的人數(shù)關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型：
（2）∵，兩邊同時取常用對數(shù)得：；
設(shè)，∴，
∵，，，
∴，
把樣本中心點(diǎn)代入，
得：，∴，∴，
∴關(guān)于的回歸方程式：；
把代入上式：∴；
活動推出第8天使用掃碼支付的人次為347；
（3）記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為，則的取值可能為：2，1.8，1.6，1.4；
；
；
；
所以，一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用為：
（元），
由題意可知：，
，所以，取7；估計這批車大概需要7年才能開始盈利.
【點(diǎn)睛】
本題考查了散點(diǎn)圖，考查了求非線性回歸方程，考查了離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題.
29．現(xiàn)有一批貨物需出售，現(xiàn)有兩種出售方案供你選擇，這兩種方案的回報如下：方案一：即刻出售可獲利2萬元；方案二：根據(jù)往年的市場規(guī)律若一月后出售，獲得經(jīng)濟(jì)收益10萬元的概率為0.6，不賺反虧4萬元的概率為0.4.請問你會選擇哪種出售方式？
【答案】選擇第二種出售
【分析】
第一種出售方式可獲利2萬元，第二種方式出售，可獲利萬元，求出的分布列，進(jìn)而可求出的數(shù)學(xué)期望，比較與2的大小，可得出答案.
【詳解】
第一種出售方式可獲利2萬元.
第二種方式出售，可獲利萬元，的分布列為：
第二種方式獲利的期望為：（萬元）.
因?yàn)?，所以選擇第二種出售的方式.
【點(diǎn)睛】
本題考查期望的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
30．在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加.中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位：元)如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”.
（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?
（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望；
（3）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1200元的商品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?
附：
【答案】（1）答案詳見解析，有99%的把握；（2）；（3）方案二.
【分析】
（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；
（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，知服從二項(xiàng)分布，即，可求得其期望和方差；
（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，求出實(shí)際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.
【詳解】
（1）由已知得出聯(lián)列表：
所以，
有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)；
（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，
，

（3）若選方案一，則需付款元
若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，則的取值為1200，1080，1020，
，，，

選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算
【點(diǎn)睛】
本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
1.38
1.17
1.16
1.4
1.25
0.6
0
1
2
3
200
10000
指標(biāo)值分組
頻數(shù)
10
30
40
20
指標(biāo)值分組
頻數(shù)
5
10
15
30
40
1
2
3
4
5
2
3
2
3
1
2
3
4
5
2
3
出租天數(shù)
3
4
5
6
7
車輛數(shù)
3
30
5
7
5
出租天數(shù)
3
4
5
6
7
車輛數(shù)
10
10
15
10
5
品牌
甲
乙
首次出現(xiàn)故障時間x（年）
電視機(jī)數(shù)量（臺）
3
5
42
8
42
每臺利潤（千元）
1
2
3
1.8
2.8

1
2
3

1.8
2.8

6
2
1
-2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
1
2
3
質(zhì)量指標(biāo)值
頻數(shù)
20
10
30
15
25
等級
出廠價
30
25
16
10
5
0.15865
0.8186
002275
需求量
9
10
11
12
13
頻率
0.3
0.36
0.18
0.09
0.07
液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量（噸）
年數(shù)
3
1
8
6
2
液體化工產(chǎn)品年產(chǎn)量（噸）
提取設(shè)備最多可運(yùn)行臺數(shù)
3
4
5
6
（單位：萬元）
140
200
（單位：萬元）
130
190
250
（單位：萬元）
120
180
240
300
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合計
男
女
合計
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合計
男
女
合計
日需求量
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
15
20
20
18
16
11
65
75
85
0.15
0.2
0.65
等級
珍品
特級
優(yōu)級
一級
箱數(shù)
10
15
15
10
等級
珍品
特級
優(yōu)級
一級
售價（元/kg）
25
20
15
10
0
1
2
3
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
20
60
70
80
0.1
0.2
0.7
55
65
75
85
0.1
0.2
0.16
0.54
55
65
75
85
0.1
0.2
0.16
0.54
3
4
5
P
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
支付方式
現(xiàn)金
乘車卡
掃碼
比例
10%
60%
30%
66
1.54
2.711
50.12
3.47
10
-4
0.6
0.4

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