2024年新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練35 利用二項(xiàng)分布期望方差公式求解期望方差（原卷版+解析）

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1．在一個(gè)箱子中裝有大小形狀完全相同的有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從中有放回地摸取5次，每次隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得的白球個(gè)數(shù)為X，黑球個(gè)數(shù)Y，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
有放回地摸出一個(gè)球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，由二項(xiàng)分布的均值與方差公式計(jì)算后可得結(jié)論．
【詳解】
有放回地摸出一個(gè)球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，
∴，，
，．
故選：C
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布，掌握二項(xiàng)分布的概念是解題關(guān)鍵．變量，則，．
2．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】
利用離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】
解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，
可得，，解得，，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
此題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式的應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題
3．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用公式即可.
【詳解】
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的方差，牢記常用的結(jié)論和公式有利于快速解題.
4．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的期望（ ）
A．0.6B．3.6C．2.16D．0.216
【答案】B
【分析】
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.
【詳解】
解：服從二項(xiàng)分布，，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
考查求二項(xiàng)分布的期望，基礎(chǔ)題.
5．若隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．64B．128C．36D．32
【答案】C
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)分布期望的計(jì)算公式列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.
【詳解】
隨機(jī)變量，且，
所以，所以，
，
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查二項(xiàng)分布期望和方差計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
6．一只小蟲從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)爬行，若一次爬行過程中，小蟲等概率地向前或向后爬行1個(gè)單位，設(shè)爬行次后小蟲所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用小蟲等概率地向前或向后爬行，可知隨機(jī)變量，且向前或向后爬行1個(gè)單位的概率均為，結(jié)合二項(xiàng)分布公式求概率，根據(jù)、即可判斷各選項(xiàng)的正誤；
【詳解】
由題意知：設(shè)爬行次后小蟲所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量，且小蟲向前或向后爬行1個(gè)單位的概率均為，
∴爬行次后小蟲一共向前爬行次，則向后爬行次，有；故，則：
1、，，故A、B正確；
2、，，即，有，故C錯(cuò)誤；
3、，即，有，故D正確；
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用二項(xiàng)分布公式求概率，及求隨機(jī)變量的期望、方差，進(jìn)而判斷選項(xiàng)正誤；
7．某同學(xué)參加學(xué)?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個(gè)同學(xué)罰籃20次，每罰進(jìn)一球得5分，不進(jìn)記0分，已知該同學(xué)罰球命中率為60%，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（ ）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
【答案】D
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，由此判斷出正確選項(xiàng).
【詳解】
設(shè)該同學(xué)次罰籃，命中次數(shù)為，則，
所以，，
所以該同學(xué)得分的期望為，
方差為.
故選：D
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.
8．已知隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．54B．9C．18D．27
【答案】A
【分析】
根據(jù)隨機(jī)變量，，，由求解.
【詳解】
因?yàn)殡S機(jī)變量，，，
所以，解得，
所以．
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.
9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】C
【分析】
先由和二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差計(jì)算公式，可得選項(xiàng).
【詳解】
因?yàn)?，所以，故?br>故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
10．為響應(yīng)國家“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某校成立了足球隊(duì)，假設(shè)在一次訓(xùn)練中，隊(duì)員甲有10次的射門機(jī)會(huì)，且他每次射門踢進(jìn)球的概率均為0.6，每次射門的結(jié)果相互獨(dú)立，則他最有可能踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5B．6
C．7D．8
【答案】B
【分析】
由題意知踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)，然后由二項(xiàng)分布的期望公式求解.
【詳解】
因?yàn)樗看紊溟T踢進(jìn)球的概率均為0.6，射門10次，每次射門的結(jié)果相互獨(dú)立，
所以踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)
所以他最有可能踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)是，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二項(xiàng)分布的期望的求法，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
11．下列判斷正確的是（ ）
A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件
C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則
D．是的充分不必要條件
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷選項(xiàng)A；由線面垂直可以得線線垂直，， ，與位置關(guān)系不確定，無法得到，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二項(xiàng)分布均值公式求解可判斷選項(xiàng)C；由可得到，但反之不成立，可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
對(duì)于A ：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：若， ，則，又因?yàn)?，所以，若，?dāng)時(shí)，與位置關(guān)系不確定，所以無法得到，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：由可得到，但，時(shí)得不到，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】
本題考查正態(tài)分布的概率，二項(xiàng)分布的期望，線面之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.
三、解答題
12．某單位在2020年8月8日“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃游戲．游戲的規(guī)則如下：每個(gè)參與者投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，得3分，否則得1分．已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲在一次游戲中投籃命中次數(shù)的分布列與期望；
（2）若參與者連續(xù)玩次投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值不小于2，即可獲得一份大獎(jiǎng)．現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）分布列見解析，；（2）甲選擇玩10次投籃游戲的獲獎(jiǎng)概率最大．理由見解析.
【分析】
（1）由題意得3次投籃命中的次數(shù)再根據(jù)二項(xiàng)分布求的分布列和期望；（2）首先分布計(jì)算當(dāng)和時(shí)，計(jì)算得3分的次數(shù)，再根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，比較大小.
【詳解】
（1）由題意知．
則，
，
，
，
所以的分布列為
．
（2）由（1）可知在一次游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為．
若選擇，此時(shí)要能獲得獎(jiǎng)品，則需10次游戲的總得分不小于20．
設(shè)10次游戲中，得3分的次數(shù)為，則，即．
易知，故此時(shí)獲獎(jiǎng)的概率．
若選擇，此時(shí)要能獲得獎(jiǎng)品，則需15次游戲的總得分不小于30．
設(shè)15次游戲中，得3分的次數(shù)為，則，，又，所以．
易知，故此時(shí)獲獎(jiǎng)的概率．
因?yàn)?，所以甲選擇玩10次投籃游戲的獲獎(jiǎng)概率最大．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求解二項(xiàng)分布問題的“四關(guān)”：一是“判斷關(guān)”，即判斷離散型隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布；二是“公式關(guān)”，即利用，求出取各個(gè)值時(shí)的概率；三是“分布列關(guān)”，列出表格，得離散型隨機(jī)變量的分布列；四是“結(jié)論關(guān)”，分別利用公式，求期望、方差．
13．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展的新機(jī)遇，2016年雙11期間，某購物平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣.與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.
（1）完成下面列聯(lián)表，并通過計(jì)算說明是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
(，其中)
（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行的次購物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量：
①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列(概率用組合數(shù)算式表示)；
②求的數(shù)學(xué)期望和方差.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；（2）①分布列見解析；②，.
【分析】
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方值，和10.828比較，即可判斷；
（2）①可得X的取值可以是0，1，2，3，4，5，且，計(jì)算出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用期望和方差公式即可求出.
【詳解】
（1）由題可得列聯(lián)表如下：
所以，
所以可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；
（2）①每次購物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，
則，，，
，，，
則分布列如下：
②，
，.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查分布列的求解，解題的關(guān)鍵是判斷出變量服從二項(xiàng)分布，知道二項(xiàng)分布的概率求法以及期望方差公式.
14．中國華為手機(jī)的芯片均從臺(tái)積電?聯(lián)發(fā)科?高通三個(gè)外國公司進(jìn)口，設(shè)其進(jìn)口數(shù)量的頻率如圖.
（1）若用分層抽樣的方法從庫存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有幾枚？
（2）在（1）的條件下，從取出的枚芯片中任取枚，設(shè)這枚中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）在華為公司海量庫存中任取枚芯片，其中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）芯片有5枚；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布圖求解即可；
（2）根據(jù)超幾何分布模型，寫出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望值；
（3）根據(jù)二項(xiàng)分布性質(zhì)求解即可.
【詳解】
解：（1）用分層抽樣的方法從庫存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有枚，
有，得，即用分層抽樣的方法從庫存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有5枚；
（2）在（1）的條件下，的可能取值為，且的分布列符合超幾何分布,
，，
，，
所以所求分布列為：
所以；
（3）抽取1枚芯片，屬于臺(tái)積電的概率為，且海量庫存中任取枚芯片，其中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，所以.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查超幾何分布與二項(xiàng)分布，掌握兩種分布的特點(diǎn)及區(qū)別是關(guān)鍵，難度一般.一般地，若，則，.
15．疫情過后，為促進(jìn)居民消費(fèi)，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元?jiǎng)t可參加一輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球，攪拌均勻.
方案一：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
方案二：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；
（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎(jiǎng)方案更合適.
【答案】（1）答案見解析；（2）方案一數(shù)學(xué)期望為（元），方案二數(shù)學(xué)期望為100（元）；方案一.
【分析】
（1）先由題意，得到方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，確定X的可能取值，再分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（2）先由（1）得出選擇方案一時(shí)最終獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望；選擇方案二時(shí)，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，根據(jù)題意，得到，求出對(duì)應(yīng)的期望，比較大小，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意易知，方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，
依題意，X的取值可能為90，110，130，150.
且，
，
其分布列為
（2）由（1）知選擇方案一時(shí)最終獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為
（元），
選擇方案二時(shí)，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，
由題意可知，，得
由可知，該顧客應(yīng)該選擇方案一抽獎(jiǎng).
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）.
16．某校隨機(jī)調(diào)查了80位學(xué)生，以研究學(xué)生中愛好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：
（1）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查了本校的3名學(xué)生、設(shè)這3人中愛好羽毛球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列和期望值：
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有充分證據(jù)判定愛好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？若有，有多大把握？
附：
【答案】（1）分布列詳見解析；期望為（人）；（2）沒有.
【分析】
（1）的可能取值為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)公式求出概率后列出分布列，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出期望；
（2）根據(jù)列聯(lián)表，利用公式計(jì)算出臨界值，與臨界值表進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）的可能取值為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，
任一學(xué)生愛好羽毛球運(yùn)動(dòng)的概率為，故
，，
，，
的分布列為
（人）
（2），
故沒有充分證據(jù)判定愛好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的應(yīng)用以及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)解決實(shí)際問題，獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算出臨界值與臨界值表進(jìn)行比較解決實(shí)際問題.
17．網(wǎng)上訂外賣已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠? M外賣平臺(tái)（以下簡稱M外賣）為了解其在全國各城市的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)城市，調(diào)查了M外賣在今年2月份的訂單情況，并制成如下頻率分布表.
（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，今年2月份M外賣在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：
①從全國各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記今年2月份M外賣訂單數(shù)Z在區(qū)間內(nèi)的城市數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望（取整數(shù)）；
②M外賣決定在該月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動(dòng)來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開展此活動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國2月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市開展?fàn)I銷活動(dòng)，若每接一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣訂單平均需送出紅包2元，則M外賣在這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬元？
（2）現(xiàn)從全國開展M外賣業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個(gè)城市，若抽到K個(gè)城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，試求整數(shù)k的值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】（1）①；②萬元；（2）.
【分析】
（1）①先由頻率分布表求出樣本平均數(shù)，得到，求出，再由題意，得到，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，即可得出結(jié)果；
②根據(jù)分層抽樣，分別得出訂單數(shù)在區(qū)間和的城市數(shù)，計(jì)算出不開展?fàn)I銷活動(dòng)所得利潤，以及開展?fàn)I銷活動(dòng)所得利潤，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由正態(tài)分布，先求出隨機(jī)抽取1個(gè)城市的外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，得到抽到K個(gè)城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，為使其最大，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）①由頻率分布表可得，樣本平均數(shù)為
，
所以，
因此
，
由題意，可得，所以的數(shù)學(xué)期望為；
②由分層抽樣知，這100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個(gè)，
則每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個(gè)，
若不開展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤為（萬元），
若開展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤為（萬元），
因此M外賣在這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利萬元；
（2）因?yàn)?br>，
即隨機(jī)抽取1個(gè)城市的外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，
則從全國開展M外賣業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個(gè)城市，抽到K個(gè)城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，
為使若抽到K個(gè)城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，
只需，
即，即，解得，
則，
又為整數(shù)，所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率，考查由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求概率的最值，解題關(guān)鍵在于熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性，二項(xiàng)分布的概念以及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.
18．某地區(qū)為了解學(xué)生課余時(shí)間的讀書情況，隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書時(shí)間分成，，，，，六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，將日均課余讀書時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時(shí)間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”已知抽取的樣本中日均課余讀書時(shí)間低于10分鐘的有10人.
（1）求p和n的值；
（2）根據(jù)已知條件和下面表中兩個(gè)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)？
（3）將本次調(diào)查所得到有關(guān)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中.隨機(jī)抽取20名學(xué)生參加讀書與文學(xué)素養(yǎng)的研討會(huì)，記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
【答案】（1），；（2）填表見解析；沒有；（3）人.
【分析】
（1）由頻率和為1可求出的值，再由抽取的樣本中日均課余讀書時(shí)間低于10分鐘的有10人可求出的值；
（2）由題意完成列聯(lián)表，利用公式求出，再結(jié)臨界值表進(jìn)行判斷即可；
（3）將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為，由題意可知，從而可求出
【詳解】
（1），解得：，
所以.
（2）因?yàn)?，所以“讀書之星”有，
從而列聯(lián)表如下圖所示：
將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，
因?yàn)?，所以沒有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān).
（3）將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為.
由題意可知，所以（人）.
【點(diǎn)睛】
此題考查頻率分布直方圖，考查頻率的求法，考查離散型數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布，考查分析問題的能力，屬于中檔題
19．《開講啦》是中國首檔青年電視公開課，節(jié)目邀請(qǐng)“中國青年心中的榜樣”作為演講嘉賓，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng).為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛程度，電視臺(tái)分別在?兩個(gè)地區(qū)調(diào)在了45和55共100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：
已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是“非常滿意”的觀眾的概率為0.65.
（1）完成上述表格，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？
（2）若以抽樣調(diào)查的頻率作為概率，從地區(qū)所有觀眾中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附表：
其中隨機(jī)變量.
【答案】（1）表格答案詳見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別；（2）分布列答案詳見解析，數(shù)學(xué)期望.
【分析】
（1）根據(jù)已知完善列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別.
（2）設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
（1）依題意得列聯(lián)表為：
，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別.
（2）從地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾“非常滿意”的概率為，
隨機(jī)抽取3人，的可能取值為0，1，2，3，，
，
，
，
，
的分布列為：
.
【點(diǎn)睛】
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，用頻率估計(jì)概率，考查概率的求法及應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
20．某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提供兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品(人們購買時(shí)每次只買其中一種)服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為，購買的概率為.第一次購買產(chǎn)品的人第二次購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為.第一次購買產(chǎn)品的人第二次購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率也是.
（1）求某人第二次來，購買的是產(chǎn)品的概率；
（2）記第二次來公司購買產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購買產(chǎn)品，求的分布列并求
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】
（1）根據(jù)題中條件，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題中條件，得到，分別求出取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列，由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）依題意可得：某人第二次來購買的是產(chǎn)品的概率
（2）依題意可得：
；；
；；
分布列如下表：
.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查求相互獨(dú)立事件的概率，考查求二項(xiàng)分布的分布列及期望，屬于常考題型.
21．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，才能取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對(duì)這四門課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨(dú)立，
（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格的概率；
（2）記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求的分布列（只需列式無需計(jì)算）及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，期望為.
【分析】
（1） 分別記甲對(duì)這四門課程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學(xué)分”的概率為，由獨(dú)立事件的概率公式可計(jì)算出概率．
（2）由（1）知每個(gè)人獲得復(fù)賽資格的概率是，的取值依次為，～，由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算了概率得分布列，再由二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算出期望．
【詳解】
（1） 分別記甲對(duì)這四門課程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學(xué)分”的概率為，事件相互獨(dú)立，
(2)， ，
，
因此，的分布列如下：
因?yàn)椤?
所以
【點(diǎn)睛】
本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項(xiàng)分布．旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力．
22．華為手機(jī)的“麒麟970”芯片在華為處理器排行榜中最高主頻2.4GHz，同時(shí)它的線程結(jié)構(gòu)也做了很大的改善，整個(gè)性能及效率至少提升了50%，科研人員曾就是否需采用西門子制程這一工藝標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了反復(fù)比較，在一次實(shí)驗(yàn)中，工作人員對(duì)生產(chǎn)出的50片芯片進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)使用了該工藝的30片芯片有28片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善，沒有使用該工藝的20片芯片中有12片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善.
（1）用列聯(lián)表判斷：這次實(shí)驗(yàn)是否有99.5%的把握認(rèn)為“麒麟970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善與使用西門子制程這一工藝標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)？
（2）在“麒麟970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善后，接下來的生產(chǎn)制作還需對(duì)芯片的晶圓依次進(jìn)行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術(shù)，光阻去除這四個(gè)環(huán)節(jié)的精密操作，進(jìn)而得到多晶的晶圓，生產(chǎn)出來的多晶的晶圓經(jīng)過嚴(yán)格的質(zhì)檢，確定合格后才能進(jìn)入下一個(gè)流程.如果生產(chǎn)出來的多晶的晶圓在質(zhì)檢中不合格，那么必須依次對(duì)前四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行技術(shù)檢測(cè)并對(duì)所有的出錯(cuò)環(huán)節(jié)進(jìn)行修復(fù)才能成為合格品.在實(shí)驗(yàn)的初期，由于技術(shù)的不成熟，生產(chǎn)制作的多晶的晶圓很難達(dá)到理想狀態(tài)，研究人員根據(jù)以往的數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)得知在實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)多晶的晶圓的過程中，前三個(gè)環(huán)節(jié)每個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，每個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)需要修復(fù)的費(fèi)用均為200元，第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，此環(huán)節(jié)出錯(cuò)需要修復(fù)的費(fèi)用為100元，問：一次試驗(yàn)生產(chǎn)出來的多晶的晶圓要成為合格品大約還需要消耗多少元費(fèi)用？（假設(shè)質(zhì)檢與檢測(cè)過程不產(chǎn)生費(fèi)用）
參考公式：，.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.5%的把握；（2）225元.
【分析】
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，計(jì)算出觀測(cè)值，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.
（2）計(jì)算出X的可能取值為，再根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，列出X分布列，求出數(shù)學(xué)期望，即可.
【詳解】
（1）由題意列聯(lián)表為：
故，
故有99.5%的把握認(rèn)為“麒麟970”芯片的線性結(jié)構(gòu)有很大的改善與使用西門子制程這一工藝技術(shù)有關(guān).
（2）設(shè)表示檢測(cè)到第i個(gè)環(huán)節(jié)有問題（，2，3，4），X表示成為一個(gè)合格的多晶的晶圓需消耗的費(fèi)用，則X的可能取值為：0，100，200，300，400，500，600，700，
表明四個(gè)環(huán)節(jié)均正常，
表明第四環(huán)節(jié)有問題，
表明前三環(huán)節(jié)有一環(huán)節(jié)有問題，
表明前三環(huán)節(jié)有一環(huán)節(jié)及第四環(huán)節(jié)有問題，
表明前三環(huán)節(jié)有兩環(huán)節(jié)有問題，
表明前三環(huán)節(jié)有兩環(huán)節(jié)及第四環(huán)節(jié)有問題，
表明前三環(huán)節(jié)有問題
表明四個(gè)環(huán)節(jié)均有問題.
費(fèi)用X分布列為：
故
（元），
故大約需要耗費(fèi)225元.
【點(diǎn)睛】
本題考查了列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、數(shù)學(xué)期望，考查了考生的分析能力、計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
23．為提升銷量，某電商在其網(wǎng)店首頁設(shè)置了一個(gè)“勇闖關(guān)，贏紅包”的游戲小程序，其游戲規(guī)則如下：在網(wǎng)頁上設(shè)置三個(gè)翻牌關(guān)卡，每個(gè)關(guān)卡翻牌結(jié)果只有兩種：Pass（通過）與Fail（失?。糍I家通過這三關(guān)，則認(rèn)為闖關(guān)成功；若三關(guān)均未通過或只通過三關(guān)中的一關(guān)，則游戲失敗；若三關(guān)中恰好通過兩關(guān)，則允許參加復(fù)活環(huán)節(jié)．復(fù)活環(huán)節(jié)有兩個(gè)翻牌關(guān)卡，若兩關(guān)均通過，也認(rèn)為闖關(guān)成功，否則認(rèn)為闖關(guān)失?。俣ㄙI家每一關(guān)通過的概率均為，且各關(guān)卡之間是否通過相互獨(dú)立．
（1）求某買家參加這個(gè)游戲闖關(guān)成功的概率；
（2）若闖關(guān)成功，則買家可贏得50元的購物紅包．若闖關(guān)失?。畡t可獲得10元紅包，紅包均可直抵在該網(wǎng)店購物的貨款．某日有8100人參與了游戲且均在該網(wǎng)店消費(fèi)．
（ⅰ）求該日所有買家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望：
（ⅱ）假定該電商能從未中獎(jiǎng)的買家的購物中平均獲利8元/人，從中獎(jiǎng)的買家的購物中平均獲利120元/人（均不含所發(fā)紅包在內(nèi)）．試從數(shù)學(xué)期望的角度判斷該電商這一日通過游戲搞促銷活動(dòng)是否合算，并說明理由.
【答案】（1）；（2）（?。?01000元；（ⅱ）合算，理由見解析.
【分析】
（1）分買家通過三關(guān)和買家參加復(fù)活環(huán)節(jié)并闖關(guān)成功分別求出概率并求和.
（2）（?。┯桑?）可知，一名買家闖關(guān)成功的概率，則，而，可求出答案.
(ii) 設(shè)電商該日剔除紅包款后盈利元，則，可得出答案.
【詳解】
解：（1）買家通過三關(guān)的概率為，
買家參加復(fù)活環(huán)節(jié)并闖關(guān)成功的概率為，
所以買家闖關(guān)成功的概率．
（2）（?。┯桑?）可知，一名買家闖關(guān)成功的概率，
設(shè)這8100名買家中闖關(guān)成功的人數(shù)為，
則，
且，
所以的數(shù)學(xué)期望為，
所以該日所有買家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望為
元．
（ⅱ）設(shè)電商該日剔除紅包款后盈利元，
則元，
由此可見，該電商該日通過游戲搞促銷活動(dòng)盈利較多，很合算．
【點(diǎn)睛】
本題考查獨(dú)立事件的概率，考查二項(xiàng)分布的期望，和利用期望分析實(shí)際問題，屬于中檔題.
24．《最強(qiáng)大腦》是大型科學(xué)競(jìng)技類真人秀節(jié)目，是專注傳播腦科學(xué)知識(shí)和腦力競(jìng)技的節(jié)目．某機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生喜歡《最強(qiáng)大腦》是否與性別有關(guān)，對(duì)某高中200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：
已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡《最強(qiáng)大腦》的概率為0.6．
（1）判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)？
（2）從上述不喜歡《最強(qiáng)大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的節(jié)目類型，用表示3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：
【答案】（1）沒有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，.
【分析】
（1）由200×0.6=120以及表中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.
（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比可得隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3，再根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，得到的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
（1）由200×0.6=120及已知數(shù)據(jù)知滿足題意的2×2列聯(lián)表如下表所示：
由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得到.
因此沒有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)；
（2）由題意知，從不喜歡《最強(qiáng)大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，其中女生有3人，男生有5人，隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3，
，，
，.
的分布列為
.
【點(diǎn)睛】
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)分布以及數(shù)學(xué)期望，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
25．為抗擊“新冠肺炎”，全國各地“停課不停學(xué)”，各學(xué)校都開展了在線課堂，組織學(xué)生在線學(xué)習(xí)，并自主安排時(shí)間完成相應(yīng)作業(yè)為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，某在線教育平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了部分高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的平均時(shí)間，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）如果學(xué)生在完成在線課程后每天平均自主學(xué)習(xí)時(shí)間（完成各科作業(yè)及其他自主學(xué)習(xí)）為5小時(shí)，估計(jì)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（結(jié)果精確到0.01）；
（2）為了進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，平臺(tái)隨機(jī)選擇100位高三備考學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，記選擇的學(xué)生中每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間不超過45分鐘的人數(shù)為，以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，求的期望.
【答案】（1）0.18（2）28
【分析】
（1）由頻率分布直方圖計(jì)算出高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間的平均值，即可得解；
（2）由題意可知，利用二項(xiàng)分布期望的公式即可直接得解.
【詳解】
（1）高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間的平均值的估計(jì)值為
，
所以完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例估計(jì)值為.
（2）以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，每個(gè)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間不超過45分鐘的概率為0.28，所以，得.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查了二項(xiàng)分布期望的求解，屬于中檔題.
26．在某項(xiàng)娛樂活動(dòng)的海選過程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競(jìng)賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.
（1）求的值；
（2）估計(jì)這名參賽選手的平均成績；
（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加競(jìng)賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競(jìng)賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競(jìng)賽選拔賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有名選手進(jìn)入競(jìng)賽選拔賽，記這名選手在競(jìng)賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1) ；(2)84；(3)分布列見解析，1.
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)列式求解即可.
(2) 利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解即可.
(3)易得隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布,再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求解即可.
【詳解】
解:(1)由題意,得
解得
(2)估計(jì)這名選手的平均成績?yōu)?
(3)由題意知,,
則可能取值為,
所以
所以的分布列為
故的數(shù)學(xué)期望為.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了頻率分布直方圖的運(yùn)用與二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望,屬于中等題型.
27．2020年全球暴發(fā)新冠肺炎疫情，其最大特點(diǎn)是人傳人，傳播快，病亡率高．通過佩戴口罩可以有效地降低病毒傳染率．在某高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，公共場(chǎng)合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，現(xiàn)有在公共場(chǎng)合活動(dòng)的甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人，每個(gè)人是否被感染相互獨(dú)立．
（1）若他們都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率．
（2）若他們中有3人戴口罩，設(shè)5人中被感染的人數(shù)為，求：
（?。?；
（ⅱ）．
附：對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量、，有．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。?，（ⅱ）．
【分析】
（1）利用事件恰好發(fā)生k次的的概率公式可得答案；
（2）分情況計(jì)算當(dāng)被感染的兩人都未戴口罩、只有一人戴口罩、都戴口罩的概率，再根據(jù)互斥事件概率加法公式求得；分別求戴口罩的3人被感染的人數(shù)、未戴口罩的2人被感染的人數(shù)的期望可得答案.
【詳解】
（1）若他們都未戴口罩，則恰有3人被感染的概率是
．
（2）（?。┊?dāng)被感染的兩人都未戴口罩時(shí)，；
當(dāng)被感染的兩人中，只有一人戴口罩時(shí)，；
當(dāng)被感染的兩人都戴口罩時(shí)，．
所以．
（ⅱ）設(shè)戴口罩的3人被感染的人數(shù)為，則，
設(shè)未戴口罩的2人被感染的人數(shù)為則，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布、互斥事件的概率計(jì)算公式，概率的實(shí)際應(yīng)用．
28．順義某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買滿一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有8個(gè)紅球、4個(gè)黑球的甲箱和裝有6個(gè)紅球、6個(gè)黑球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)，若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).
（Ⅰ）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，1.
【分析】
（Ⅰ）記“甲箱中摸出紅球”為事件A，“乙箱中摸出紅球”為事件B，利用古典概型的概率求法求得和，然后由相互獨(dú)立事件的概率分都是紅球和只有1個(gè)紅球兩種情況討論求解.
（Ⅱ）先求出“在一次抽獎(jiǎng)中，獲得一等獎(jiǎng)的概率”，由隨機(jī)變量，X的所有可能取值為0，1，2，3，然后分別求得其相應(yīng)的概率，列出分布列再利用數(shù)學(xué)期望公式求解..
【詳解】
（Ⅰ）記“甲箱中摸出紅球”為事件A，“乙箱中摸出紅球”為事件B，
則，
根據(jù)題意，摸出的2個(gè)球中，都是紅球或只有1個(gè)紅球，
所以顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率為.
（Ⅱ）在一次抽獎(jiǎng)中，獲得一等獎(jiǎng)的概率為，
隨機(jī)變量，X的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，.
∴X的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查獨(dú)立事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
29．高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動(dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在2018年這一年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為50萬人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人次作為樣本．得到下表(單位：人次)：
（1）在樣本中任取1個(gè)，求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取2人次，記其中老年人出行的人次為X．以頻率作為概率．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）如果甲將要從A市出發(fā)到B市，那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你建議甲是乘坐高鐵還是 飛機(jī)？并說明理由.
【答案】（1）（2）見解析（3）乘坐高鐵，見解析
【分析】
（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，42，即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出；
（2）依題意可知服從二項(xiàng)分布，先計(jì)算出隨機(jī)選取1人次，此人為老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）可以計(jì)算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機(jī)．
【詳解】
（1）設(shè)事件：“在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人”為，
由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，42，
所以在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率；
（2）由題意，的所有可能取值為：0，1，2，
因?yàn)樵?018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取1人次，此人
為老年人概率是，
所以，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
故；
（3）從滿意度的均值來分析問題如下：
由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：，
乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為：，
因?yàn)椋?br>所以建議甲乘坐高鐵從市到市．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計(jì)算、以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，概率模型的判斷，屬于中檔題．
30．在我國抗疫期間，素有“南抖音，北快手”之說的小視頻除了給人們帶來生活中的快樂外，更在于傳遞了一種正能量，為抗疫起到了積極的作用，但一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，某同學(xué)學(xué)習(xí)利用“快影”軟件將已拍攝的素材進(jìn)行制作，每次制作分三個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行，其中每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為，，，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為一次成功制作，該小視頻視為合格作品.
（1）求該同學(xué)進(jìn)行3次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）若該同學(xué)制作10次，其中合格作品數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差；
（3）該同學(xué)掌握技術(shù)后制作的小視頻被某廣告公司看中，聘其為公司做廣告宣傳，決定試用一段時(shí)間，每天制作小視頻(注：每天可提供素材制作個(gè)數(shù)至多40個(gè))，其中前7天制作合格作品數(shù)與時(shí)間如下表：(第天用數(shù)字表示)
其中合格作品數(shù)()與時(shí)間()具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程(精確到0.01)，并估算第14天能制作多少個(gè)合格作品(四舍五入取整)？
(參考公式，，參考數(shù)據(jù)：.)
【答案】（1）；（2），；（3），個(gè).
【分析】
（1）根據(jù)題意可直接求出制作一次視頻成功的概率，進(jìn)而可以求出該同學(xué)進(jìn)行三次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）首先判斷出，從而可以利用二項(xiàng)分布的期望與方差公式直接求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差；
（3）根據(jù)題干給出的公式直接計(jì)算 、 ，即可求出對(duì)應(yīng)的回歸方程，令，即可故算出第14天能制作13個(gè)合格作品.
【詳解】
（1）由題意知：制作一次視頻成功的概率為，
所以該同學(xué)進(jìn)行3次制作，恰有一次合格作品的概率.
（2）根據(jù)題意可得：，
所以，，
（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可計(jì)算出：
，，
所以 ，
所以，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
令，得，
即估計(jì)第14天能制作13個(gè)合格作品.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了事件與概率、隨機(jī)變量與分布列，及統(tǒng)計(jì)案例.
0
1
2
3
對(duì)商品好評(píng)
對(duì)商品非好評(píng)
合計(jì)
對(duì)服務(wù)好評(píng)
對(duì)服務(wù)非好評(píng)
合計(jì)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
對(duì)商品好評(píng)
對(duì)商品非好評(píng)
合計(jì)
對(duì)服務(wù)好評(píng)
80
70
150
對(duì)服務(wù)非好評(píng)
40
10
50
合計(jì)
120
80
200
0
1
2
3
4
5






0
1
2
3
X
90
110
130
150
p
愛好
不愛好
合計(jì)
男
20
30
50
女
10
20
30
合計(jì)
30
50
80
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
訂單：（單位：萬件）

頻率
0.04
0.06
0.10
0.10
訂單：（單位：萬件）
頻率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
非讀書之星
讀書之星
總計(jì)
男
女
10
55
總計(jì)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非讀書之星
讀書之星
總計(jì)
男
30
15
45
女
45
10
55
總計(jì)
75
25
100
非常滿意
滿意
合計(jì)
30
45
55
合計(jì)
100
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非常滿意
滿意
合計(jì)
30
15
45
35
20
55
合計(jì)
65
35
100
0
1
2
3
課 程
初等代數(shù)
初等幾何
初等數(shù)論
微積分初步
合格的概率
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
使用工藝
不使用工藝
合計(jì)
合格
28
12
40
不合格
2
8
10
合計(jì)
30
20
50
X
0
100
200
300
400
500
600
700
P
喜歡《最強(qiáng)大腦》
不喜歡《最強(qiáng)大腦》
合計(jì)
男生
70
女生
30
合計(jì)
P (K2 ≥ k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡《最強(qiáng)大腦》
不喜歡《最強(qiáng)大腦》
合計(jì)
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合計(jì)
120
80
200
X
0
1
2
3
P
0
1
2
時(shí)間()
1
2
3
4
5
6
7
合格作品數(shù)()
3
4
3
4
7
6
8