2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題11 利用垂線(xiàn)段最短求最值（三大類(lèi)型含“胡不歸”)（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）
1．如圖，河道l的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，計(jì)劃鋪設(shè)一條管道將河水引至A，B兩地，下面的
四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是（）
A．B．
C．D．
2．如圖，點(diǎn)A為直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，且AC⊥BC于點(diǎn)C，AC＝4，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段AP長(zhǎng)不可能是（）
A．3B．4C．5D．6
3．體育課上，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)是（）
A．平行線(xiàn)間的距離相等B．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短
C．垂線(xiàn)段最短D．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)
4．如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，則（）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（）
A．B．1C．D．
6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P為直線(xiàn)AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線(xiàn)段PC的最小值是（）
A．4B．4.5C．4.8D．5
7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為（）
A．B．C．4D．
8．如圖，在矩形ABCD中，為線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）
A．B．C．D．
9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為AB上任意一點(diǎn)，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，則EF的最小值是．
10．如圖，E，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AB，AD的中點(diǎn)，P是菱形的對(duì)角線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)，若BD＝8，AC＝10，則PE+PF的最小值是．
11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為AD的中點(diǎn)，P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值為．
12．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為．
13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿(mǎn)足PQ＝2，則四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值為．
14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點(diǎn)，CF＝BE，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線(xiàn)段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則PM+PN的最小值為．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ABP＝∠BCP．（1）若點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，B，P，E在同一條直線(xiàn)上，則BP的長(zhǎng)為；
（2）若E為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BE+PE的最小值為．
16．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是?ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PBC＝S△PAD，則PA+PD的最小值為．
17．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E是AB所在直線(xiàn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．
18．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊）．
①若連結(jié)AP、PE，則PE+AP的最小值為；
②連結(jié)QE，若PQ＝3，當(dāng)CQ＝時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最?。?br> 專(zhuān)題11 利用垂線(xiàn)段最短求最值（三大類(lèi)型含“胡不歸”)
（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）
1．如圖，河道l的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，計(jì)劃鋪設(shè)一條管道將河水引至A，B兩地，下面的
四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是B．
故選：B．
2．如圖，點(diǎn)A為直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，且AC⊥BC于點(diǎn)C，AC＝4，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段AP長(zhǎng)不可能是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥4．
故選：A．
3．體育課上，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)是（）
A．平行線(xiàn)間的距離相等B．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短
C．垂線(xiàn)段最短D．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)
【答案】C
【解答】解：體育課上，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)是垂線(xiàn)段最短．
故選：C．
4．如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，則（）
A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ
【答案】C
【解答】解：∵PQ⊥l，點(diǎn)T是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，
∴PT≥PQ，
故選：C．
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：解法一：如圖在CD的下方作等邊△CDT，作射線(xiàn)TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，
∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，
，
∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，
∴∠CTQ＝30°，
∴點(diǎn)Q在射線(xiàn)TQ上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)T是定點(diǎn)，∠CTQ是定值），
當(dāng)CQ⊥TQ時(shí)，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如圖，CD的上方，作等邊△CDM，連接PM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等邊三角形，
∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，
∴△DPM≌△DQC（SAS），
∴PM＝CQ，
∴PM的值最小時(shí)，CQ的值最小，
當(dāng)PM⊥MH時(shí)，PM的最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值為1．
故選：B．
6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P為直線(xiàn)AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線(xiàn)段PC的最小值是（）
A．4B．4.5C．4.8D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，
此時(shí)：AB?PC＝AC?BC，
∴PC＝．
故選：C．
7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為（）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解答】解：如圖，連接OP，
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四邊形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
當(dāng)OP取最小值時(shí)，EF的值最小，
∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，
此時(shí)，S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值為2，
故選：D．
8．如圖，在矩形ABCD中，為線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如圖，連接CM，
∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，
∴四邊形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝3，
當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，
此時(shí)，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值為，
故選：B．
9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為AB上任意一點(diǎn)，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，則EF的最小值是．
【答案】2.4
【解答】解：連接CP，如圖所示：
∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四邊形CEPF是矩形，
∴EF＝CP，
要使EF最小，只要CP最小即可，
當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝5，
由三角形面積公式得：×4×3＝×5×CP，
∴CP＝2.4，
即EF＝2.4，
故答案為：2.4．
10．如圖，E，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AB，AD的中點(diǎn)，P是菱形的對(duì)角線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)，若BD＝8，AC＝10，則PE+PF的最小值是．
【答案】
【解答】解：作E點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)P，連接EP，
∴EP＝GP，
∴EP+FP＝PG+PF≥FG，
當(dāng)F、P、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，EP+FP有最小值，最小值為GF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD是菱形的一條對(duì)稱(chēng)軸，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴G點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
∴EG＝AC，
∵AC＝10，
∴EG＝5，
連接EF，
∵F是AD的中點(diǎn)，BD＝8，
∴EF＝BD＝4，
在Rt△EFG中，GF＝，
∴PF+PE的最小值為，
故答案為：．
11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為AD的中點(diǎn)，P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值為．
【答案】
【解答】解：作B點(diǎn)關(guān)于EC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF交EC于點(diǎn)P，連接BP，過(guò)F點(diǎn)作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
BF交EC于點(diǎn)H，
∴BP＝FP，
∴AP+BP＝AP+PF≥AF，
當(dāng)A、F、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+BP有最小值，最小值為AF，
∵E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，
∴ED＝AD，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，
∴ED＝，
∴tan∠ECD＝，
∵BH⊥EC，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠HBC＝∠ECD，
∴tan∠HBC＝，
∴2HC＝BH，
在Rt△BCH中，BC＝5，
∴BH＝2，
∴BF＝2BH＝4，
在Rt△BGF中，BG＝2FG，
∴GF＝4，BG＝8，
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB交于M，
∴MF＝8，AM＝1，
在Rt△AFM中，AF＝，
∴AP+BP的最小值為，
故答案為：．
12．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為．
【答案】6
【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長(zhǎng)度，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝＝＝6，
∴PE+PB的最小值為6，
故答案為：6．
13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿(mǎn)足PQ＝2，則四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值為．
【答案】12
【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
則要使四邊形APQB的周長(zhǎng)最小，只要AP+BQ最小即可．
在A(yíng)B邊上截取AM＝PQ，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，
連接CM，交EF于點(diǎn)Q，
則CM即為AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝＝5，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)最小值為5+7＝12．
故答案為：12．
14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點(diǎn)，CF＝BE，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線(xiàn)段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則PM+PN的最小值為．
【答案】3
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，可得BG＝MG，
∴點(diǎn)M關(guān)于A(yíng)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B．
過(guò)點(diǎn)B作BN'⊥AM，交AE于點(diǎn)P'，
則PM+PN的最小值即為BN'的長(zhǎng)．
∵正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相互垂直且平分，
∴BN'＝AC，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝6，
∴BN'＝3．
故答案為：3．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ABP＝∠BCP．（1）若點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，B，P，E在同一條直線(xiàn)上，則BP的長(zhǎng)為；
（2）若E為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BE+PE的最小值為．
【答案】，4
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠ABP＝∠BCP，
∴∠BCP+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴點(diǎn)P是在以BC為直徑為圓上．
∵點(diǎn)B，P，E在同一條直線(xiàn)上，
∴△ABE∽△PCB，
∴，
在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE＝4，BE＝．
∴，
∴．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'E，
則BE+PE＝B'E+PE．
∴當(dāng)B'，E，P三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，BE+PE取得最小值，即為B'P的長(zhǎng)．
設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接B'O，交以BC為直徑的圓于點(diǎn)P，
此時(shí)即為B'P的最小值．
∴B'P＝B'0﹣OP．
在Rt△OBB'中，
B'O＝＝．
∴B'P＝4．
∴BE+PE的最小值為4．
16．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是?ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PBC＝S△PAD，則PA+PD的最小值為．
【答案】4
【解答】解：如圖所示，過(guò)P作直線(xiàn)l∥AD，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AA'，交l于E，交BC于F，連接A'P，則A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，
∴AP+PD＝A'P+PD，
當(dāng)A'，P，D在同一直線(xiàn)上時(shí)，AP+PD的最小值等于A(yíng)'D的長(zhǎng)，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BF＝AB?cs60°＝3，AF＝3，
又∵S△PBC＝S△PAD，
∴AE＝AF＝2，
∴AA'＝2AE＝4，
∵BC＝8，
∴AD＝8，
Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，
∴PA+PD的最小值為4，
故答案為：4．
17．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E是AB所在直線(xiàn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．
【答案】
【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使CG＝AC，連接FG，
∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCG，
又∵AE＝CF，
∴△ACE≌△CGF（SAS），
∴CE＝GF．
如圖，當(dāng)G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BF+GF的長(zhǎng)最小，
此時(shí)BF+CE的值也最小，最小值等于BG的長(zhǎng)．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∴CG＝，
Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BF+CE的最小值等于，
故答案為：．
18．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊）．
①若連結(jié)AP、PE，則PE+AP的最小值為；
②連結(jié)QE，若PQ＝3，當(dāng)CQ＝時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最?。?br>【解答】解：（1）延長(zhǎng)AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，
∴AP＝PM，
連接EM，交BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP+PE的值最小，
∴AP+PE＝PM+EP＝EM，
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠MBC＝∠BCN＝90°，
∵∠MND＝90°，
∴四邊形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴EC＝CD＝2，
∴EN＝EC+CN＝6，
∴ME＝＝＝10，
∴PE+AP的最小值為10，
故答案為：10；
（2）點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位到點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，
連接GF，交BC于點(diǎn)Q，
∴EQ＝FQ，
∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，
此時(shí)GQ+QE的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∵AG＝PQ＝3，
∴四邊形APQG是平行四邊形，
∴AP＝GQ，
∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，
∵AE，PQ的值是定值，
∴要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP+EQ的值最小即可，
設(shè)CQ＝x，
∵BC∥AD，
∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，
∴△FCQ∽△FDG，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴當(dāng)CQ＝時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，
故答案為：．

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