（能力提升）
1．【問題提出】
（1）如圖①，某牧馬人要從A地前往B地，途中要到旁邊一條筆直的河邊l喂馬喝一次水，經(jīng)測(cè)量A點(diǎn)到河邊的距離AC為300米，B點(diǎn)到河邊的距離BD為900米，且點(diǎn)C、D間距離為900米，請(qǐng)計(jì)算該牧馬人的最短路徑長(zhǎng)；
【問題探究】
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂線分別交AB，AC的邊于E，F(xiàn)，△ABC的面積為24，若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△CDM周長(zhǎng)的最小值；
【問題解決】
（3）如圖③所示，某工廠生產(chǎn)車間的平面示意圖為四邊形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中點(diǎn)處有一個(gè)出貨口M，在BC上有一個(gè)質(zhì)檢口N，點(diǎn)D為貨物包裝口．為了使得該生產(chǎn)車間出貨——質(zhì)檢——包裝過程達(dá)到最高效率，現(xiàn)要求從出貨口M到質(zhì)檢口N的距離MN與質(zhì)檢口到包裝口D的距離ND之和最短（即MN+ND最短）．請(qǐng)根據(jù)要求計(jì)算出MN+ND的最小值為多少？
2．如圖①，在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，其中2BE＝BC，DF＝．
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，點(diǎn)G為CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)M，在AE上取點(diǎn)N，使AN＝2HM，連接BN，CM，求證：BN＝CM；
（3）如圖③，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，連接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．
3．（1）如圖①，在等邊△ABC中，BC＝4，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，連接MN．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是 ，
當(dāng)AP的長(zhǎng)最小時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是 ；
②如圖②，PM，PN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．當(dāng)PB＝1時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）如圖③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，點(diǎn)P，Q，R分別為邊BC，AB，AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQR的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠PQR+∠PRQ的度數(shù)．
4．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一個(gè)點(diǎn)，作射線DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CM⊥DE交AD于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，連接AF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)．
①求證：DE＝CM；
②若點(diǎn)G，H分別為AC，DC上一點(diǎn)，AB＝2，求△MGH周長(zhǎng)的最小值；
（2）如圖②，若點(diǎn)P，Q分別為AF，BC的中點(diǎn)，連接PQ交DF于點(diǎn)O，求證：OQ＝OF．
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E在AB上，且AE＝1，點(diǎn)F，G分別為BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)E，F(xiàn)G，點(diǎn)M為△EBC的外心．
（1）求點(diǎn)M到AB的距離；
（2）若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的長(zhǎng)；
（3）連接AG，求四邊形AEFG周長(zhǎng)的最小值．
6．（1）如圖①，在四邊形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是邊AB的中點(diǎn)，連接CA，若CA恰好平分∠BCE．
①求EC的長(zhǎng)；
②若P，Q分別是邊BC，EC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），試求DP+PQ+AQ的最小值；
（2）如圖②，在四邊形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，點(diǎn)A，B，C，D分別在邊MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值．
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），且EF⊥AC，EF與AC交于點(diǎn)O．
（1）請(qǐng)?jiān)冖貽A＝OC；②∠EFC＝∠ECF；③AF∥CE；④AF＝AE中選擇一個(gè)條
件 （填序號(hào)），使得四邊形AECF為菱形，并加以證明（選擇一個(gè)即可）；
（2）求EF的值；
（3）求AF+EF+CE的最小值．
8．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（均不與正方形的頂點(diǎn)重合），且∠EAF＝45°，連接EF．
（1）求證．EF＝BE+DF；
（2）如圖②，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，連接AP，作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E'，作點(diǎn)F關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接E'F'，求證：E'F'＝2AP；
（3）如圖③，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意圖，其中AB＝800米，李叔叔計(jì)劃在菜地中開拓一條小路EM﹣MN﹣NF，其中點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD邊上一點(diǎn)，且CF＝300米，點(diǎn)M，N在線段BC上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN＝100米．為了盡可能少的破壞植物，需要以最小長(zhǎng)度來修建，請(qǐng)你幫李叔叔計(jì)算這條小路長(zhǎng)度的最小值．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
專題12 兩之間線段最短求最值（四大類型含將軍飲馬）
（能力提升）
1．【問題提出】
（1）如圖①，某牧馬人要從A地前往B地，途中要到旁邊一條筆直的河邊l喂馬喝一次水，經(jīng)測(cè)量A點(diǎn)到河邊的距離AC為300米，B點(diǎn)到河邊的距離BD為900米，且點(diǎn)C、D間距離為900米，請(qǐng)計(jì)算該牧馬人的最短路徑長(zhǎng)；
【問題探究】
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂線分別交AB，AC的邊于E，F(xiàn)，△ABC的面積為24，若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△CDM周長(zhǎng)的最小值；
【問題解決】
（3）如圖③所示，某工廠生產(chǎn)車間的平面示意圖為四邊形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中點(diǎn)處有一個(gè)出貨口M，在BC上有一個(gè)質(zhì)檢口N，點(diǎn)D為貨物包裝口．為了使得該生產(chǎn)車間出貨——質(zhì)檢——包裝過程達(dá)到最高效率，現(xiàn)要求從出貨口M到質(zhì)檢口N的距離MN與質(zhì)檢口到包裝口D的距離ND之和最短（即MN+ND最短）．請(qǐng)根據(jù)要求計(jì)算出MN+ND的最小值為多少？
【解答】解：（1）如圖①中，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線l于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為線段BA′的長(zhǎng)．
過點(diǎn)B作BT⊥AA′交A′A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．
在Rt△A′BT中，BT＝CD＝900米．AT＝1200米，
∴BA′＝＝＝1500（米），
∴該牧馬人的最短路徑長(zhǎng)為1500米；
（2）如圖②中，連接AD，AM．
∵AB＝AC，AD是中線，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵S△ABC＝×BC×AD＝24，BC＝6，
∴AD＝8，
∵EF垂直平分線段AC，
∴MA＝MC，
∴MD+MC＝AM+MD≥AD＝8，
∴MD+MC的最小值為8，
∴△CDM的周長(zhǎng)的最小值為11；
（3）如圖③中，延長(zhǎng)DC到R，使得CR＝DC，連接MR，過點(diǎn)M作MQ⊥CD于點(diǎn)Q．
∵BC⊥DR，CD＝CR，
∴ND＝NR，
∴MN+ND＝MN+NR≥MR，
∵AM＝BM，AD∥MQ∥BC，
∴DQ＝CQ＝30m，
∴MQ＝（AD+BC）＝90（m），
∴MR＝＝＝90（m），
∴MN+DN≥90，
∴MN+ND的最小值為90m．
2．如圖①，在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，其中2BE＝BC，DF＝．
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，點(diǎn)G為CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)M，在AE上取點(diǎn)N，使AN＝2HM，連接BN，CM，求證：BN＝CM；
（3）如圖③，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，連接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．
【解答】（1）解：如圖①，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BEF＝90°，
∵AE⊥BC，2BE＝BC，DF＝，
∴BE＝CE＝BC，
∴AB＝AC＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAC＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝30°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∴BC＝AD＝DF?cs30°＝×＝1，
∴BE＝×1＝，
∴EF＝BE?tan30°＝×＝，
∴EF的長(zhǎng)是．
（2）證明：如圖②，∵GH⊥AD，∠HDM＝30°，
∴∠DHM＝90°，
∴DM＝2HM，
∵AN＝2HM，
∴AN＝DM，
∵∠BAN＝∠BAC＝30°，∠CDM＝∠ADC＝30°，
∴∠BAN＝∠CDM，
∴△ABN≌△DCM（SAS），
∴BN＝CM．
（3）如圖③，連接AC交BD于點(diǎn)O，作直線AA′，由平移得AA′∥BD；
作點(diǎn)D關(guān)于AA′的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG交AA′于點(diǎn)H、交AD于點(diǎn)L，連接DG交AA′于點(diǎn)R，連接DH，
∵AA′垂直平分DG，
∴∠ARD＝90°，
∴∠OAR＝∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴四邊形AODR是矩形，
∴DR＝OA，
∵DG＝2DR，DC＝AC＝2OA，
∴DG＝DC＝1，
∵∠LDG＝∠LDC＝∠DAC＝60°，
∴DL⊥CG，
∴CL＝GL，∠DLC＝90°，
∴CL＝CD?sin60°＝1×＝，
∴CG＝2CL＝2×＝，
∵A′G＝A′D，
∴A′C+A′D＝A′C+A′G，
∵A′C+A′G≥CG，
∴當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)H重合時(shí)，A′C+A′G＝CG＝，此時(shí)A′C+A′G的值最小，
∴A′C+A′D的最小值為．
3．（1）如圖①，在等邊△ABC中，BC＝4，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，連接MN．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是 ，
當(dāng)AP的長(zhǎng)最小時(shí)，線段MN的長(zhǎng)是 ；
②如圖②，PM，PN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．當(dāng)PB＝1時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）如圖③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，點(diǎn)P，Q，R分別為邊BC，AB，AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQR的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠PQR+∠PRQ的度數(shù)．
【解答】解：（1）如圖①﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，設(shè)PN交AC于點(diǎn)T．
∵P，N關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PN⊥AC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴AT＝CT＝2，
∵BT＝TN＝＝2，
∴MN＝4，
如圖①﹣2中，連接AM，AN．
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP＝2，
∵P，M關(guān)于AB對(duì)稱，P，N關(guān)于AC對(duì)稱，
∴AM＝AP＝AN，∠BAP＝∠BAM，∠PAC＝∠NAC，
∴∠MAN＝2∠BAC＝120°，
∴MN＝AM＝AP＝6，
故答案為：4，6；
②如圖②中，連接AM，AN．作AH⊥BC于點(diǎn)H．
∵AB＝AC＝BC＝4，AH⊥CB，
∴BH＝CH＝2，
∵PB＝1，
∴PH＝1，
∴AP＝＝＝．
∵P，M關(guān)于AB對(duì)稱，P，N關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PM＝PM＝PA＝，
∵∠MAN＝120°，
∴MN＝AM＝；
（2）作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，作P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''，分別交AB、AC于點(diǎn)Q、R，連接AP'、AP''．
則P'Q＝PQ，P''R＝PR，AP＝AP'＝AP''，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P''AR＝∠PAR，
∴△PQR周長(zhǎng)＝PQ+QR+PR＝P'Q+QR+P''R＝P'P''，
∠P'AP''＝∠P'AQ+∠PAQ+∠P''AR+∠PAR＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△AP'P''為等邊三角形，
∴P'P''＝AP＝AP'＝AP''，
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短，即為△PQR周長(zhǎng)的最小值，
此時(shí)∠P′＝∠APQ＝60°，∠P″＝∠APR＝60°，
∴∠QPR＝120°，
∴∠PQR+∠PRQ＝60°．
4．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一個(gè)點(diǎn)，作射線DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CM⊥DE交AD于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，連接AF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)．
①求證：DE＝CM；
②若點(diǎn)G，H分別為AC，DC上一點(diǎn)，AB＝2，求△MGH周長(zhǎng)的最小值；
（2）如圖②，若點(diǎn)P，Q分別為AF，BC的中點(diǎn)，連接PQ交DF于點(diǎn)O，求證：OQ＝OF．
【解答】（1）①證明：∵CM⊥DE，
∴∠CND＝90°，
∴∠NCD+∠NDC＝90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE+∠NDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCM，
∴△ADE≌△DCM（ASA），
∴DE＝CM；
②解：由（1）①得，△ADE≌△DCM，
∴DM＝AE．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴DM＝AE＝1/2AB，即點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，
如圖，作點(diǎn)M關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接EM′交AC于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)H，連接MG，MH．
∵△MGN的周長(zhǎng)＝MG+MH+GH＝EG+HM′+GH≥EM′，當(dāng)且僅當(dāng)E，G，H，M′四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
∴△MGH周長(zhǎng)的最小值為EM′的長(zhǎng)．
∵AB＝2，
∴DM′＝DM＝AE＝1，
∴AM′＝3，
∴EM′＝＝，
∴△MGH周長(zhǎng)的最小值為；
（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PT∥AD交DF于點(diǎn)T，連接PB，TQ，
∵點(diǎn)P為AF的中點(diǎn)，
∴PT＝AD．
∵AD＝BC，AD∥BC，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，
∴PT∥BQ，PT＝BC＝BQ，
∴四邊形PTQB為平行四邊形，
∴TQ∥PB，TQ＝PB．
在Rt△ABF中，
∵點(diǎn)P為AF的中點(diǎn)，
∴PB＝AF＝PF，
∴TQ＝PF，∠PFB＝∠PBF＝∠TQF．
在△PFQ和△TQF中，
，
∴△PFQ≌△TQF（SAS），
∴∠PQF＝∠TFQ，
∴OQ＝OF．
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E在AB上，且AE＝1，點(diǎn)F，G分別為BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)E，F(xiàn)G，點(diǎn)M為△EBC的外心．
（1）求點(diǎn)M到AB的距離；
（2）若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的長(zhǎng)；
（3）連接AG，求四邊形AEFG周長(zhǎng)的最小值．
【解答】解：（1）這MN⊥AB于N，
∵點(diǎn)M為△EBC的外心，
∴EM＝MC，
∵M(jìn)N∥BC，
∴EN＝BN，
∴MN＝BC＝3；
（2）∵EF⊥FG，
∴∠GFC+∠EFB＝∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠GFC＝∠BEF，
∵∠EBF＝∠FCG，
∴△EBF∽△FCG，
∴BF：CG＝EB：FC，
∴2：CG＝3：4，
∴CG＝；
（3）作A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接CQ，
作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PF，連接PQ，
當(dāng)點(diǎn)P，F(xiàn)，G，Q共線時(shí)，四邊形AEFG的周長(zhǎng)最小，
∵PQ2＝PA2+QA2，
∴PQ2＝72+122，
∴PQ＝，
∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)最小值為：+1．
6．（1）如圖①，在四邊形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是邊AB的中點(diǎn)，連接CA，若CA恰好平分∠BCE．
①求EC的長(zhǎng)；
②若P，Q分別是邊BC，EC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），試求DP+PQ+AQ的最小值；
（2）如圖②，在四邊形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，點(diǎn)A，B，C，D分別在邊MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值．
【解答】解：（1）①如圖①中，∵AC平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝AB＝4，
∵∠E＝90°，
∴EC＝AC?cs30°＝4×＝6；
②如圖①中，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，作點(diǎn)A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D′交BC于點(diǎn)P，交EC于點(diǎn)Q，連接DP，AQ，此時(shí)DP+PQ+AQ的值最小，最小值為A′D′的長(zhǎng)，
連接A′C，過點(diǎn)D′作D′T⊥A′C于點(diǎn)T．設(shè)DD′交BC于點(diǎn)J．
∴A，A′關(guān)于EC的長(zhǎng)，
∴∠ECA′＝∠ECA＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠A′CB＝∠BCT＝90°，
∵∠T＝∠D′JC＝90°，
∴四邊形CJD′T是矩形，
∵BD＝AD＝2，∠DJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝1，DJ＝JD′＝，
∵BC＝2AB＝8，
∴CJ＝TD′＝7，
∵CA′＝AC＝4，CT＝JD′＝，
∴A′T＝5，
∴A′D′＝＝＝2，
∴DP+PQ+AQ的最小值為2；
（3）如圖②中，作點(diǎn)A關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)F，點(diǎn)B關(guān)于PN的對(duì)稱點(diǎn)G，點(diǎn)F關(guān)于PN的對(duì)稱點(diǎn)H，連接BF，CG，DE，GH，EH，過點(diǎn)E作ET⊥FH于T交MN于K，設(shè)AF交MN于J．
由對(duì)稱性可知，DA＝DE，CB＝CG，AB＝BF，BF＝GH，
∴AD+CD+CB+AB＝DE+CD+CB+BF＝ED+CD+CG+GH≥EH，
在Rt△AMJ中，∠AJM＝90°，AM＝MQ﹣AQ＝5﹣1＝4，∠M＝60°，
∴MJ＝AM?cs60°＝2，AJ＝JF＝KT＝2，
∴JN＝MN﹣MJ＝4﹣2＝2，
∴FH＝2JN＝4，
在Rt△EMK中，EK＝EM?sin60°＝3，BM＝EM?cs60°＝3，
∴TE＝EK+KT＝5，JK＝FT＝MK﹣MJ＝1，TH＝FH﹣FT＝4﹣1＝3，
∴EH＝＝2，
∴當(dāng)E，D，C，G，H共線時(shí)，AD+CD+CB+BA的值最小，最小值為2．
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），且EF⊥AC，EF與AC交于點(diǎn)O．
（1）請(qǐng)?jiān)冖貽A＝OC；②∠EFC＝∠ECF；③AF∥CE；④AF＝AE中選擇一個(gè)條
件 （填序號(hào)），使得四邊形AECF為菱形，并加以證明（選擇一個(gè)即可）；
（2）求EF的值；
（3）求AF+EF+CE的最小值．
【解答】解：（1）①③④都滿足條件．
當(dāng)OA＝OC時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
，
∴△FCO≌△EAO（ASA），
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；
當(dāng)AF∥EC時(shí)，∵CF∥AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；
當(dāng)AE＝AE時(shí)，∵AC⊥EF，
∴OF＝OE，
同法可證△FCO≌△EAO，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；
故答案為：①③④；
（2）如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵FH⊥AB，AC⊥EF，
∴∠D＝∠FHE＝∠AOE＝∠DAH＝90°，
∴四邊形ADFH是矩形，
∴FH＝AD＝2，
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠FEH＝90°，
∴∠DAC＝∠FEH，
∴△CDA∽△FHE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝；
（3）設(shè)DF＝x．
在Rt△EFH中，EH＝＝＝1，
∵四邊形ADFH是矩形，
∴AH＝DF＝x，
∴EB＝4﹣x﹣1＝3﹣x，
∴AF+EC＝+，
欲求AE+EC的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)M（x，0），使得點(diǎn)M到，P（0，2），Q（3，2）的距離和最小，如圖1中，
作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接QP′交x軸于點(diǎn)M，連接PM，此時(shí)PM+MQ的值最小，最小值＝QP′的長(zhǎng)，
∵P′（0，﹣2），Q（3，2），
∴QP′＝＝5，
∴AF+EC的最小值為5，
∴AF+EF+CE的最小值為5+．
8．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（均不與正方形的頂點(diǎn)重合），且∠EAF＝45°，連接EF．
（1）求證．EF＝BE+DF；
（2）如圖②，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，連接AP，作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E'，作點(diǎn)F關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接E'F'，求證：E'F'＝2AP；
（3）如圖③，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意圖，其中AB＝800米，李叔叔計(jì)劃在菜地中開拓一條小路EM﹣MN﹣NF，其中點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD邊上一點(diǎn)，且CF＝300米，點(diǎn)M，N在線段BC上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN＝100米．為了盡可能少的破壞植物，需要以最小長(zhǎng)度來修建，請(qǐng)你幫李叔叔計(jì)算這條小路長(zhǎng)度的最小值．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
【解答】（1）證明：如圖①中，延長(zhǎng)CB至K，使得BK＝DF，連接AK，則△ABK≌△ADF，
∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，
∴∠EAK＝∠EAB+∠BAK＝∠EAB+∠DAF＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAK＝∠EAF，
在△EAK和△EAF中，
，
∴△EAK≌△EAF（SAS），
∴EF＝EK＝BK+BE＝DF+BE；
（2）證明：如圖②中，延長(zhǎng)AP至T，使得PT＝AP，連接AE'，AF'，ET，
由題可得，點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為E'，點(diǎn)F關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為F′，
∴B為EE'的中點(diǎn)，D為FF'的中點(diǎn)，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴AB為EE'的中垂線，AD為FF'的中垂線，
∴AE＝AE'，AF＝AF'，
∵點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，
∴PE＝PF，
又∵∠EPT＝∠FPA，AP＝TP，
∴△PET≌△PFA（SAS），
∴ET＝AF，∠PET＝∠PFA，
∴ET＝AF'，且∠AET＝∠AEP+∠PET＝∠AEP+∠AFP＝180°﹣∠EAF，
∵AE'＝AE，AB＝AB，∠ABE'＝∠ABE＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ABE'（HL），
∴∠BAE'＝∠BAE，
同理可得∠FAD＝∠F'AD，
∴∠E'AF'＝∠BAE'+∠DAF'+∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠BAD＝（∠BAD﹣∠EAF）+∠BAD＝180°﹣∠EAF，
∴∠AET＝∠E'AF'，
又∵AE'＝AE，AF'＝ET，
∴△E'AF'≌△AET（SAS），
∴E'F'＝AT＝2AP；
（3）解：如圖③中，作ET∥BC，使得ET＝MN＝100米，延長(zhǎng)ET交CD于點(diǎn)H，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接TF′交BC于點(diǎn)N，此時(shí)EM+MN+NF的值最小．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝800米，AD∥BC，
∵AE＝EB，
∴DH＝HC＝400米，EH＝AD＝800米，
∴CF＝CF′＝300米，ET＝MN＝100米，
∴TH＝700米，HF′＝700米，
∴TF′＝＝＝700＝987（米），
∴EM+MN+NF＝TN+ET+NF′＝ET+TF′＝1087米，
EM+MN+NF的最小值為1087米．

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