一、復(fù)習(xí)方法
1.以專(zhuān)題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專(zhuān)題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專(zhuān)題12 兩之間線(xiàn)段最短求最值（四大類(lèi)型含將軍飲馬）
（知識(shí)解讀）
【專(zhuān)題說(shuō)明】
“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一，也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基本事實(shí)，而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題，學(xué)生往往無(wú)從下手，其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)用。
【方法技巧】
模型一 “一線(xiàn)兩點(diǎn)”型(一動(dòng)＋兩定)
類(lèi)型一 異側(cè)線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
問(wèn)題： 兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l異側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB值最?。?br>【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，PA＋PB的最小值即為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．連接AB交直線(xiàn)l 于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

類(lèi)型二 同側(cè)線(xiàn)段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB值最?。?br>【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題，同類(lèi)型一即可解決．作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

類(lèi)型三 同側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．
【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊，|PA－PB|≤AB，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，即|PA－PB|的最大值為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．連接AB并延長(zhǎng)，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

類(lèi)型四 異側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l異側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．
【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)，同類(lèi)型三即可解決．

模型二 “一點(diǎn)兩線(xiàn)”型(兩動(dòng)＋一定)
問(wèn)題：點(diǎn)P是∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn)，在OA上找一點(diǎn)M，在OB上找一點(diǎn)N，使得△PMN周長(zhǎng)最小．
【解題思路】要使△PMN周長(zhǎng)最小，即PM＋PN＋MN值最?。鶕?jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，將三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到同一直線(xiàn)上即可．


模型三 “兩點(diǎn)兩線(xiàn)”型(兩動(dòng)＋兩定)
問(wèn)題：點(diǎn)P，Q是∠AOB的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn)，在OA上找點(diǎn)M，在OB上找點(diǎn)N，使得四邊形PQNM周長(zhǎng)最?。?br>【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小，PQ為定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需將線(xiàn)段PM，MN，NQ三條線(xiàn)段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線(xiàn)上，因此想到作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l同側(cè)試確定點(diǎn)P的位置，使AP+BP的值最?。?br>解題思路：
一找：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB′，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，P，B'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+BP取得最小值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【典例1-2】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上確定點(diǎn)P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解題思路：
一找：連接AB并延長(zhǎng)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【典例1-3】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l的兩側(cè)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP+BP的值最?。?br>解題思路：
一找：連接AB交直線(xiàn)l于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+BP取得最小值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【典例1-4】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l的兩側(cè)，試確定點(diǎn)P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解題思路：
一找：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)，交直線(xiàn)于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，B'，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【變式1-1】如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，∠ABC＝60°，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，則MB+MN的最小值為 ．
【變式1-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝1，P是CD邊上一點(diǎn)，則|PE﹣PO|的最大值為 ．
【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，AB上，且BF＝DE＝4．點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，則|PF﹣PE|的最大值為 ．
【變式1-4】結(jié)論：如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于，A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)M為直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，則MA+MC的最小值為 ．
【典例2】模型分析
問(wèn)題：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使△PMN的周長(zhǎng)最?。?br>解題思路：
一找：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，P“，連接P'P“，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；
二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，P″四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最?。?br>三計(jì)算．
注：當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn)，再將其特化為“一定兩動(dòng)“問(wèn)題
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，
（1）當(dāng)∠MAN＝∠C時(shí)，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝ °．
【變式2-2】如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，點(diǎn)P，M，N分別是BC，AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為 ．
【典例3】模型分析
問(wèn)題：點(diǎn)P，Q是∠AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最?。?br>解題思路：
一找：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；
二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，Q′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，四邊形PQNM的周長(zhǎng)最?。?br>三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【變式3-1】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，AE＝2DF＝2，點(diǎn)G，H分別在CD，BC邊上，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為 ．
【變式3-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為 ．
【典例4-1】基本模型
問(wèn)題：
如圖，點(diǎn)A，B為直線(xiàn)l同側(cè)兩定點(diǎn)，M，N為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，且MN的長(zhǎng)度為定值，試確定點(diǎn)M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解題思路：
一找：以AM，MN為鄰邊．構(gòu)造?AMNA′，作點(diǎn)A′關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A“，連接A“B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，再確定點(diǎn)M；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A“，N，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+MN+BN的值最?。?br>三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【典例4-2】模型演變
問(wèn)題：如圖，直線(xiàn)a∥b，定點(diǎn)A，B分別位于直線(xiàn)a的上方和直線(xiàn)b的下方，M，N分別為直線(xiàn)a，b上的動(dòng)點(diǎn)，且MN⊥a，試確定點(diǎn)M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解題思路：
一找：以AM，MN為鄰邊構(gòu)造?AMNA′，連接A'B；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A'，N，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+MN+BN的值最小．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【變式4-1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線(xiàn)段MN在對(duì)角線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則AM+CN的最小值為 ．
【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ABD沿射線(xiàn)DB方向平移得到△A'B'D'，連接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．
專(zhuān)題12 兩之間線(xiàn)段最短求最值（四大類(lèi)型含將軍飲馬）
（知識(shí)解讀）
【專(zhuān)題說(shuō)明】
“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一，也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基本事實(shí)，而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題，學(xué)生往往無(wú)從下手，其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)用。
【方法技巧】
模型一 “一線(xiàn)兩點(diǎn)”型(一動(dòng)＋兩定)
類(lèi)型一 異側(cè)線(xiàn)段和最小值問(wèn)題
問(wèn)題： 兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l異側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB值最?。?br>【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，PA＋PB的最小值即為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．連接AB交直線(xiàn)l 于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

類(lèi)型二 同側(cè)線(xiàn)段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB值最?。?br>【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題，同類(lèi)型一即可解決．作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

類(lèi)型三 同側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．
【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊，|PA－PB|≤AB，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，即|PA－PB|的最大值為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．連接AB并延長(zhǎng)，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

類(lèi)型四 異側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題：兩定點(diǎn)A，B位于直線(xiàn)l異側(cè)，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得|PA－PB|的值最大．
【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)，同類(lèi)型三即可解決．

模型二 “一點(diǎn)兩線(xiàn)”型(兩動(dòng)＋一定)
問(wèn)題：點(diǎn)P是∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn)，在OA上找一點(diǎn)M，在OB上找一點(diǎn)N，使得△PMN周長(zhǎng)最?。?br>【解題思路】要使△PMN周長(zhǎng)最小，即PM＋PN＋MN值最?。鶕?jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，將三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到同一直線(xiàn)上即可．


模型三 “兩點(diǎn)兩線(xiàn)”型(兩動(dòng)＋兩定)
問(wèn)題：點(diǎn)P，Q是∠AOB的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn)，在OA上找點(diǎn)M，在OB上找點(diǎn)N，使得四邊形PQNM周長(zhǎng)最?。?br>【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小，PQ為定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需將線(xiàn)段PM，MN，NQ三條線(xiàn)段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線(xiàn)上，因此想到作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l同側(cè)試確定點(diǎn)P的位置，使AP+BP的值最?。?br>解題思路：
一找：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB′，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，P，B'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+BP取得最小值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：如圖，∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此時(shí)PA+PB的值最?。?br>【典例1-2】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l同側(cè)，在直線(xiàn)l上確定點(diǎn)P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解題思路：
一找：連接AB并延長(zhǎng)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】證明：如圖，P'為l上異于P的一點(diǎn)，連接P'A、P'B，
在△ABP'中，由三角形的三邊關(guān)系得：|P'A﹣P'B|＜AB，
∵PA﹣PB＝AB，
∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，
∴當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA﹣PB|的值最大．
【典例1-3】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l的兩側(cè)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP+BP的值最小．
解題思路：
一找：連接AB交直線(xiàn)l于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+BP取得最小值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：圖形如圖所示：
理由：在直線(xiàn)l上任意取一點(diǎn)P′，連接P′A，P′B．
∵P′A+P′B≥AB，AB＝PA+PB，
∴P′A+P′B≥PA+PB，
∴AP+PB的值最?。?br>【典例1-4】模型演變
問(wèn)題：如圖，定點(diǎn)A，B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l的兩側(cè)，試確定點(diǎn)P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解題思路：
一找：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)，交直線(xiàn)于點(diǎn)P；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A，B'，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值．
三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：如圖，在直線(xiàn)L上任意取一點(diǎn)P′，連接P′B′，
∵|P′A﹣P′B|≤AB′，
∴當(dāng)A，B′，P′共線(xiàn)時(shí)，|P′A﹣P′B|的值最大，最大值為AB′的長(zhǎng)．
【變式1-1】如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，∠ABC＝60°，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，則MB+MN的最小值為 ．
【答案】2
【解答】解：如圖，連接DN，DM，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，
∴B，D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，
∴MB＝MD，
∴MB+MN＝MD+MN≥DN，
∵AB∥CD，
∴∠DCH＝60°，
∵DH⊥CH，
∴CH＝CD?cs60°＝2，DH＝2，
∵BN＝CN＝2，CD＝4，
∴NH＝CN+CH＝4，
∴DN＝＝＝2，
∴MB+MN≥2，
∴MB+MN的最小值為2．
故答案為：2．
【變式1-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝1，P是CD邊上一點(diǎn)，則|PE﹣PO|的最大值為 ．
【答案】
【解答】解：如圖，連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠OHB＝90°，
∴OH∥AD，
∵OB＝OD，
∴AH＝HB＝2，
∴OH＝AD＝3，
∵AE＝1，
∴EH＝AH﹣AE＝1．
∴OE＝＝＝，
∴|PE﹣OP|≤EO＝，
∴|PE﹣OP|的最大值為．
故答案為：．
【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，AB上，且BF＝DE＝4．點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，則|PF﹣PE|的最大值為 ．
【答案】2
【解答】解：在OB上取一點(diǎn)E′，使得OE′＝OE，中點(diǎn)E'，作射線(xiàn)FE'交AC于點(diǎn)P'．
則PE＝PE'，
∴|PF﹣PE|＝PF﹣PE'≤FE'，
當(dāng)P與P'重合，P'、E'、F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，|PF﹣PE'|有最大值，即為FE'的長(zhǎng)，
在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD為等邊三角形．
∴AB＝BD＝AD＝12．
∴OD＝OB＝6．
∵BF＝DE＝4，
∴OE＝OE′＝2，
∴BE′＝OB﹣OE′＝4，
∴BF＝BE′
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F為等邊三角形，
∴E'F＝FB＝2．
故|PF﹣PE|的最大值為2．
故答案為：2．
【變式1-4】結(jié)論：如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于，A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)M為直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，則MA+MC的最小值為 ．
【答案】4．
【解答】解：連接BC交直線(xiàn)l于M′點(diǎn)，連接M′A，如圖，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2﹣bx﹣4＝﹣4，則C（0，﹣4），
∵拋物線(xiàn)y＝ax2﹣bx﹣4與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴A、B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
∴M′B＝M′A，
∴M′A+M′C＝M′B+M′C＝BC，
∴此時(shí)M′A+M′C的值最小，
∵BC＝＝4，
∴M′A+M′C的最小值為4，
當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M′點(diǎn)時(shí)，MA+MC有最小值，最小值為4．
故答案為：4．
【典例2】模型分析
問(wèn)題：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使△PMN的周長(zhǎng)最?。?br>解題思路：
一找：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，P“，連接P'P“，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；
二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，P″四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最?。?br>三計(jì)算．
注：當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn)，再將其特化為“一定兩動(dòng)“問(wèn)題
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P″、P′，連接P′P″，交OA于M，交OB于N，
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得MP＝P″M，PN＝P′N(xiāo)，
∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝P′P″．
【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，
（1）當(dāng)∠MAN＝∠C時(shí)，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝ °．
【答案】121，118
【解答】解：（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣121°＝59°，
∴∠MAN＝∠C＝59°，
∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣59°＝121°，
故答案為121．
（2）如下圖，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，
連接A′A″，交BC于M，交CD于N，
則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．
作DA延長(zhǎng)線(xiàn)AH，
∵∠DAB＝121°，
∴∠HAA′＝59°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．
故答案為：118．
【變式2-2】如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，點(diǎn)P，M，N分別是BC，AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】3
【解答】解：如圖，連接AP，作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，P″，連接AP′，AP″，P′P″，P′P″分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，最小值＝P′P″的長(zhǎng)．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥P′P″于點(diǎn)H．
∵AP＝AP′＝AP″，∠PAB＝∠P′AB，∠PAC＝∠P″AC，
∴∠P′AP″＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝120°，
∴∠P′＝∠P″＝30°，
∵AH⊥P′P″，
∴P′H＝P″H＝PA′?cs30°＝PA，
∴P′P″＝PA，
∴PA最小時(shí)，P′P″的值最小，
∵當(dāng)PA⊥BC時(shí)，PA的值最小，此時(shí)PA＝，
∴P′P″的最小值為3，
∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為3，
故答案為：3．
【典例3】模型分析
問(wèn)題：點(diǎn)P，Q是∠AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M，N的位置，使四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最?。?br>解題思路：
一找：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接P′Q′，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；
二證：驗(yàn)證當(dāng)P′，M，N，Q′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，四邊形PQNM的周長(zhǎng)最?。?br>三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：如圖，分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，交OA于M，交OB于N，
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得MP＝P′M，QN＝Q′N(xiāo)，
∴四邊形PQNM周長(zhǎng)的最小值＝P′Q′．
【變式3-1】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，AE＝2DF＝2，點(diǎn)G，H分別在CD，BC邊上，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】10+2．
【解答】解：作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，，連接E′F'交BC、CD于點(diǎn)H、G，則EH＝E'H，GF＝GF'，此時(shí)四邊形EFGH周長(zhǎng)取最小值，
∴EFGH周長(zhǎng)＝EF+EH+HG+FG＝EF+E'H+HG+F'G＝EF+E'F'
∵AE＝2DF＝2，
∴DF＝1，AF＝5﹣1＝4，DF'＝1，BE＝5﹣2＝3，
∴AF'＝5+1＝6，AE'＝5+3＝8，
∴E'F'＝10，
∴EF＝＝＝2．
∴EFGH周長(zhǎng)最小值為：10+2．
【變式3-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】3+3
【解答】解：如圖所示，作出點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作出點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接A′E′，分別交CD、BC于點(diǎn)Q、P，
∴AQ＝A′Q，EP＝E′P，
∴四邊形AEPQ的周長(zhǎng)＝A′Q+PQ+E′P+AE＝A′E′+AE，此時(shí)周長(zhǎng)最小，
∵AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝3，AE＝BE＝3，
∵AD＝AD′＝3，AE＝BE＝BE′＝3，
∵AA′＝6，AE′＝9，
∴A′E′＝＝＝3，
∴四邊形AEPQ的周長(zhǎng)＝3+3，
故答案為：3+3．
【典例4-1】基本模型
問(wèn)題：
如圖，點(diǎn)A，B為直線(xiàn)l同側(cè)兩定點(diǎn)，M，N為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，且MN的長(zhǎng)度為定值，試確定點(diǎn)M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最?。?br>解題思路：
一找：以AM，MN為鄰邊．構(gòu)造?AMNA′，作點(diǎn)A′關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A“，連接A“B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，再確定點(diǎn)M；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A“，N，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+MN+BN的值最?。?br>三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：如圖，
∵四邊形AMNA′為平行四邊形，
∴AA′＝MN，AM＝A′N(xiāo)，
∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A″關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
∴NA′＝NA″，
∴AM+BN＝A′N(xiāo)+NB＝BA′，
∴此時(shí)AM+BN的值最小，
∴AM+MN+BN的值最?。?br>【典例4-2】模型演變
問(wèn)題：如圖，直線(xiàn)a∥b，定點(diǎn)A，B分別位于直線(xiàn)a的上方和直線(xiàn)b的下方，M，N分別為直線(xiàn)a，b上的動(dòng)點(diǎn)，且MN⊥a，試確定點(diǎn)M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解題思路：
一找：以AM，MN為鄰邊構(gòu)造?AMNA′，連接A'B；
二證：驗(yàn)證當(dāng)A'，N，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+MN+BN的值最?。?br>三計(jì)算．
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程．
【解答】解：圖形如圖所示：
理由：在直線(xiàn)a上任意取一點(diǎn)M′，作M′N(xiāo)′⊥b于點(diǎn)N′，連接AM′BN′，A′N(xiāo)′．
∵四邊形AA′N(xiāo)M是平行四邊形，
∴AA′＝MN，
∵M(jìn)N＝M′N(xiāo)′，
∴AA′＝M′N(xiāo)′，AA′∥M′N(xiāo)′，
∴四邊形AA′N(xiāo)′M′是平行四邊形，
∴AM′＝A′N(xiāo)′，
∴AM′+M′N(xiāo)′+BN′＝A′N(xiāo)′+N′N(xiāo)+M′N(xiāo)′≥A′B+M′N(xiāo)′＝AM+MN+BN，
∴AM+MN+BN的值最?。?br>【變式4-1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線(xiàn)段MN在對(duì)角線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則AM+CN的最小值為 ．
【答案】3
【解答】解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，
由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N(xiāo)為平行四邊形，
則A′N(xiāo)＝CM＝AM，
故AM+CN＝AM+AN＝AA′為最小，
則A′A＝＝3，
則AM+CN的最小值為3，
故答案為：3．
【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ABD沿射線(xiàn)DB方向平移得到△A'B'D'，連接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．
【答案】
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，
∴BD＝，
∵將△ABD沿射線(xiàn)DB平移得到△A'B'D'，
∴B′D′＝BD＝2，
作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接CG交BD于E，連接D′G，
則CD′＝GD′CE⊥BD，CG＝2CE，
∵CE＝
∴CG＝，
以B′D′，GD′為鄰邊作平行四邊形B′D′GH，
則B′H＝D′G＝CD′，
當(dāng)C，B′，H在同一條直線(xiàn)上時(shí)，CB′+B′H最短，
則B'C+D'C的最小值＝CH，
∵四邊形B′D′GH是平行四邊形，
∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，
∴HG⊥CG，
∴CH＝
∴B'C+D'C的最小值．為：

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