備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》專題11 利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”)（知識解讀）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題11 利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”)
（知識解讀）
【專題說明】
初中幾何的最值問題，主要是求一條或兩條線段長度的最大（最小）值，三角形或四邊形周長的最小值，對一些簡單問題可以通過諸如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等定理解決
【方法技巧】
類型一：一動一定型
如圖，已知直線 l 外一定點(diǎn) A 和直線 l 上一動點(diǎn) B，求 A、B 之間距離的最小值。通常過點(diǎn) A 作直線 l 的垂線 AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．
類型二：兩動一定型
如圖，直線AB，AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P，N的位置，使MP+PN的值最?。?br>解題思路：
一找：
第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M；
第二步：過點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；
二證：證明MP+PN的最小值為M′N．
類型三：一定兩動型（胡不歸問題）
“胡不歸” 問題即點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動時(shí)的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值問題 .
問題：如圖 ①，已知 sin∠MBN＝k，點(diǎn) P 為 ∠MBN 其中一邊 BM 上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn) A 在射線 BM、BN 的同側(cè)，連接 AP，則當(dāng) “ PA＋k·PB ” 的值最小時(shí)，點(diǎn) P 的位置如何確定？
解題思路：
過點(diǎn) P 作 PQ⊥BN 于點(diǎn) Q，則 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴ 可將求 “ PA＋k·PB ” 的最小值轉(zhuǎn)化為求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如圖 ② )，
∴ 當(dāng) A、Q、P 三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PQ 的值最小 ( 如圖 ③ )，此時(shí) AQ⊥BN .
【典例分析】
【典例1】模型分析
問題：如圖，點(diǎn)A為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP的值最小．
解題思路：
一找：過點(diǎn)A作直線l的垂線交直線l于點(diǎn)P；
二證：證明AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．
請寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程．
【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，連接BP．
（1）線段BP的最小值為；
（2）若以AP，BP為鄰邊作?APBQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為．
【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，經(jīng)過點(diǎn)B且與邊AC相切的動圓與AB，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為．
【變式1-3】如圖，Rt△ABC斜邊AC的長為4，⊙C的半徑為1，Rt△ABC與⊙C重合的面積為，P為AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．
【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．
【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AC，BC上，則EM+MN的最小值為．
【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為．
【變式2-4】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為直線BC上一動點(diǎn)，N為x軸上一動點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．
【典例3】模型分析
問題：如圖，點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．
解題思路：
一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；
二構(gòu)：在直線l下方構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；
①在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；
②過點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，構(gòu)造Rt△APE；
三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；
四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長．
請根據(jù)“解題思路”寫出求kAP+BP最小值的完整過程．
【變式3-1】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，且AE＜ED，F(xiàn)為AC上的動點(diǎn)，則EF+FC的最小值為．
【變式3-2】如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為對角線BD上的動點(diǎn)，則EF+BF的最小值為．
【變式3-3】如圖，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)，則2AD+CD的最小值為．
專題11 利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”)
（知識解讀）
【專題說明】
初中幾何的最值問題，主要是求一條或兩條線段長度的最大（最?。┲担切位蛩倪呅沃荛L的最小值，對一些簡單問題可以通過諸如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等定理解決
【方法技巧】
類型一：一動一定型
如圖，已知直線 l 外一定點(diǎn) A 和直線 l 上一動點(diǎn) B，求 A、B 之間距離的最小值。通常過點(diǎn) A 作直線 l 的垂線 AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．
類型二：兩動一定型
如圖，直線AB，AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P，N的位置，使MP+PN的值最?。?br>解題思路：
一找：
第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M；
第二步：過點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；
二證：證明MP+PN的最小值為M′N．
類型三：一定兩動型（胡不歸問題）
“胡不歸” 問題即點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動時(shí)的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值問題 .
問題：如圖 ①，已知 sin∠MBN＝k，點(diǎn) P 為 ∠MBN 其中一邊 BM 上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn) A 在射線 BM、BN 的同側(cè)，連接 AP，則當(dāng) “ PA＋k·PB ” 的值最小時(shí)，點(diǎn) P 的位置如何確定？
解題思路：
過點(diǎn) P 作 PQ⊥BN 于點(diǎn) Q，則 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴ 可將求 “ PA＋k·PB ” 的最小值轉(zhuǎn)化為求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如圖 ② )，
∴ 當(dāng) A、Q、P 三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PQ 的值最小 ( 如圖 ③ )，此時(shí) AQ⊥BN .
【典例分析】
【典例1】模型分析
問題：如圖，點(diǎn)A為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP的值最?。?br>解題思路：
一找：過點(diǎn)A作直線l的垂線交直線l于點(diǎn)P；
二證：證明AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．
請寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程．
【解答】解：如圖所示：
∵AP⊥l于點(diǎn)P，
∴AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．
【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，連接BP．
（1）線段BP的最小值為；
（2）若以AP，BP為鄰邊作?APBQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為．
【答案】（1）2 （2）
【解答】（1）當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，
∵AC＝8，∠BAC＝30°，
∴AB＝AC?cs30°＝4，
∴BP最小＝AB?sin30°＝2；
故答案為：2；
（2）根據(jù)題意，作圖如下：
∵四邊形APBQ是平行四邊形，
∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，
∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，
∴OP＝AO?sin30°＝，
∴PQ的最小值為．
故答案為：．
【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，經(jīng)過點(diǎn)B且與邊AC相切的動圓與AB，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為．
【答案】
【解答】解：取PQ的中點(diǎn)O，過O點(diǎn)作OD⊥AC于D，過B點(diǎn)作BH⊥AC于H，連接OB，如圖，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵BH?AC＝AB?CB，
∴BH＝＝，
∵∠PBQ＝90°，
∴PQ為⊙O的直徑，
∵⊙O與AC相切，OD⊥AC，
∴OD為⊙O的半徑，
∵OB+OD≥BH（當(dāng)且僅當(dāng)D點(diǎn)與重合時(shí)取等號），
∴OB+OD的最小值為BH的長，
即⊙O的直徑的最小值為，
∴線段PQ的最小值為．
故答案為：．
【變式1-3】如圖，Rt△ABC斜邊AC的長為4，⊙C的半徑為1，Rt△ABC與⊙C重合的面積為，P為AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．
【答案】
【解答】解：設(shè)∠C＝n°，
∵Rt△ABC與⊙C重合的面積為，
∴＝，
解得n＝60，
即∠C＝60°，
∵Rt△ABC斜邊AC的長為4，∠C＝60°，
∴BC＝AC＝2，
連接CQ，CP，如圖，
∵PQ為⊙C的切線，
∴CQ⊥PQ，
∴∠CQP＝90°，
∴PQ＝＝，
∴當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，
∵當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最短，此時(shí)CP＝CB＝2，
∴PQ的最小值為＝．
故答案為：．
【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．
【答案】4
【解答】解：如圖，∵CA＝CB，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD是∠ACB的平分線，
∴點(diǎn)N關(guān)于CD的對稱N′在AC上，
過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．
∵AC＝6，S△ABC＝12，
∴×6?BH＝12，
解得BH＝4，
∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，
∴BM+MN的最小值為4．
故答案為：4．
【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AC，BC上，則EM+MN的最小值為．
【答案】
【解答】解：如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴CD＝＝＝5，
在CD上取一點(diǎn)N′，使得CN＝CN′，連接MN′，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．
∵菱形ABCD的面積＝?AC?BD＝CD?AH，
∴AH＝＝＝，
∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，
∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN＝MN′，
∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，
∴ME+MN的最小值為．
故答案為：．
【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為．
【答案】
【解答】解：如圖，在AD上取一點(diǎn)P，使得PD＝PB，連接BP，PC，EC，過點(diǎn)C作CJ⊥BP于點(diǎn)J，過點(diǎn)E作EK⊥BP于點(diǎn)K．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，
設(shè)PD＝PB＝x，則x2＝（6﹣x）2+42，
∴x＝，
∵S△PBC＝?PB?CJ＝×6×4，
∴CJ＝，
∵AD∥CB，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵PD＝PB，
∴∠PDB＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠PBC，
∵EK⊥BC，EK⊥BP，
∴EF＝EK，
∵EG⊥CD，
∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，
∴四邊形EFCG是矩形，
∴FG＝EC，
∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，
∴EF+FH的最小值為．
故答案為：．
【變式2-4】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為直線BC上一動點(diǎn)，N為x軸上一動點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．
【答案】4
【解答】解：將x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為2，
令0＝﹣x2+x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），
∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°，
∴點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'坐標(biāo)為（1，4），
∵BC是AA'的垂直平分線，
∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，
∴當(dāng)A'N⊥x軸時(shí)，AM+MN的最小值為A'N的長度，
故答案為：4．
【典例3】模型分析
問題：如圖，點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最?。?br>解題思路：
一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；
二構(gòu)：在直線l下方構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；
①在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；
②過點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，構(gòu)造Rt△APE；
三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；
四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長．
請根據(jù)“解題思路”寫出求kAP+BP最小值的完整過程．
【解答】解：如圖，在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，過點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的位置，理由如下：
∵BE⊥AN，
∴∠AEP＝90°，
∴sin∠NAP′＝＝k，
∴PE＝kAP，
∵BE⊥AN，
∴點(diǎn)B到AN的最短線段為BE，
∵BE＝PE+BP，
即BE＝kAP+BP，
∴此時(shí)，kAP+BP（0＜k＜1）的值最?。?br>【變式3-1】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，且AE＜ED，F(xiàn)為AC上的動點(diǎn)，則EF+FC的最小值為．
【答案】3
【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB?sin60°＝3，∠ACB＝60°，
∴FH＝CF?sin60°＝CF，
∴EF+FC＝EF+FH≥EH，
當(dāng)E、F、H三點(diǎn)依次在同一直線上，且EH⊥BC時(shí)，
EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，
故答案為：3．
【變式3-2】如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為對角線BD上的動點(diǎn)，則EF+BF的最小值為．
【答案】
【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，
∵四邊形ABCD是正方形，AB＝10
∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，
∴OA＝OC＝5，
∵E是OA的中點(diǎn)，
∴AE＝OE＝，
∴CE＝，
∵FH＝BF?sin45°＝BF，
∴EF+BF＝EF+FH≥EH，
當(dāng)E、F、H三點(diǎn)依次在同一直線上，且EH⊥BC時(shí)，
EF+BF＝EH＝CE?sin45°＝的值最小，
故答案為：．
【變式3-3】如圖，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)，則2AD+CD的最小值為．
【答案】10
【解答】解：延長AB到點(diǎn)E，使得BE＝AB，連接CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE，連接AF，
∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，
∴△ABC≌△EBC（SAS），
∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，
∴△AEC為等邊三角形，DF＝CD，
∴AD+CD＝AD+DF≥AF，
當(dāng)A、D、F三點(diǎn)依次在同一直線上，且AF⊥BC時(shí)，
AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC?sin60°＝5的值最小，
∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值為5＝10．
故答案為：10．

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