一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專題09 倍長(zhǎng)中線模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專題說明】
中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．倍長(zhǎng)中線法的過程：延長(zhǎng)某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角）倍長(zhǎng)中線最重要的一點(diǎn)，延長(zhǎng)中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。
【方法技巧】
類型一：直接倍長(zhǎng)中線
△ABC中AD是BC邊中線


方式1： 延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE

類型二：間接倍長(zhǎng)中線
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E連接BE 。
延長(zhǎng)MD到N， 使DN=MD，連接CN

【典例分析】
【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中線AD＝c，求c的取值范圍．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．
【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF．
【變式1】如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AD⊥AC，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．
【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，則CD的長(zhǎng)為 ．
【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝2，CF＝，則EF的長(zhǎng)為 ．
【變式4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF＝2FC，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)G，H，求GH的長(zhǎng)．
【變式5】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF，DE．
（1）如圖①，若DF平分∠ADE，求證：AD+BE＝DE；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，當(dāng)ED平分∠FDC時(shí)，求EC的長(zhǎng)．
【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線AC⊥BD，垂足為G，過點(diǎn)G作AD的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)EG交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．
下而是部分證明過程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任務(wù)一：請(qǐng)將上述過程補(bǔ)充完整；
任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DC，把邊BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EC．連接DE，取AB的中點(diǎn)M，連接MC并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)N．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的長(zhǎng)．
專題09 倍長(zhǎng)中線模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專題說明】
中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．倍長(zhǎng)中線法的過程：延長(zhǎng)某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角）倍長(zhǎng)中線最重要的一點(diǎn)，延長(zhǎng)中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。
【方法技巧】
類型一：直接倍長(zhǎng)中線
△ABC中AD是BC邊中線


方式1： 延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE

類型二：間接倍長(zhǎng)中線
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E連接BE 。
延長(zhǎng)MD到N， 使DN=MD，連接CN

【典例分析】
【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中線AD＝c，求c的取值范圍．
【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，
∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝b，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即a﹣b＜2AD＜a+b，
∴＜c＜．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．
【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG．
∵AD是BC邊上的中線（已知），
∴DC＝DB，
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD＝∠G，BG＝AC
又∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠BED＝∠G，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠CAD，
即：∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF．
【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF．
【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)ED使得DM＝DE，連接FM，CM．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴BE＝CM，
∵DE＝DM，DF⊥EM，
∴FE＝FM，
∵CM+CF＞FM，
∴BE+CF＞EF．
【變式1】如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AD⊥AC，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．
【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝2，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．
故答案為：8+2．
【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，則CD的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：延長(zhǎng)DE至H，使EH＝DE，連接AH，
∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在△BED和△AEH中，
，
∴△BED≌△AEH（SAS），
∴AH＝BD，∠D＝∠H，
∵AF＝BD，
∴AH＝AF，
∴∠AFH＝∠H，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF＝2，
故答案為：2．
【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝2，CF＝，則EF的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)FD到G使GD＝DF，連接GE，BG，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，
∴BG∥CA，
∴∠EBG＝∠A＝90°，
∵BE＝2，
∴EG＝＝＝，
∵DF⊥DE，DF＝DG，
∴EF＝EG＝，
故答案為：．
【變式4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF＝2FC，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)G，H，求GH的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，交ED于O，
則FM＝AB＝8，
∵BF＝2FC，BC＝9，
∴BF＝AM＝6，F(xiàn)C＝MD＝3，
∴AF＝＝＝10，
∵OM∥AE，
∴，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴OM＝，
∴OF＝FM﹣OM＝8﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AGE∽△FGO，
∴＝，
∴AG＝＝，
∴GH=10-4-=
【變式5】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF，DE．
（1）如圖①，若DF平分∠ADE，求證：AD+BE＝DE；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，當(dāng)ED平分∠FDC時(shí)，求EC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：延長(zhǎng)DF，CB交于G，如圖：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥CB，
∴∠ADG＝∠G，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADG＝∠EDG，
∴∠G＝∠EDG，
∴DE＝GE＝GB+BE，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（AAS），
∴AD＝GB，
∴DE＝AD+BE；
（2）解：延長(zhǎng)AB，DE交于H，如圖：
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，
∴DF＝＝＝2，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠H，
∵ED平分∠FDC，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠FDE＝∠H，
∴FH＝DF＝2，
∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，
∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE∽△HBE，
∴＝，即＝，
解得CE＝2﹣2．
∴EC的長(zhǎng)為2﹣2．
【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線AC⊥BD，垂足為G，過點(diǎn)G作AD的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)EG交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．
下而是部分證明過程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任務(wù)一：請(qǐng)將上述過程補(bǔ)充完整；
任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DC，把邊BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EC．連接DE，取AB的中點(diǎn)M，連接MC并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)N．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的長(zhǎng)．
【解答】解：任務(wù)一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CGF，
∴CF＝FD，
同理BF＝FG，
∴BF＝CF，
∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)；
任務(wù)二：（1）證明：延長(zhǎng)CM到F使MF＝CM，
∵AM＝MB，
∴ACBF是平行四邊形，
∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝180°，
∠DCE+∠ACB＝180°，
∴∠CAF＝∠DCE，
∵DC＝AC，
∴△DCE≌△CAF（SAS），
∴∠D＝∠ACF，
∵∠ACF+∠DCN＝90°，
∴∠D+∠DCN＝90°，
∴∠DNC＝90°，
∴MN⊥DE；
（2）解：作CG⊥AB于G，
∵∠CAB＝30，AC＝4，
∴CG＝2，AG＝2，
∵AM＝AB＝3，
∴GM＝，
∵CM2＝CG2+GM2，
∴CM2＝22+（）2，
∴CM＝，
∵△DCE≌△CAF，
∴DE＝CF＝2．

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