1．如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
2．如圖，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于點(diǎn)F，有下列四個(gè)結(jié)論：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結(jié)論有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．56°B．60°C．62°D．64°
4．已知菱形ABCD，E、F是動(dòng)點(diǎn)，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（ ）
①△BEC≌△AFC；
②△ECF為等邊三角形；
③∠AGE＝∠AFC；
④若AF＝2，則＝．
A．1B．2C．3D．4
5．如圖，△ABC，△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm，3cm，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，下列結(jié)論：①AD＝BE；②△CFG為等邊三角形；③CM＝cm；④CM平分∠BMD．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．如圖1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）直接寫出△CDE的形狀是 ；
（2）如圖2，若點(diǎn)M為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，∠MCN＝90°，CM＝CN，連接ND，請(qǐng)判斷ND與ME的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接AN，請(qǐng)求出AN的最小值．
7．【特例感知】
（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖3，若AB＝8，點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC＝3，連接BC．
①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是 ；
②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當(dāng)∠CBD＝∠DAB＝30°時(shí)，直接寫出AD的值．
8．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，得到線段AE，連接CE，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，用等式表示α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上時(shí)，補(bǔ)全圖形，用等式表示α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
9．如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE．則CE＝BD．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．如圖②，連接CE，BD．
（1）如圖②，請(qǐng)直接寫出CE與BD的數(shù)量關(guān)系．
（2）將△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請(qǐng)判斷CE與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，α＝ 135° ．（直接寫出答案即可）
10．如圖，在正方形ABCD中，若AD＝5．在邊AB上取點(diǎn)E，使AE＝1，又以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑作⊙D，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接EF交DC于點(diǎn)G．
（1）求證：∠ADE＝∠CDF；
（2）請(qǐng)求出EF的長；
（3）請(qǐng)求出GC的長．
11．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，點(diǎn)F為EC延長線上一點(diǎn)，∠FAC＝∠AEF．連接ED，交AB于點(diǎn)G．
（1）證明：AF為⊙O的切線；
（2）證明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半徑為2，G為OB的中點(diǎn)，AE的長．
12．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接CE．
（1）求證：CD+CE＝CA．
（2）如圖2，連接DE，交AC于點(diǎn)F．
①求證：CD?CE＝CF?CA；
②當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長．
專題07 手拉手模型綜合應(yīng)用（能力提升）
1．如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
【答案】C
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度數(shù)是120°，
故選：C．
2．如圖，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于點(diǎn)F，有下列四個(gè)結(jié)論：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結(jié)論有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，所以①正確；
∴∠ADC＝∠ABE，
而AB與AE不確定相等，
∴∠ABE與∠AEB不確定相等，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，
∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∴∠BDC與∠BEC不確定相等，所以②錯(cuò)誤；
∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，
而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴DC⊥BE，所以③正確；
過A點(diǎn)作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如圖，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，所以④正確．
故選：B．
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．56°B．60°C．62°D．64°
【答案】A
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴∠BDC＝∠BAC＝56°，
故選：A．
4．已知菱形ABCD，E、F是動(dòng)點(diǎn)，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（ ）
①△BEC≌△AFC；
②△ECF為等邊三角形；
③∠AGE＝∠AFC；
④若AF＝2，則＝．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：過點(diǎn)E作EM∥BC，交AC于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝BAD＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC；
故①正確；
∵△BEC≌△AFC；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等邊三角形，
故②正確；
∵△ECF是等邊三角形，
∴∠EFC＝60°，
∵∠AGE是△AGF的一個(gè)外角，
∴∠AGE＝∠AFG+∠DAC＝60°+∠AFG，
∵∠AFC＝∠AFG+∠CFE＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正確；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴AE＝EM＝3，
∵∠DAC＝∠AME＝60°，∠AGF＝∠EGM，
∴△AGF∽△MGE，
∴＝＝，
故④正確；
所以，上列結(jié)論正確的有4個(gè)，
故選：D．
5．如圖，△ABC，△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm，3cm，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，下列結(jié)論：①AD＝BE；②△CFG為等邊三角形；③CM＝cm；④CM平分∠BMD．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解答】解：∵△ABC，△ECD均為等邊三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，故①正確；
∴∠CAG＝∠CBF，
在△CBF和△CAG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴FC＝GC，
∵∠FCG＝60°，
∴△CFG為等邊三角形，故②正確；
∵∠EMD＝∠MBD+∠MDB＝∠MAC+∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，故④正確；
過點(diǎn)E作EP⊥BD，則CP＝＝，
∴PE＝CP＝，
∴BE＝＝7，
∴AD＝BE＝7，
∵∠DMC＝∠ABD，∠MDC＝∠BDA，
∴△DMC∽△DBA
∴，
∴，
∴CM＝．故③錯(cuò)誤．
故選：C．
6．如圖1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）直接寫出△CDE的形狀是 ；
（2）如圖2，若點(diǎn)M為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，∠MCN＝90°，CM＝CN，連接ND，請(qǐng)判斷ND與ME的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接AN，請(qǐng)求出AN的最小值．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)．
∴CD＝AC，CE＝，
∵AC＝BC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（2）ND⊥ME，理由如下：
∵∠DCE＝∠MCN，
∴∠MCE＝∠NCD，
∵CD＝CE，CM＝CN，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴∠CEM＝∠CDN，
∴∠NDM＝∠CDE+∠DEC＝90°，
∴DN⊥ME；
（3）連接BM，作BH⊥DE于H，
由（2）同理得，△ACN≌△BCM（SAS），
∴AN＝BM，
∴BM的最小值為BH，
∵BE＝BC＝2，
∴BH＝，
∴AN的最小值為．
7．【特例感知】
（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖3，若AB＝8，點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC＝3，連接BC．
①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是 ；
②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當(dāng)∠CBD＝∠DAB＝30°時(shí)，直接寫出AD的值．
【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：
如圖1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
故答案為：AD＝BC；
（2）AD＝BC仍然成立.
證明：如圖2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，
即∠BOC＝∠AOD，
在△AOD和△BOC中，
，°
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（3）①過點(diǎn)A作AT⊥AB，使AT＝AB，連接BT，AD，DT，BD，
∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，
∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，
∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，
∴△ABC∽△TBD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝3，
∵AT＝AB＝8，DT＝3，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，3為半徑的圓，
∴當(dāng)D在AT的延長線上時(shí)，AD的值最大，最大值為8+3，
故答案為：8+3；
②如圖4，在AB上方作∠ABT＝30°，過點(diǎn)A作AT⊥BT于點(diǎn)T，連接AD、BD、DT，過點(diǎn)T作TH⊥AD于點(diǎn)H，
∵＝＝cs30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，
∴△BAC∽△BTD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝，
在Rt△ABT中，AT＝AB?sin∠ABT＝8sin30°＝4，
∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，
∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，
∵TH⊥AD，
∴TH＝AT?sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT?cs∠TAH＝4cs30°＝2，
在Rt△DTH中，DH＝＝＝，
∴AD＝AH+DH＝2+；
如圖5，在AB上方作∠ABE＝30°，過點(diǎn)A作AE⊥BE于點(diǎn)E，連接DE，
則＝＝cs30°＝，
∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝＝，
∴DE＝AC＝×3＝，
∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB?sin30°＝8×＝4，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AD＝＝＝；
綜上所述，AD的值為2+或．
8．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，得到線段AE，連接CE，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，用等式表示α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上時(shí)，補(bǔ)全圖形，用等式表示α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】解：（1）α+β＝180°．
證明：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β．
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上時(shí)，α＝β．
其理由如下：
類似（1）可證△DAB≌△ECA，
∴∠DBA＝∠ECA，
又由三角形外角性質(zhì)有∠DBA＝α+∠DCA，
而∠ACE＝β+∠DCA，
∴α＝β．
9．如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE．則CE＝BD．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．如圖②，連接CE，BD．
（1）如圖②，請(qǐng)直接寫出CE與BD的數(shù)量關(guān)系．
（2）將△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請(qǐng)判斷CE與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，α＝ 135° ．（直接寫出答案即可）
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE與△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）CE＝BD，CE⊥BD，
理由如下：設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為F，
∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE與△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，
∴∠CAB＝∠CFB＝90°，
∴CE＝BD，CE⊥BD；
（3）在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高最大時(shí)，△BCD的面積最大，
∴當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上時(shí)，△BCD的面積最大，如圖所示，
∵AB＝AC，∠CAB＝90°，DG⊥BC于G，
∴∠GAB＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
即當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α＝135°，
故答案為：135°．
10．如圖，在正方形ABCD中，若AD＝5．在邊AB上取點(diǎn)E，使AE＝1，又以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑作⊙D，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接EF交DC于點(diǎn)G．
（1）求證：∠ADE＝∠CDF；
（2）請(qǐng)求出EF的長；
（3）請(qǐng)求出GC的長．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
在Rt△DAE和Rt△DGF中，，
∴Rt△DAE≌Rt△DGF（HL），
∴∠ADE＝∠CDF；
（2）在Rt△ADE中，AE＝1，AD＝5，
∴DE＝，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC，
即∠ADC＝∠EDF＝90°，
在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理得EF＝，
∴EF的長為；
（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴△FGC∽△FEB，
∴，
∵AB＝AD＝5，AE＝1，
∴BE＝4，
∵△DAE≌△DGF，
∴CF＝AE＝1，
∴BF＝6，
∴，
解得GC＝，
∴GC的長為．
11．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，點(diǎn)F為EC延長線上一點(diǎn)，∠FAC＝∠AEF．連接ED，交AB于點(diǎn)G．
（1）證明：AF為⊙O的切線；
（2）證明：AF＝AG；
（3）若⊙O的半徑為2，G為OB的中點(diǎn)，AE的長．
【解答】（1）證明：∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AEF＝∠AOC＝45°，
∵∠FAC＝∠AEF，
∴∠FAC＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠OAF＝∠OAC+∠FAC＝90°，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AF為⊙O的切線；
（2）證明：∵四邊形ADEC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADG+∠ACE＝180°，
∵∠ACE+∠ACF＝180°，
∴∠ACF＝∠ADG，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴AD＝AC，∠DAB＝∠BOD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAB＝45°，
∴△ADG≌△ACF（ASA），
∴AG＝AF；
（3）解：連接BE，AD，
∵G為OB的中點(diǎn)，OB＝2，
∴OG＝GB＝OB＝1，
∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝2，
∵∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∵∠DAB＝∠DEB，∠AGD＝∠BGE，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴AE的長為．
12．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接CE．
（1）求證：CD+CE＝CA．
（2）如圖2，連接DE，交AC于點(diǎn)F．
①求證：CD?CE＝CF?CA；
②當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長．
【解答】解：（1）證明：∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝CA，
∴CD+CE＝CD+BD＝BC＝CA；
（2）①證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝45°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，且∠ADC＝∠ADE+∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝，即
∴CD?BD＝CF?AB，
∵CE＝BD，AB＝AC，
∴CD?CE＝CF?CA；
②或2．
設(shè)BD＝x，則CD＝4﹣x，
當(dāng)CE＝CF時(shí)，CE＝CF＝BD＝x，
∵CD?CE＝CF?CA，
∴（4﹣x）?x＝2x，
解得：x1＝4﹣2，x2＝0（舍去）；
當(dāng)EF＝CF時(shí)，∠EFC＝90°，
∴CF＝CE＝BD＝x，
則（4﹣x）?x＝2?x，
解得x1＝2，x2＝0（舍去）；
由題意可知，EF≠EC，
綜上，當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，BD的長為4﹣2或2．

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