（1）求滑塊過(guò)C點(diǎn)的速度大小vC和軌道對(duì)滑塊的作用力大小FC；
（2）擺渡車碰到IJ前，滑塊恰好不脫離擺渡車，求滑塊與擺渡車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）在（2）的條件下，求滑塊從G到J所用的時(shí)間t.
答案 （1）4m/s 22N （2）0.3 （3）2.5s
解析 （1）C點(diǎn)離地高度為1.2R＋Rcsθ＋R＝3R
滑塊從靜止釋放到C點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可得
mg（h－3R）＝12mvC2－0
解得vC＝4m/s
在最高點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得
FC＋mg＝mvC2R
解得FC＝22N
（2）從靜止釋放到G點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得
mgh－0.2mgLFG＝12mvG2
由題可知，滑塊到達(dá)擺渡車右端時(shí)剛好與擺渡車共速，速度大小設(shè)為v
根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得2mv＝mvG
由功能關(guān)系可得μmgL＝12mvG2－12×2mv2
綜合解得μ＝0.3
（3）滑塊從滑上擺渡車到與擺渡車共速過(guò)程，滑塊的加速度大小為a＝μg
設(shè)滑塊從滑上擺渡車到共速的時(shí)間為t1，有
t1＝vG－vμg＝1s
共速后繼續(xù)向右勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t2＝L0－L－12vt1v＝1.5s
t＝t1＋t2＝2.5s.
2.[2022廣東]某同學(xué)受自動(dòng)雨傘開傘過(guò)程的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖所示的物理模型.豎直放置在水平桌面上的滑桿上套有一個(gè)滑塊，初始時(shí)它們處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)滑塊從A處以初速度v0為10m/s向上滑動(dòng)時(shí)，受到滑桿的摩擦力f為1N.滑塊滑到B處與滑桿發(fā)生完全非彈性碰撞，帶動(dòng)滑桿離開桌面一起豎直向上運(yùn)動(dòng).已知滑塊的質(zhì)量m＝0.2kg，滑桿的質(zhì)量M＝0.6kg，A、B間的距離l＝1.2m，重力加速度g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力.求：
（1）滑塊在靜止時(shí)和向上滑動(dòng)的過(guò)程中，桌面對(duì)滑桿支持力的大小N1和N2；
（2）滑塊碰撞前瞬間的速度大小v；
（3）滑桿向上運(yùn)動(dòng)的最大高度h.
答案 （1）8N 5N （2）8m/s （3）0.2m
解析 （1）滑塊靜止時(shí)，滑塊和滑桿均處于靜止?fàn)顟B(tài)，以滑塊和滑桿整體為研究對(duì)象，由平衡條件可知
N1＝（m＋M）g＝8N
滑塊向上滑動(dòng)時(shí)，滑桿受重力、滑塊對(duì)其向上的摩擦力以及桌面的支持力，則有N2＝Mg－f'，f'＝f
代入數(shù)據(jù)得N2＝5N
（2）解法1 碰前，滑塊向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得mg＋f＝ma1
解得a1＝15m/s2，方向向下
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v2－v02＝－2a1l
代入數(shù)據(jù)得v＝8m/s
解法2 由動(dòng)能定理得－（mg＋f）l＝12mv2－12mv02
代入數(shù)據(jù)解得v＝8m/s
（3）滑塊和滑桿發(fā)生的碰撞為完全非彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv＝（M＋m）v共
代入數(shù)據(jù)得v共＝2m/s
此后滑塊與滑桿一起豎直向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有
－（M＋m）gh＝0－12（M＋m）v共2
代入數(shù)據(jù)得h＝0.2m.
3.[2021湖南]如圖，豎直平面內(nèi)一足夠長(zhǎng)的光滑傾斜軌道與一長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平軌道通過(guò)一小段光滑圓弧平滑連接，水平軌道右下方有一段弧形軌道PQ.質(zhì)量為m的小物塊A與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.以水平軌道末端O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向下，弧形軌道P端坐標(biāo)為（2μL，μL），Q端在y軸上.重力加速度為g.
（1）若A從傾斜軌道上距x軸高度為2μL的位置由靜止開始下滑，求A經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）若A從傾斜軌道上不同位置由靜止開始下滑，經(jīng)過(guò)O點(diǎn)落在弧形軌道PQ上的動(dòng)能均相同，求PQ的曲線方程；
（3）將質(zhì)量為λm（λ為常數(shù)且λ≥5）的小物塊B置于O點(diǎn)，A沿傾斜軌道由靜止開始下滑，與B發(fā)生彈性碰撞（碰撞時(shí)間極短），要使A和B均能落在弧形軌道上，且A落在B落點(diǎn)的右側(cè)，求A下滑的初始位置距x軸高度的取值范圍.
答案 （1）2μgL （2）x22y＋2y＝4μL（0≤x≤2μL） （3）3λ－1λ－3μL＜h≤μL＋3μL（λ+1）2（λ－1）2
解析 （1）設(shè)A滑到O點(diǎn)時(shí)速度為v0，A從傾斜軌道上滑到O點(diǎn)過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
mg·2μL－μmgL＝12mv02
解得v0＝2μgL
（2）若A以（1）中的位置從傾斜軌道上下滑，A從O點(diǎn)拋出，假設(shè)能運(yùn)動(dòng)到弧形軌道上的P點(diǎn)，水平方向有
2μL＝v0t1
豎直方向有yP＝12gt12
解得yP＝μL，假設(shè)成立
所以A落在弧形軌道時(shí)的動(dòng)能Ek滿足
mg·2μL－μmgL＋mg·μL＝Ek－0
A從O點(diǎn)拋出，做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向有x＝v1t
豎直方向有y＝12gt2
又y＝vy22g，Ek＝12m（v12＋vy2）
聯(lián)立解得PQ的曲線方程為
x22y＋2y＝4μL（0≤x≤2μL）
（3）設(shè)A初始位置到x軸的高度為h，A滑到O點(diǎn)的速度為vA0，碰撞后的速度為vA1，反彈后再次返回O點(diǎn)時(shí)速度為vA，A、B碰撞后B的速度為vB，A、B碰撞過(guò)程有
mvA0＝mvA1＋λmvB
12mvA02＝12mvA12＋12λmvB2
解得vA1＝1－λ1+λvA0，vB＝21+λvA0
A從傾斜軌道上滑到O點(diǎn)的過(guò)程有
mgh－μmgL＝12mvA02
碰后又運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)過(guò)程有
－μmg·2L＝12mvA2－12mvA12
又A、B均能落在弧形軌道上且A落在B點(diǎn)右側(cè)應(yīng)滿足
vB＜vA≤v0
聯(lián)立求解得3λ－1λ－3μL＜h≤μL＋3μL（λ+1）2（λ－1）2
4.[高考新題型/2023湖南]如圖，質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內(nèi)有一個(gè)半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸分別為a和b，長(zhǎng)軸水平，短軸豎直.質(zhì)量為m的小球，初始時(shí)刻從橢圓軌道長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)由靜止開始下滑.以初始時(shí)刻橢圓中心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy，橢圓長(zhǎng)軸位于x軸上.整個(gè)過(guò)程凹槽不翻轉(zhuǎn)，重力加速度為g.
（1）小球第一次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)時(shí)，求凹槽的速度大小以及凹槽相對(duì)于初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程；
（3）若Mm＝ba－b，求小球下降h＝b2高度時(shí)，小球相對(duì)于地面的速度大小（結(jié)果用a、b及g表示）.
答案 （1）2m2gbM（m＋M） maM＋m
（2）[(M＋m）x－ma]2M2a2＋y2b2＝1（y≤0）
（3）2bga+3b
解析 （1）小球從靜止到第一次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)的過(guò)程，水平方向上小球和凹槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有0＝mv1－Mv2
對(duì)小球與凹槽組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有
mgb＝12mv12＋12Mv22
聯(lián)立解得v2＝2m2gbM（m＋M）
根據(jù)人船模型規(guī)律，在水平方向上有mx1＝Mx2
又由位移關(guān)系知x1＋x2＝a
解得凹槽相對(duì)于初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離x2＝maM＋m
（2）小球向左運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，凹槽向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球的坐標(biāo)為（x，y）時(shí)，小球向左運(yùn)動(dòng)的位移x'1＝a－x，則凹槽水平向右運(yùn)動(dòng)的位移為x'2＝mM（a－x）
小球在凹槽所在的橢圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知小球的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足
（x－x'2）2a2＋y2b2＝1
整理得小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為[(M＋m）x－ma]2M2a2＋y2b2＝1（y≤0）
（3）若Mm＝ba－b，代入（2）問(wèn)結(jié)果化簡(jiǎn)可得
[x－（a－b）]2＋y2＝b2
即小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為b的圓
小球下降h＝b2高度的過(guò)程，小球與凹槽組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，有mv'1x＝Mv'2
對(duì)小球與凹槽組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有
mgh＝12mv'12＋12Mv'22
由幾何關(guān)系及速度的分解得v'1sin30°＝v'1x
聯(lián)立解得v'1＝2bga+3b.

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