A.投出物資后熱氣球做勻加速直線運動
B.投出物資后熱氣球所受合力大小為mg
C.d＝（1＋mM）2Hv02g＋H2
D.d＝2Hv02g＋（1+mM）2H2
解析 熱氣球開始攜帶物資時處于靜止狀態(tài)，所受合外力為0，初動量為0，水平投出重力為mg的物資瞬間，滿足動量守恒，則熱氣球和物資的動量等大反向，有mv0＝Mv，則熱氣球獲得水平向左的速度，投出物資后，熱氣球所受合力恒為mg，方向豎直向上，故熱氣球做勻加速曲線運動，A項錯誤，B項正確；熱氣球和物資的運動示意圖如圖所示，熱氣球和物資所受合力大小均為mg，故熱氣球在豎直方向上加速度大小為a＝mMg，設物資落地過程所用的時間為t，則有H＝12gt2，落地時間為t＝2Hg，熱氣球在豎直方向上運動位移為HM＝12at2＝12·mMg·2Hg＝mMH，熱氣球和物資在水平方向均做勻速直線運動，水平位移分別為xm＝v0t＝v02Hg，xM＝vt＝mMv0·2Hg，則物資落地時，熱氣球和物資的距離d＝（xm＋xM）2＋（H＋HM）2＝（1＋mM）2Hv02g＋H2，C項正確，D項錯誤.
2.[多次碰撞問題/2023全國乙]如圖，一豎直固定的長直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為M的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為l，圓管長度為20l.一質(zhì)量為m＝13M的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等.小球在管內(nèi)運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短.不計空氣阻力，重力加速度大小為g.求
（1）第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離；
（3）圓盤在管內(nèi)運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù).
答案 （1）2gl2 2gl2 （2）l （3）4
解析 （1）設碰撞前瞬間小球的速度為v，碰后小球及圓盤的速度分別為v1、v2，取豎直向下為正方向，對碰撞前，小球做自由落體運動的過程，由動能定理得
mgl＝12mv2，解得v＝2gl
小球和圓盤的碰撞過程滿足動量守恒和系統(tǒng)機械能守恒，有
mv＝mv1＋Mv2
12mv2＝12mv12＋12Mv22
又m＝13M
聯(lián)立解得v1＝－2gl2，v2＝2gl2，所以第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小均為2gl2
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球先向上做勻減速直線運動，到最高點再向下做勻加速直線運動，圓盤一直向下做勻速直線運動，當小球速度向下且與圓盤速度相等時，兩物體間距最大，設此過程所經(jīng)歷的時間為t，對小球，由勻變速直線運動公式得2gl2＝－2gl2＋gt
解得t＝2lg
由豎直上拋運動的對稱性知，此時小球又回到了與圓盤第一次碰撞的位置，故圓盤下落的距離就是此時兩物體的間距，也是在第一次碰撞到第二次碰撞之間兩物體的最遠距離，為
smax＝v2t＝2gl2×2lg＝l
（3）設小球和圓盤從第一次碰撞后瞬間到第二次碰撞前瞬間經(jīng)歷的時間為t1，有v2t1＝v1t1＋12gt12
解得t1＝22lg
在這段時間內(nèi)，圓盤下落的距離為y1＝v2t1＝2l，設小球第二次與圓盤碰撞前瞬間速度為v'，則
v'＝v1＋gt1＝32gl2
設第二次碰后小球和圓盤的速度分別為v'1、v'2，小球和圓盤碰撞過程滿足動量守恒和系統(tǒng)機械能守恒，有
mv'＋Mv2＝mv'1＋Mv'2
12mv'2＋12Mv22＝12mv'12＋12Mv'22
解得v'1＝0，v'2＝2gl
設小球和圓盤從第二次碰撞后瞬間到第三次碰撞前瞬間經(jīng)歷的時間為t2，有12gt22＝v'2t2
解得t2＝22lg
在這段時間內(nèi)圓盤下降的距離為y2＝v'2t2＝4l
同理，小球第三次與圓盤碰撞前瞬間速度為
v″＝gt2＝22gl
小球與圓盤發(fā)生第三次碰撞，由動量守恒和系統(tǒng)機械能守恒有
mv″＋Mv'2＝mv″1＋Mv″2
12mv″2＋12Mv'22＝12mv″12＋12Mv″22
解得v″1＝2gl2，v″2＝32gl2
設經(jīng)過t3，兩物體發(fā)生第四次碰撞，有
v″1t3＋12gt32＝v″2t3，解得t3＝22lg
在這段時間里，圓盤下降的距離為y3＝v″2t3＝6l，由數(shù)學歸納法知，以后每次碰撞間隔時間均為22lg
在這段時間內(nèi)圓盤下降的距離比上次碰撞間隔內(nèi)下降的距離增加2l，所以從第四次碰撞后瞬間到第五次碰撞前瞬間，圓盤下降的距離為8l，若圓盤始終在管內(nèi)運動，則從第一次碰撞后瞬間到第五次碰撞前瞬間，圓盤下降的距離為y＝2l＋4l＋6l＋8l＝20l＞19l，故此時圓盤已經(jīng)滑出長直圓管，不會在管內(nèi)發(fā)生第五次碰撞，所以圓盤在管內(nèi)運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù)為4次.
3.[碰撞＋簡諧運動/2023上海]如圖，將一質(zhì)量為mP＝0.15kg的小球P拴于L＝1.2m的輕繩上，將其向左拉開一段距離后由靜止釋放.水平地面上有一物塊Q，質(zhì)量為mQ＝0.1kg.小球P在最低點A與物塊Q碰撞，P與Q碰撞前瞬間向心加速度為1.6m/s2，碰撞前后瞬間P的速度之比為5∶1，碰撞時間極短.（重力加速度g取9.8m/s2，物塊Q與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.28）
（1）求碰撞后瞬間物塊Q的速度vQ；
（2）P與Q碰撞后再次回到A點的時間內(nèi)，求物塊Q運動的距離s.
答案 （1）24325m/s，方向水平向右 （2）8641715m
解析 （1）設P與Q碰撞前瞬間，P的速度為vP，由向心加速度的表達式得a＝vP2L，代入數(shù)據(jù)得vP＝435m/s
碰撞前后瞬間P的速度之比為5∶1，則碰后P的速度為v'P＝vP5＝4325m/s
P與Q碰撞過程，P與Q組成的系統(tǒng)動量守恒，取向右為正方向，由動量守恒定律得
mPvP＝mPv'P＋mQvQ
解得vQ＝24325m/s，方向水平向右
（2）由于L＝1.2m遠大于小球P的大小，碰后P的速度較小，上升的高度較小，故小球P碰后做簡諧運動，由單擺的周期公式可知T＝2πLg
小球P再次回到平衡位置的時間為t＝T2
聯(lián)立解得t＝6π7s
碰后Q向右做勻減速直線運動，設Q速度減為零過程所用的時間為t'，由運動學公式得t'＝vQa'
由牛頓第二定律得μmQg＝mQa'
聯(lián)立解得t'＝1203343s
由于t'＜t，故在小球P再次回到A點的時間內(nèi)，物塊Q已經(jīng)停下
對小球Q向右運動的過程，由動能定理得
－μmQgs＝－12mQvQ2
解得s＝8641715m

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