一．兩點(diǎn)間的距離
1.兩點(diǎn)間的距離公式
平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為.
特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離．
2．兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)
法一：已知平面上的任意兩點(diǎn)，向量，則.
因此得到平面上的任意兩點(diǎn)的距離公式為：.
法二：已知平面上的任意兩點(diǎn)，如何求點(diǎn)間的距離?
如圖，過(guò)點(diǎn)分別向y軸和x軸作垂線和，垂足分別為，，直線與相交于點(diǎn)Q．
在中，，過(guò)點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，所以，同理可得．
所以．
由此得到平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為．
二．對(duì)稱問(wèn)題
對(duì)稱問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱．
1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱是對(duì)稱問(wèn)題中最基本的問(wèn)題，是解決其他對(duì)稱問(wèn)題的基礎(chǔ)，一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種對(duì)稱問(wèn)題．
設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x，y），則有，所以，即點(diǎn)．特別地，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為．
2．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
對(duì)于點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線l為線段的中垂線，于是有等量關(guān)系：
①（直線l的斜率存在且不為零）；
②線段的中點(diǎn)在直線l上；
③直線l上任意一點(diǎn)M到P，的距離相等，即．
常見(jiàn)的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)：
點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)；
點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)；
點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)；
點(diǎn)關(guān)于直線y=?x的對(duì)稱點(diǎn)；
點(diǎn)關(guān)于直線x=m（m≠0）的對(duì)稱點(diǎn)；
點(diǎn)關(guān)于直線y=n（n≠0）的對(duì)稱點(diǎn)．
三．點(diǎn)到直線的距離
1．點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到直線的距離，是指從點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，其中為垂足．實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)所連線段的長(zhǎng)度的最小值．
2．點(diǎn)到直線的距離公式
平面上任意一點(diǎn)到直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0）的距離為．
3．點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)
如圖，設(shè)，則直線l與x軸和y軸都相交，過(guò)點(diǎn)分別作x軸和y軸的平行線，交直線l于R和S，則直線的方程為，R的坐標(biāo)為；直線的方程為，S的坐標(biāo)為，
于是有，，
．
設(shè)，由三角形面積公式可得，
于是得．
因此，點(diǎn)到直線l：Ax+By+C=0的距離．
可以驗(yàn)證，當(dāng)A=0，或B=0時(shí)，上述公式也成立．
【點(diǎn)撥】用向量法推導(dǎo)點(diǎn)P到直線l的距離|PQ|公式的向量法推導(dǎo)，在直線上取任意一點(diǎn)M，與直線方向向量垂直的單位向量為n，則有 ，所以有.
四．點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題
（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．
（2）對(duì)于與坐標(biāo)軸平行（或重合）的直線x=a或y=b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成或．
（3）若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)或直線方程時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．
一．兩點(diǎn)間的距離（共3小題）
1.若過(guò)點(diǎn)A(3，a)和點(diǎn)B(4，b)的直線與y＝2x＋3平行，則|AB|的值為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)過(guò)點(diǎn)A(3，a)和點(diǎn)B(4，b)的直線與y＝2x＋3平行求得a與b的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.
【詳解】由題意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
2.設(shè)x，，，，且，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)得出x，y的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間的距離公式，配方得出答案.
【詳解】，，即，.
點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
3.在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)有四點(diǎn)，，，，為該平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則到、、、四點(diǎn)的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)和可知當(dāng)為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，到、、、四點(diǎn)的距離之和取得最小值，經(jīng)計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】依題意，四點(diǎn)，，，構(gòu)成一個(gè)四邊形，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)在對(duì)角線上時(shí)取得等號(hào)，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)在對(duì)角線上時(shí)取得等號(hào)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào).
故到、、、四點(diǎn)的距離之和的最小值為
二．對(duì)稱問(wèn)題（共3小題）
1.已知點(diǎn)，，直線，在直線l上找一點(diǎn)P使得最小，則這個(gè)最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
∴最?。?br>2.已知，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，先求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，可得
，當(dāng)A、P、三點(diǎn)共線時(shí),得答案.
【詳解】點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為．
,
當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)A、P、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．
此時(shí)取最小值，直線的方程為，
即，令，得．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
3.如圖，一束平行光線從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線反射后通過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線的方程.
【答案】y=3
【分析】作出入射光線關(guān)于直線l的對(duì)稱光線AQ，求得對(duì)稱點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)，又該對(duì)稱光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，進(jìn)而求解得反射光線直線方程
【詳解】如圖，過(guò)原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由直線與垂直和線段的中點(diǎn)在上.得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榉瓷涔饩€的反向延長(zhǎng)線過(guò)，又因?yàn)榉瓷涔饩€過(guò)，所以兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線的方程為.
三．求點(diǎn)到直線的距離（共2小題）
1.（2023春·上海市松江區(qū)·階段練習(xí)）斜率為的直線過(guò)點(diǎn)為直線的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】1
【分析】根據(jù)條件求向量在法向量上的投影數(shù)量的絕對(duì)值即可.
【詳解】，即在上的數(shù)量投影的絕對(duì)值等于1，所以點(diǎn)到直線的距離為1.故答案為：1
2．（2023春上海市·徐匯·一模）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值 .
【答案】
【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.
【詳解】設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，且在第一象限，
設(shè)點(diǎn)，
所以，
如圖所示，
點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為，
則有解得，
所以，由圖可知，當(dāng)在直線時(shí)，
最小，最小值為，即的最小值為，
故答案為：.
四．綜合應(yīng)用（共3小題）
1.（2023春上海市·靜安區(qū)·一模）若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是 ．
【答案】
【分析】運(yùn)用兩直線平行求得m的值，再運(yùn)用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】由直線與直線平行，
可知，即，
故直線為，
直線變形得，
故這兩條直線間的距離為，故答案為：.
2.（2023春·上海市·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為 ．
【答案】
【分析】直接由平行線的距離公式求解即可.
【詳解】直線即為，
則平行直線與之間的距離為.故答案為：
3．（2023·上海市松江區(qū)·階段練習(xí)）若對(duì)一個(gè)角，存在角滿足，則稱為的“伴隨角”.有以下兩個(gè)命題：
①若，則必存在兩個(gè)“伴隨角”；
②若，則必不存在“伴隨角”；
則下列判斷正確的是（ ）
A．①正確②正確；B．①正確②錯(cuò)誤；
C．①錯(cuò)誤②正確；D．①錯(cuò)誤②錯(cuò)誤.
【答案】B
【分析】將已知方程變形為，則為直線與單位圓的交點(diǎn).用圓心到直線的距離解決問(wèn)題
【詳解】將已知方程變形為，
則為直線與單位圓的交點(diǎn).
考慮圓心到直線的距離
，其中.
對(duì)于①，若，則，于是，即，
直線與圓必有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
為直線與單位圓的交點(diǎn)，
故必存在兩個(gè)“伴隨角”，即①正確；
對(duì)于②若，則，于是，
即直線與圓可能公共點(diǎn)，故可能存在“伴隨角”，即②錯(cuò)誤；
綜上，①正確②錯(cuò)誤，故選:B.
一、填空題
1．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ兄旒医侵袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離是 ．
【答案】/2.4
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.
【詳解】由題意點(diǎn)到直線的距離是.
故答案為：
2．（2023上·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┢叫兄本€與的距離為 ．
【答案】
【分析】按照平行線間的距離公式求解即可.
【詳解】直線即為，
∴平行直線與的距離.
故答案為：.
3．（2023下·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）已知在中，其中的平分線所在的直線方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得的直線方程，聯(lián)立解出即可得出的坐標(biāo)．
【詳解】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；
，
，，
的直線方程為，
則由角平分線以及對(duì)稱可知一定在直線上，
聯(lián)立，解得，，
故答案為：
4．（2022上·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則 .
【答案】3或
【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式建立等式求出參數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，
所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得：
，
解得或，
故答案為：3或
5．（2023下·上海楊浦·高二?？计谥校┲本€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的一般式方程為 ．
【答案】
【分析】由直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】設(shè)對(duì)稱直線為，
根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等，
則有，即，解得（舍）或.
所以對(duì)稱直線的方程為.
故答案為：.
6．（2023下·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求最小值.
【詳解】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以的最小值為到線的距離.
故答案為：2.
7．（2023下·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)?？计谥校┕饩€沿著直線射到直線上，經(jīng)反射后沿著直線射出，則實(shí)數(shù) ．
【答案】6或－2
【分析】根據(jù)反射光線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)一定在入射光線上，即可求解.
【詳解】在直線上任意取一點(diǎn)，
由題知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，
則，整理得，解得或.
故答案為：6或－2.
8．（2023上·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，發(fā)射后又回到原點(diǎn)，若光線經(jīng)過(guò)的重心，則 ．

【答案】.
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線與直線的解析式，即可得出AP的長(zhǎng).
【詳解】由題意，
如圖建立直角坐標(biāo)系：

則 ，直線方程為 即，
三角形重心為 即
設(shè) , 關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為
解得
由光的反射可知 四點(diǎn)共線，
直線斜率為 , 直線方程為 過(guò)重心，
即 ，
解得 舍去， ，
∴，
故答案為：.
9．（2023上·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為 .
【答案】
【分析】設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)，利用垂直和平分的關(guān)系可得答案.
【詳解】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則，
解得，即對(duì)稱點(diǎn)為.
故答案為：.
10．（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則.
故答案為：.
11．（2023上·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┮阎獂，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是 ．
【答案】5
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式的幾何意義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解，即可得到答案.
【詳解】即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；
即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離；
即，幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
分別作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
連接，則，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)分別為與軸，軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：5.
12．（2023上·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)校考期中）己知直線l：，則原點(diǎn)到直線l的距離的最大值是 ．
【答案】5
【分析】求出動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)，可知原點(diǎn)與定點(diǎn)的距離即為所求.
【詳解】直線l：可化為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程恒成立，
所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，
所以當(dāng)直線l與垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為.
故答案為：5
二、單選題
13．（2023上·上海寶山·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，與重合D．當(dāng)時(shí)，、之間的距離為
【答案】C
【分析】對(duì)A：將點(diǎn)代入即可得；對(duì)B、C、D，將對(duì)應(yīng)的代入即可得.
【詳解】對(duì)A：將點(diǎn)代入，有，故正確；
對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，
即，，
，
即，，
有，即，故正確；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，
即，即，
，即，與平行，故錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，
，即，
，故正確.
故選：C.
14．（2023上·上海奉賢·高二?？计谀┨拼?shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．
【詳解】如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)路程和最小，
由題知，點(diǎn)滿足：
，解得：，，即點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以“將軍飲馬”的最短總路程為，
故選：D
15．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，與直線，若在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.
【詳解】對(duì)于直線，
即，所以在直線上，
設(shè)，其中，
由兩邊平方得，
即，
整理得，
由于，所以
，其中，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
且最大值為，則，解得.
故選：A
16．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式，求直線上一點(diǎn)，即可求解.
【詳解】聯(lián)立，得，
取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
三、解答題
17．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到直線的距離等于4，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】或
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離等于4，
所以，解得或.
18．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與直線的距離為，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】或
【分析】利用平行線間的距離公式得到關(guān)于的方程，從而得解.
【詳解】直線可化為，
直線可化為，
所以，解得或．
所以或.
19．（2023上·上?！じ叨軛疃行？茧A段練習(xí)）已知常數(shù)，設(shè)直線，直線.
(1)若，求的值；
(2)若與平行，求與的距離.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知結(jié)合直線垂直的條件求解即可；
（2）結(jié)合直線平行的條件先求出，然后結(jié)合平行線間的距離公式求解即可.
【詳解】（1）由題意知的法向量為，的法向量為，
若，則；
（2）若與平行，則或，
當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，舍去，
當(dāng)時(shí)，則直線，直線，
則與的距離為.
20．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三條直線，直線，且與的距離是.
(1)求a的值；
(2)若點(diǎn)P同時(shí)滿足下列條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的；③點(diǎn)P在直線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）用平行線間距離公式求參數(shù)即可.
（2）用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解即可
【詳解】（1）直線方程為，
∴和距離為，
解得
（2）設(shè)點(diǎn)，
若點(diǎn)P滿足條件②，則P在與，平行的直線上，
且，得或，
所以或.
若滿足條件③，聯(lián)立方程解得，舍去，
或者聯(lián)立方程解得，為所求點(diǎn).
21．（2022上·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過(guò)點(diǎn)P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直：，：是一組“共軛線對(duì)”，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)已知點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條直線PQ，QR，RP上的點(diǎn)（A，B，C與P，Q，R均不重合），且直線PR，PQ是“共軛線對(duì)”，直線QP，QR是“共軛線對(duì)”，直線RP，RQ是“共軛線對(duì)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)已知點(diǎn)，直線，是“共軛線對(duì)”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r(shí)，求原點(diǎn)O到直線，的距離之積的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)直線RP，PQ，QR的斜率分別為，，，則根據(jù)題意可得，解方程組求出，，，從而可求出的方程，進(jìn)而解方程組可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)題意設(shè)：，：，其中，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線，的距離的積，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其范圍.
【詳解】（1）設(shè)直線RP，PQ，QR的斜率分別為，，，
則，得，，或，，．
當(dāng)，，時(shí)，直線RP的方程為，直線PQ的方程為，
由，解得，則；
當(dāng)，，時(shí)，直線PR的方程為，直線PQ的方程為，
由，解得，則；
故所求為或；
（2）設(shè)：，：，其中，
故
由于（等號(hào)成立的條件是），
故，．
22．（2023上·上海浦東新·高二校考階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點(diǎn)，光線經(jīng)過(guò)的重心．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸（為正方向），建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求的重心的坐標(biāo)，及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，確定三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得重心的坐標(biāo)；設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為，表示出的坐標(biāo)，根據(jù)光線反射原理可知共線，結(jié)合重心坐標(biāo)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)稱知識(shí)可知的周長(zhǎng)即為，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得答案.
【詳解】（1）如圖所示：
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
故的重心的坐標(biāo)為，即；
設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為，
則，設(shè)，
直線的方程為，則
解得，即，
由光的反射原理可知共線，且光線經(jīng)過(guò)的重心，
故，解得或（舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）由（1）可得，所以即為，即為，
由題意可知，
故的周長(zhǎng)為.
目錄
新知導(dǎo)航：熟悉課程內(nèi)容、掌握知識(shí)脈絡(luò)
基礎(chǔ)知識(shí)：知識(shí)點(diǎn)全面梳理，掌握必備
學(xué)以致用：考點(diǎn)剖析，提升能力
小試牛刀：過(guò)關(guān)檢測(cè)，成果評(píng)定

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