【寒假作業(yè)】滬教版2020 高中數(shù)學(xué) 高二寒假鞏固提升訓(xùn)練專題08+橢圓（三大核心考點(diǎn)七種題型）-練習(xí).zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一．橢圓的定義
考點(diǎn)二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
考點(diǎn)三．橢圓的離心率
考點(diǎn)一．橢圓的定義
1．橢圓的第一定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．
2．橢圓的第二定義
平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e＝（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫橢圓的離心率．
3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動(dòng)點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}．
（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；
（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒有運(yùn)動(dòng)軌跡．
【注意】橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時(shí)，其軌跡才為橢圓．
考點(diǎn)二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：
（1）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
兩種形式相同點(diǎn)：a＞b＞0；a2＝b2+c2
兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．
考點(diǎn)三．橢圓的離心率
①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：
e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．
橢圓的定義（共2小題）
1．（2022春?黃浦區(qū)期中）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）
A．圓B．橢圓
C．一條直線D．兩條平行直線
2.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為____
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共2 小題）
1.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）橢圓與橢圓的（）
A. 長軸相等 B. 短軸相等 C. 焦距相等D. 長軸、短軸、焦距均不相等
2.（2023春·上海市三女中高二第二學(xué)期期中）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.
橢圓幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用（共3小題）
1.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則______．
2.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.
3.（2023春·上海市大同中學(xué)高二第二學(xué)期期中）設(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.
四．求橢圓的離心率（或范圍）（共2小題）
1.（2023春·上海市嘉定一中高二第二學(xué)期期中）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，橢圓存在一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率取值范圍為（）
A. B. C. D.
2.（2023春·上海市浦東新區(qū)高二第二學(xué)期期中）如圖所示，為完成一項(xiàng)探月工程，某月球探測器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則橢圓軌道Ⅱ的離心率為_________.（用R、r表示）
直線與橢圓（共4小題）
1.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于、兩點(diǎn)，若垂直平分線段，則的周長是______．
2（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①為定值；②的周長的取值范圍是；
③當(dāng)時(shí)，為直角三角形；④當(dāng)時(shí)，的面積為．其中正確的是______．（填序號）
3.（2023春·上海市財(cái)大附中高二第二學(xué)期期中）已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作直線與橢圓在第一象限交點(diǎn)為P，若為等腰三角形，則直線的斜率為（）
A. B. C. D.
4.（2023春·上海市大同中學(xué)高二第二學(xué)期期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓Γ上一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓Γ于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)R．
（1）求的周長；
（2）當(dāng)垂直于x軸時(shí)，求直線的方程；
（3）記與的面積分別為、，求的最大值．
橢圓的中點(diǎn)弦問題（共2小題）
1.（2023春·上海市大同中學(xué)高二第二學(xué)期期中）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在直線的斜率為__________
2.（2023春·上海市三女中高二第二學(xué)期期中）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則正數(shù)________.
橢圓有關(guān)的最值，定值問題（共2小題）
1.（2023春·上海市浦東新區(qū)高二第二學(xué)期期中）已知點(diǎn)M、N分別是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率的乘積為，若橢圓上任一點(diǎn)P滿足，則的值為_________.
2.（2023春·上海市大同中學(xué)高二第二學(xué)期期中）已知是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，若的最大值和最小值分別為和.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是軸正半軸上的一點(diǎn)，求的最大值.
一、單選題
1.（2023春·上海市三女中高二第二學(xué)期期中）橢圓和（）
A. 長軸長相等B. 短軸長相等C. 焦距相等D. 頂點(diǎn)相同
2.（2023春·上海市浦東新區(qū)高二第二學(xué)期期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（）
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不確定
二、填空題
1.（2023春·上海市三女中高二第二學(xué)期期中）P為橢圓上一點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，若，則的面積為_______.
2.（2023春·上海市嘉定一中高二第二學(xué)期期中）已知，為橢圓：的左右焦點(diǎn)，A為的上頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)且與交于B，C兩點(diǎn)；若l垂直平分線段，則△ABC的周長是___________.
3.（2023春·上海交大附中高二第二學(xué)期期中）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．
4.（2022春·上海南洋模范中學(xué)高二第二學(xué)期期中）已知是橢圓上的一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是______.
三、解答題
1.（2023春·上海市華二附中高二第二學(xué)期期中）已知橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）設(shè)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上除、外任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)，分別過點(diǎn)和作軸的垂線，垂足分別為和，求證：線段的長為定值．
2.（2023春·上海市建平中學(xué)高二第二學(xué)期期中）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.橢圓上有互異的且不在軸上的三點(diǎn)滿足直線經(jīng)過，直線經(jīng)過.
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求的值；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積，求的值；
（3）若，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的坐標(biāo).
3.（2023春·上海交大附中高二第二學(xué)期期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上.
（1）設(shè)它的三條線段，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，且均不為0.點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，，的斜率之和1.求證：為定值；
（2）當(dāng)是的重心時(shí)，求證：的面積是定值；
（3）如圖，設(shè)的邊所在直線與軸垂直，垂足為橢圓右焦點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線與橢圓交于（不同于A，B兩點(diǎn)），連接與分別交于，求證：.
4.（2023春·上海市浦東新區(qū)高二第二學(xué)期期中）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，短軸長為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P是橢圓C上的點(diǎn)，且，求△的面積；
（3）若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).問：x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立.若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞b＞0）
中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上
（a＞b＞0）
中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上
圖形
頂點(diǎn)
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
對稱軸
x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b
焦點(diǎn)在長軸長上
x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b
焦點(diǎn)在長軸長上
焦點(diǎn)
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
離心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±

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