【寒假作業(yè)】（滬教版2020）高中數(shù)學(xué) 高一寒假鞏固提升訓(xùn)練專題10余弦定理（4種題型）-練習(xí).zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
題型一：已知兩邊及夾角解三角形．
題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形
題型三：已知三邊解三角形
題型四：判斷三角形形狀
正弦定理刻畫了三角形中邊與角的正弦之間的關(guān)系. 那么，三角形中邊與角的余弦之間存在什么關(guān)系呢？
如圖，，，由兩點(diǎn)間的距離公式，得
兩邊平方，得
即 .
同理可得，，
.
這樣，我們就得到了余弦定理：在中，設(shè)角、及所對邊的邊長分別為、及，則有，
，
.
余弦定理也可以表示成如下形式：
，
，
.
將余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可視為余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻畫了三角形的邊角關(guān)系，是求解三角形的基本工具.
題型一：已知兩邊及夾角解三角形．
【例1】在△ABC中，已知a＝2eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，C＝15°，解此三角形。
【變式】在中，已知，，. 求、及.
題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形．
【例2】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求A、C和a。
【變式】在中，已知，，. 求、及.
題型三：已知三邊解三角形
【例3】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
【變式1】已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC；
【變式2】在中，已知，，. 求角的余弦值和的面積.
題型四：判斷三角形形狀
【例4】（1）在△ABC中，若(a－ccs B)sin B＝(b－ccs A)sin A，判斷△ABC的形狀；
（2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判斷△ABC的形狀；
（3）在△ABC中，若g sin A－lg cs B－lg sin C＝lg 2，判斷△ABC的形狀；
【變式1】. 在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c. 若，A＝60°，求△ABC面積的最大值；并指出面積取最大時(shí)是什么三角形？
【變式2】. 已知方程的兩根之積等于兩根之和，且a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判定這個(gè)三角形的形狀.
【變式3】在中，已知，且. 求證：為等邊三角形.
一、填空題
1、已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.
2、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.
3、在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，則a＝________.
4、在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，則b＝________.
5、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC的大小為
6、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cs B＝
7、若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為
8、△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若B＝60°，c＝2，b＝2eq \r(3)，則a＝________.
9、已知是三邊長，若滿足，則
10、在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq \r(3)b＝12，則c的值為
11、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，則角A等于
12、銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是
二、選擇題
13、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，b＝1，則c等于( )
A．1 B．2 C.eq \r(3)－1 D．eq \r(3)
14、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cs(A＋B)＝eq \f(1,3)，則c等于( )
A．4 B．eq \r(15) C．3 D．eq \r(17)
15、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，則角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
16、在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝eq \f(13,14)，則最大角的余弦值是( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(1,6) C．－eq \f(1,7) D．－eq \f(1,8)
三、解答題
17、在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C；
18、在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，試判斷△ABC的形狀；
19、已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC各角的度數(shù)．
20.在中，已知，，且三角形面積. 求.
21. 在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c. 已知.
（1）求證：；（2）求角B的取值范圍.
22. 如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn). 甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援？（角度精確到1°）

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