思維導圖
核心考點聚焦
考點一 雙曲線的定義
考點二 雙曲線的標準方程
考點三 求雙曲線方程的方法
考點四 雙曲線的相關性質
考點一 雙曲線的定義
平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
對于雙曲線的定義，有以下理解:
在雙曲線的定義中，“距離的差”要加絕對值，否則只表示雙曲線的一支，如若，為雙曲線的左、右焦點，則有如下兩種情形:
(1)若點滿足(>0)，則點在雙曲線的左支上．
(2)若點滿足(>0)，則點在雙曲線的右支上．
補充講解：(1)若，即，則根據平面幾何知識，當時，動點的軌跡是以為端點方向向右的一條射線，當時，動點的軌跡是以為端點方向向左的一條射線；
(2)若，即，則與“三角形兩邊之差小于第三邊”相矛盾，故此時動點的軌跡不存在；
(3)特別地，當2=0時，，根據線段垂直平分線的性質，動點的軌跡是線段的垂直平分線．
考點二 雙曲線的標準方程
焦點在軸上的雙曲線的標準方程為(>0，>0)，焦點分別是，．
2. 焦點在軸上的雙曲線的標準方程為(>0，>0)，焦點分別是，．
3.，，三者的關系為．且
其中a與b的大小關系:可以為
在雙曲線的標準方程中，長度分別為，，的三條線段恰好構成一個直角三角形，且長度為的線段是斜邊，如圖所示．
補充講解：(1)標準方程中的兩個參數和確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件．
(2)焦點，的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型，焦點跟著正項走，即若的系數為正，則焦點在軸上；若的系數為正，則焦點在軸上．
(3)當且僅當雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才具有標準形式．
(4)雙曲線的標準方程的特征是(數Ⅰ與數Ⅱ異號)，因此方程又可寫為()，這種形式是當焦點所在的坐標軸不易判斷時的統(tǒng)一設法．
橢圓與雙曲線的比較如下表：
考點三 求雙曲線方程的方法
考點四 雙曲線的相關性質
補充講解：1．等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線
等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率
等軸雙曲線可以設為：，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
2．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成
3．雙曲線的草圖
具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任意一點的位置，然后過這兩點并根據雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線
4．離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：
雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
5．共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同
共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上
確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1
共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
6.準線方程：
對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線；
位置關系： 焦點到準線的距離（也叫焦參數）
對于來說，相對于上焦點對應著上準線；相對于下焦點對應著下準線
7．焦點弦：
定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦
焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：
設兩交點
當雙曲線焦點在x軸上時，焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關：
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
當雙曲線焦點在y軸上時，
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
8．通徑：
定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 直接應用焦點弦公式，得到
雙曲線的定義（共3小題）
1.（2023春·上海市楊浦高中高二第二學期期中）設是雙曲線上的動點，則到該雙曲線兩個焦點的距離之差的絕對值為（ ）
A. 4B. C. D.
2.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）若橢圓和雙曲線有相同的焦點和，而是這兩條曲線的一個交點，則的值是（ ）
A. B. C. D.
3.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）點到點的距離之差為，到軸、軸距離之比為，則的取值范圍是__________.
雙曲線的標準方程（共3小題）
1.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）以橢圓的焦點為頂點、橢圓的頂點為焦點的雙曲線的標準方程是______．
2. （2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）在中，，，，則頂點的軌跡方程是__________.
3.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）若雙曲線經過點，它的一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程為___________.
雙曲線幾何性質的簡單應用（共2小題）
1.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）過雙曲線的右焦點F作一條垂直于x軸的垂線交雙曲線C的兩條漸近線于A、B兩點，O為坐標原點，則的面積的最小值為________.
2.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）雙曲線焦點坐標為__________.
求雙曲線的離心率（或范圍）（共2小題）
1.若雙曲線與直線沒有公共點，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·上海交大附中高二第二學期期中）已知雙曲線的漸近線方程為y=±，則此雙曲線的離心率為________.
直線與雙曲線（共4小題）
1.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）已知雙曲線，過點作直線和雙曲線交于A，B兩點.點A在第一象限，過點A作x軸的垂線，垂足為H，則直線傾斜角的取值范圍是__________.
2.（2023春·上海交大附中高二第二學期期中）設雙曲線的右焦點為，，若直線與的右支交于，兩點，且為的重心，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
3.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）如圖所示，從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標原點，則與的大小關系為（ ）
A. B.
C. D. 不確定
4.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）如圖，已知，為雙曲線的焦點，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，則雙曲線的漸近線方程為__________.

雙曲線有關的最值，定值問題（共2 小題）
1.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）已知雙曲線，四點中恰有三點在C上．
（1）求C方程；
（2）過點的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線的垂線，垂足為A．證明：直線AQ過定點．
2.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）已知圓的圓心為，圓的圓心為，一動圓與這兩圓都外切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若過點的直線與（1）中所求軌跡有兩個交點，求的取值范圍．
一、單選題
1. （2023春·上海師大附中高二第二學期期中）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）條件
A．充分不必要B．充要C．必要不充分D．既不充分又不必要
2. 某橢圓或雙曲線的標準方程對應的圖形經過點，，則關于該圖形判斷正確的是（ ）
A．焦點在x軸上的雙曲線B．焦點在y軸上的雙曲線
C．焦點在x軸上的橢圓D．焦點在y軸上的橢圓
3.與橢圓C：共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
1.（2023春·上海市楊浦高中高二第二學期期中）雙曲線的漸近線方程________．
2.（2022秋?奉賢區(qū)期末）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，它的漸近線方程為y＝±2x，則它的離心率等于 ．
3.（2022秋?普陀區(qū)期末）雙曲線的兩條漸近線的夾角大小等于 ．
4.（2023春·上海師大附中高二第二學期期中）已知圓C過雙曲線的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是________．
5.（2022秋?寶山區(qū)期末）雙曲線C的左、右焦點分別為F1、F2，點A在y軸上．雙曲線C與線段AF1交于點P，與線段AF2交于點Q，直線AF1平行于雙曲線C的漸近線，且|AP|：|PQ|＝5：6，則雙曲線C的離心率為 ．
6.（2022秋?松江區(qū)期末）已知F1，F2是雙曲線Γ：的左、右焦點，點M是雙曲線Γ上的任意一點（不是頂點），過F1作∠F1MF2的角一部分線的垂線，垂足為N，線段F1N的延長線交MF2于點Q，O是坐標原點，若，則雙曲線Γ的漸近線方程為 ．
三、解答題
1.（2023春·上海市楊浦高中高二第二學期期中）某團隊開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖所示，A、B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過O點的直線l與直線AB的夾角為45°，機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到A點的信號比接收到B點的信號晚秒，其中（單位：米/秒）是信號傳播的速度.
（1）以O為原點，以OB方向為x軸正方向，且以米為單位建立平面直角坐標系，設機器鼠所在位置為點P，求點P的軌跡方程；
（2）若游戲設定：機器鼠在距離直線l不超過2米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？
2.（2023 黃埔區(qū)二模）已知雙曲線的中心在坐標原點，左焦點與右焦點都在軸上，離心率為，過點的動直線與雙曲線交于點、．設．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）若點、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時的正切值；（關于求的最值．某學習小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設為，建立相應數量關系并利用它求最值；③設直線l的斜率為k，建立相應數量關系并利用它求最值）.
（3）若點在雙曲線的左支上（點不是該雙曲線的頂點，且，求證：是等腰三角形．且邊的長等于雙曲線的實軸長的2倍．
3.（2023 靜安區(qū)二模） 已知雙曲線Γ：（其中）的左、右焦點分別為（c，0）、（c，0）（其中）.
（1）若雙曲線Γ過點（2，1）且一條漸近線方程為；直線l的傾斜角為，在y軸上的截距為.直線l與該雙曲線Γ交于兩點A、B，M為線段AB的中點，求△的面積；
（2）以坐標原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線Γ在第一象限的交點為P.過P作圓的切線，若切線的斜率為，求雙曲線Γ的離心率.
橢圓
雙曲線
定義
與的關系
的關系
標準方程
或
或
圖象
焦點在軸上
焦點在軸上
方法
內容
已知條件或適合題型
定義法
通過對條件的分析，根據定
義確定軌跡是雙曲線，求出
并寫出方程．
已知的值或動點滿足
待定系數法
由已知條件確定雙曲線的類型，設方程，代入已知數據，求待定系數
已知雙曲線上某點的坐標
或焦點坐標或焦距
相關點法
①確定動點滿足的等量關系，列出方程；②建立動點坐標與中間變量之間的關系，消去后得到方程
①已知動點滿足某種規(guī)律；
②已知動點與已知曲線上
的動點之間的關系
標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
圖 形
性 質
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系
c2＝a2＋b2

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