直線的傾斜角
1.定義：當直線與軸相交時，我們?nèi)≥S作為基準，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
2.取值范圍：直線的傾斜角的取值范圍是，并規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為.
補充：（1）傾斜角與直線傾斜程度的關(guān)系
(2)對直線的傾斜角的理解
①傾斜角直觀地表示了直線相對于軸正方向的傾斜程度.
②平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角，不同的直線可以有相同的傾斜角.
直線的斜率
1.定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即.
注意：當直線的傾斜角為90°時，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，而是該直線垂直于軸（平行于軸或與軸重合）.因此，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.
2.傾斜角與斜率的關(guān)系
補充：斜率和傾斜角的特點
①斜率和傾斜角都反映直線的傾斜程度，其中斜率是從代數(shù)角度描述的，傾斜角是從幾何角度描述的；
②直線的斜率是隨著傾斜角的變化而變化的，并且當直線的傾斜角不是90°時，傾斜角相同的直線，其斜率相同，傾斜角不同的直線，其斜率不同；
③直線有斜率必有傾斜角，傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率.
直線斜率的坐標表示
公式：經(jīng)過兩點的直線的斜率公式為．
直線斜率與直線方向向量
1.若直線的斜率為，它的一個方向向量的坐標為 ，則 .
2.若直線的斜率為 且直線過兩點 ，它的一個方向向量的坐標為，則.
五．直線的點斜式方程
已知直線l經(jīng)過點，且斜率為k，則直線l的方程為．
這個方程是由直線上一定點及其斜率確定的，因此稱為直線的點斜式方程，簡稱點斜式．
當直線l的傾斜角為0°時（如圖1），，即k=0，這時直線l與x軸平行或重合，l的方程就是，或．
當直線l的傾斜角為90°時（如圖2），直線沒有斜率，這時直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示．因為這時l上每一點的橫坐標都等于，所以它的方程是，或．
六．直線的斜截式方程
我們把直線l與y軸交點的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距．
如果直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，則方程為，即叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
當b=0時，表示過原點的直線；當k=0且b≠0時，表示與x軸平行的直線；當k=0且b=0時，表示與x軸重合的直線．
七．直線的兩點式方程
1．直線的兩點式方程的定義
已知直線過兩點，當時，直線的方程為．這個方程是由直線上的兩點確定的，因此稱為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．
2．直線的兩點式方程的推導
已知直線過兩點（其中），此時直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的．
當時，所求直線的斜率．
任取中的一點，例如取，由點斜式方程，得，
當時，可寫為．
八．直線的截距式方程
1．直線的截距式方程的定義
已知直線過點，（），則由直線的兩點式方程可以得到直線的方程為．
我們把直線與軸的交點的橫坐標叫做直線在軸上的截距，此時直線在軸上的截距是．
這個方程由直線在兩個坐標軸上的截距和確定，因此叫做直線的截距式方程，簡稱截距式．
2．直線的截距式方程的推導
已知直線與軸的交點為，與軸的交點為，如圖，其中．
將兩點，的坐標代入兩點式，得，即．
九．中點坐標公式
若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則．此公式為線段的中點坐標公式．
十．直線的一般式方程
在平面直角坐標系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
直線的一般式、斜截式、截距式如下表：
直線的一般式方程可以表示坐標平面內(nèi)任意一條直線．因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進行如下轉(zhuǎn)化：
（1）當時，可化為，它表示在y軸上的截距為，斜率為的直線．
（2）當均不為零時，可化為，它表示在x軸上的截距為，在y軸上的截距為的直線．
十一．兩直線平行
1．特殊情況下的兩條直線平行的判定
兩條直線中有一條直線沒有斜率，當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，故它們互相平行．
2．兩條直線的斜率都存在時，兩條直線平行的判定
兩條直線都有斜率而且不重合時，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即．
十二．兩直線垂直
1．特殊情況下的兩條直線垂直的判定
當兩條直線中有一條直線沒有斜率，另一條直線的斜率為0時，即一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°時，兩條直線互相垂直．
2．兩條直線的斜率都存在時，兩條直線垂直的判定
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果兩條直線的斜率之積等于?1，那么它們互相垂直，即．
十三.兩條平行直線間的距離
1．兩條平行直線間的距離
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長．
2．兩條平行直線間的距離公式
一般地，兩條平行直線（其中A與B不同時為0，且）間的距離．
十四．直線關(guān)于直線對稱
（1）直線與關(guān)于直線l對稱，它們具有以下幾種幾何性質(zhì)：
①若與相交，則直線l是、夾角的平分線；
②若與平行，則直線l在、之間且到、的距離相等；
③若點A在上，則點A關(guān)于直線l的對稱點B一定在上，此時AB⊥l，且線段AB的中點M在l上（即l是線段AB的垂直平分線）．充分利用這些性質(zhì)，可以找出多種求直線的方程的方法．
（2）常見的對稱結(jié)論有：設(shè)直線l為Ax+By+C=0，
①l關(guān)于x軸對稱的直線是Ax+B（?y）+C=0；
②l關(guān)于y軸對稱的直線是A（?x）+By+C=0；
③l關(guān)于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=0；
④l關(guān)于直線y=?x對稱的直線是A（?y）+B（?x）+C=0．
十五．兩點間的距離
兩點間的距離公式 平面上任意兩點間的距離公式為.
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離．
十六．對稱問題
對稱問題包括點關(guān)于點的對稱、點關(guān)于直線的對稱、直線關(guān)于點的對稱．
1．點關(guān)于點對稱
點關(guān)于點的對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎(chǔ)，一般用中點坐標公式解決這種對稱問題．
設(shè)點關(guān)于點M（a，b）的對稱點為P′（x，y），則有，所以，即點．特別地，點P關(guān)于坐標原點O的對稱點為．
2．點關(guān)于直線對稱
對于點關(guān)于直線的對稱問題，若點P關(guān)于直線l的對稱點為，則直線l為線段的中垂線，于是有等量關(guān)系：
①（直線l的斜率存在且不為零）；
②線段的中點在直線l上；
③直線l上任意一點M到P，的距離相等，即．
常見的點關(guān)于直線的對稱點：
點關(guān)于x軸的對稱點；
點關(guān)于y軸的對稱點；
點關(guān)于直線y=x的對稱點；
點關(guān)于直線y=?x的對稱點；
⑤點關(guān)于直線x=m（m≠0）的對稱點；
點關(guān)于直線y=n（n≠0）的對稱點．
十七．點到直線的距離
1．點到直線的距離
點到直線的距離，是指從點到直線的垂線段的長度，其中為垂足．實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外一點所連線段的長度的最小值．
2．點到直線的距離公式
平面上任意一點到直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時為0）的距離為．
【點撥】用向量法推導點P到直線l的距離|PQ|公式的向量法推導，在直線上取任意一點M，與直線方向向量垂直的單位向量為n，則有 ，所以有.
十八．點到直線的距離問題
（1）求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可．
（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線x=a或y=b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成或．
（3）若已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．
直線的傾斜角（共1小題）
1.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）直線x=1的傾斜角為___________
二．直線的斜率（共1小題）
2.（2022?徐匯區(qū)校級開學）若直線l的傾斜角為120°則l的斜率是__________．
三．直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系（共2小題）
3.（2022春?金山區(qū)期中）經(jīng)過A（1，0），B（0，）兩點的直線斜率為 ．
四．直線斜率與直線方向向量（共1小題）
4.過A(4,y),B(2,-3)兩點的直線的一個方向向量為n=(-1,-1),則y= ( )
A. B. QUOTE C.-1D.1
五．直線的點斜式方程（共1小題）
5．（2023春上海市·虹口·期中）設(shè)點，若直線l經(jīng)過點H，且與直線垂直（O為坐標原點），則直線l的方程為 ．
六．直線的斜截式方程（共1小題）
6.（2023春·上海市青浦區(qū)·二模）過點與直線垂直的直線方程為 .
七．直線的兩點式方程（共1小題）
7.（2022秋·上海浦東新·高二上海市川沙中學?？茧A段練習）已知中，
求邊所在直線的方程
八．直線的一般式方程（共1小題）
8．（2022春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學?？茧A段練習）已知直線經(jīng)過點，且與軸、軸的正半軸分別交于點A、點，是坐標原點.
(1)當?shù)拿娣e最小時，求直線的一般式方程；
(2)當取最小值時，求直線的一般式方程，并求此最小值．
九．直線方程的綜合應用（共2小題）
9.（2023春·浦東新區(qū)·模擬預測）過點且在軸，軸上截距相等的直線方程為
10.（2023春上海市·浦東新區(qū)·階段練習）方程所表示的圖形圍成的區(qū)域的面積是 .
十．兩條直線的平行關(guān)系（共2小題）
11.（2023春·上海市崇明·一模）已知方程組無解，則實數(shù)的值等于 .
12.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）直線過點且與直線平行，則直線的方程是__________.
十一．兩條直線的垂直關(guān)系（共2小題）
13.（2023春·上海市徐匯區(qū)·三模）已知直線，，若，則 .
14.（2023春·上海市長寧區(qū)·三模）已知直線和，若，則 .
十二．根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)（共1小題）
15.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）直線與直線的夾角，則a的取值范圍是______．
十三．兩直線位置關(guān)系的應用（共2小題）
16.（2023秋·上海市嘉定區(qū)·階段練習）直線與直線的夾角的正弦值為 .
17.（2023·上海市靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
十四．兩直線位置關(guān)系的綜合應用（共2小題）
18.（2023秋上海市·浦東新區(qū)·開學考試）已知定點與定直線：，過點的直線與交于第一象限點，與軸正半軸交于點，求使面積最小的直線方程為 .
19.（2023春·上海市控江中學高一下期末）已知直線：.
（1）若直線：求直線與直線的夾角；
（2）若直線與直線的距離等于，求直線的一般式方程.
十五．兩點間的距離（共1小題）
20.在平面直角坐標平面內(nèi)有四點，，，，為該平面內(nèi)的動點，則到、、、四點的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
十六．對稱問題（共1小題）
21.如圖，一束平行光線從原點出發(fā)，經(jīng)過直線反射后通過點，求反射光線所在的直線的方程.
22.（2023春·上海市松江區(qū)·階段練習）斜率為的直線過點為直線的一個法向量，坐標平面上的點滿足條件，則點到直線的距離為 .
23．（2023春上海市·徐匯·一模）已知正實數(shù)滿足，則的最小值 .
十八．綜合應用（共2小題）
24.（2023春·上海市·階段練習）平行直線與之間的距離為 ．
25．（2023·上海市松江區(qū)·階段練習）若對一個角，存在角滿足，則稱為的“伴隨角”.有以下兩個命題：
①若，則必存在兩個“伴隨角”；
②若，則必不存在“伴隨角”；
則下列判斷正確的是（ ）
A．①正確②正確；B．①正確②錯誤；
C．①錯誤②正確；D．①錯誤②錯誤.
一、填空題
1.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）直線x=1的傾斜角為___________
2.（2023春·上海市普陀·階段練習）設(shè)是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 .
3.（2022·上海市新中高級中學高三期中）直線 的傾斜角為_______.
4.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）直線2x-y-1=0的傾斜角是__________.
5.（2023春·上海市黃浦區(qū)·期中）過兩點的直線的傾斜角為，那么 .
6.（2023秋·上海市松江區(qū)·階段練習）若直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角是 .
7.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）己知直線l：，則原點到直線l的距離的最大值是______．
8.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）直線與直線的夾角，則a的取值范圍是______．
9．（2022·上海·曹楊二中模擬預測）直線與直線的夾角大小等于_________.
10.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）直線過點且與直線平行，則直線的方程是__________.
11．（2023上·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┮阎獂，y為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是 ．
12.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）一質(zhì)點在矩形內(nèi)運動，從的中點沿一確定方向發(fā)射該質(zhì)點，依次由線段、、反射.反射點分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點）.若、、和，則的斜率的取值范圍是_______.
二、單選題
13.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）“”是“直線與平行”的（ ）
A. 充要條件B. 充分非必要條件C. 必要非充分條件D. 非充分非必要條件
14.（2023春·上海市黃浦·二模）若直線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·上海市浦東新區(qū)·模擬預測）設(shè)點滿足，則“”是“為定值”的（ ）.
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
16.（2023春·上海市靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答題
17.（2023春·上海市奉賢中學高二第二學期期中）已知，，.
（1）求邊BC上的高所在直線的一般式方程；
（2）直線l經(jīng)過點A，且點B、點C到直線l的距離相等，求直線l的一般式方程.
18.（2023春·上海市復旦附中高二第二學期期中）已知兩條直線和.
（1）討論直線與的位置關(guān)系；
（2）當直線與平行時，求它們之間的距離；當直線與相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應的取值.
19．（2022上·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習）已知點P和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直：，：是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點．

(1)已知點、點和點分別是三條直線PQ，QR，RP上的點（A，B，C與P，Q，R均不重合），且直線PR，PQ是“共軛線對”，直線QP，QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；
(2)已知點，直線，是“共軛線對”，當?shù)男甭首兓瘯r，求原點O到直線，的距離之積的取值范圍．
20．（2023上·上海浦東新·高二校考階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點，光線經(jīng)過的重心．以點為坐標原點，以為軸（為正方向），建立平面直角坐標系．
(1)求的重心的坐標，及點的坐標；
(2)求的周長．
21．（2022春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學?？茧A段練習）如圖，已知，，，直線．
(1)證明直線經(jīng)過某一定點，并求此定點坐標；
(2)若直線等分的面積，求直線的一般式方程；
(3)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
目錄
新知導航：熟悉課程內(nèi)容、掌握知識脈絡
基礎(chǔ)知識：知識點全面梳理，掌握必備
學以致用：考點剖析，提升能力
小試牛刀：過關(guān)檢測，成果評定
傾斜角
直線
直線情況
平行于軸
由左向右上升
垂直于軸
由左向右下降
的大小
0°
的范圍
0
不存在
的增減性
隨增大而增大
隨增大而增大
一般式
斜截式
截距式
不同時為0）
都不為0）

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