第13講二項式定理-【寒假講義】高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）-試卷下載-教習網

【考點目錄】
【知識梳理】
知識點1 二項式定理
知識點2 二項式系數(shù)的性質
二項式系數(shù)是一組僅與二項式的冪指數(shù)n有關的n＋1個組合數(shù)，與a，b無關. 其性質如下：
(1)對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等. 事實上，這一性質可直接由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)__得到. 直線r＝eq \f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq \\al(r,n)的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.
(2)增減性與最大值：當keq \f(n＋1,2)時，Ceq \\al(k,n)隨k的增加而減少. 如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項，即Teq \f(n,2)＋1的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項T與Teq \f(n＋1,2)＋1的二項式系數(shù)相等且最大.
(3)各二項式系數(shù)的和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
知識點3 楊輝三角
楊輝三角是二項式系數(shù)組成的三角形數(shù)表(如下)，是我國數(shù)學史上一個偉大成就，教材設專題“探究”，這里列出一些最基本的結論.
(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1，2，3，4，…，第三層(含1，3)是三角形數(shù)列1，3，6，10，15，….
(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n).
(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1).
(4)第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋….
(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜左(右)下方的那個數(shù).
知識點4 賦值法求和
①“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關問題比較常用的方法. 對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
【考點剖析】
考點一展開式的特定項
（一）二項展開式
1．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實驗學校?？计谥校┰诙椪归_式中，常數(shù)項是_______.
2．（2023秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）二項式展開式中的常數(shù)項為（）
A．B．C．40D．80
3．（2023秋·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）若的二項展開式共有8項，則n=___________.
4．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）已知的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（）
A．B．C．D．
5．（2023·高二課時練習）已知二項式，求展開式中的：
(1)第6項；
(2)第3項的系數(shù)；
(3)含的項；
(4)常數(shù)項．
6．（2023·高二單元測試）若展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是______．
（二）兩個多項式積的展開式
7．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學?？茧A段練習）的展開式中的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
8．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（）
A．B．C．D．2
9．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考期末）的展開式中的常數(shù)項為（）
A．40B．60C．80D．120
10．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學?？计谥校?，則_________.
11．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二校聯(lián)考期末）的展開式中項的系數(shù)為（）
A．B．C．80D．200
（三）三項展開式
12．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）的展開式中，共有多少項？（）
A．45B．36C．28D．21
13．（2023·高二課時練習）的展開式中，的系數(shù)是（）
A．120B．-120C．60D．30
14．（2023秋·廣東佛山·高二校考階段練習）在的展開式中，含項的系數(shù)為（）
A．21B．15C．9D．-6
15．（2023·高二課時練習）在的展開式中的系數(shù)為________．
16．（2023秋·山東濟寧·高二鄒城市第二中學校考階段練習）在的展開式中，含項的系數(shù)為（）
A．B．480C．D．240
17．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習）展開式中的系數(shù)是___________.
18．（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考期中）的展開式中各項系數(shù)之和為______；展開式中含項的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
19．（2023·高二課時練習）的展開式的所有項的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)為______.
考點二二項式系數(shù)的性質與各項的和
（一）二項式系數(shù)和與系數(shù)和
20．（2023·高二課時練習）如果，則______.
21．（2023·高二課時練習）已知，則等于（）
A．B．C．D．
22．（2023秋·江蘇揚州·高二揚州市江都區(qū)丁溝中學?？计谀┤舳検降恼归_式中所有項的系數(shù)和為1024，則展開式中的常數(shù)項為（）
A．25B．C．15D．
23．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學校考期末）已知．求：
(1)；
(2)；
(3)．
25．（2023秋·廣東江門·高二校聯(lián)考期中）已知，則（）
A．224B．C．D．448
26．（2023秋·河北滄州·高二滄縣中學?？茧A段練習）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
27．【多選】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）若，則下列選項正確的是（）
A．
B．
C．
D．
28．【多選】（2023秋·重慶萬州·高二?？茧A段練習）若，則正確的是（）
A．
B．
C．
D．
29．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知展開式中，各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，則下列結論正確的為（）
A．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16
B．展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第三項
C．展開式中沒有常數(shù)項
D．展開式有理項為第四項、第六項
30．（2023·高二課時練習）已知，下列命題中，不正確的是（）
A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為
B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為
C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為
D．
（二）二項式系數(shù)的最值問題
31．（2023秋·浙江溫州·高二溫州中學校聯(lián)考期末）在二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第項系數(shù)為（）
A．B．C．D．
32．（2023·高二課時練習）已知在二項式的展開式中，僅有第9項的二項式系數(shù)最大，則展開式中，有理項的項數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
33．（2023秋·全國·高二專題練習）已知的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992．求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
34．（2023秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎恼归_式的二項式系數(shù)和為64
(1)求n的值；
(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
35．（2023春·湖南長沙·高二湘府中學?？茧A段練習）若二項式展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為______．
考點三整除和余數(shù)問題
36．（2023秋·山東·高二校聯(lián)考階段練習）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是____________.
37．（2023秋·廣東佛山·高二南海中學?？茧A段練習）設為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（）
A．B．2C．10D．11
38．（2023·高二單元測試）已知．求證：當為偶數(shù)時，能被64整除．
【過關檢測】
一、單選題
1．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（）
A．B．C．15D．20
2．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中各項系數(shù)的和為（）
A．16B．32C．1D．
3．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）若，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2023春·江蘇宿遷·高二沭陽如東中學校考期末）對任意實數(shù)x，有則下列結論成立的是（）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·云南曲靖·高二?？计谀┤?，則（）
A．
B．
C．展開式中的各項系數(shù)之和為 0
D．展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為
6．（2023秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列結論正確的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2023秋·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谀┑亩椪归_式中，系數(shù)最大的是第___________項.
8．（2023春·福建莆田·高二?？计谀┑恼归_式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中項的系數(shù)為 _____．
9．（2023秋·四川綿陽·高二?？计谀┤?，則__________.
10．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知，則_____．
四、解答題
11．（2023春·福建莆田·高二?？计谀┰诘恼归_式中，求：
(1)二項式系數(shù)的和；
(2)各項系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項系數(shù)和．
概念
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項式定理.
二項式
系數(shù)
各項的系數(shù)Ceq \\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù).
通項
Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二項展開式的通項，是展開式中的第k＋1項，可記做Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二項
展開式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項展開式.

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