一、單選題
1．集合，若且，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)真子集的定義即可得解.
【詳解】，
因?yàn)榍遥?br>所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.
故選：C.
2．已知函數(shù)，設(shè)甲：，乙：是偶函數(shù)，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，甲是乙的充分條件；
若為偶函數(shù)，則，則反向無法推出，
所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，
故選：A．
3．有一天，數(shù)學(xué)家笛卡爾在反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，這樣就可以用一組數(shù)表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組有順序的兩個(gè)數(shù)來表示，這就是我們常用的平面直角坐標(biāo)系雛形.如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，請利用平面直角坐標(biāo)系與向量坐標(biāo)，計(jì)算的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求得，根據(jù)即為向量與的夾角，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【分析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?，且分別為的中點(diǎn)，
則，可得，
可得，則，且，
因?yàn)榧礊橄蛄颗c的夾角，
可得.
故選：A.
4．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.
【詳解】依題意，則；
又，則
則，且，
所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，且最小.
所以若對任意正整數(shù)，都有，則有．
故選：B．
5．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較即可.
【詳解】由已知，，，
∵冪函數(shù)在單調(diào)遞增，且，∴，即；
又∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，即；
又∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，即；
綜上所述，，，的大小關(guān)系是.
故選：D.
6．在正方體中，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，連接，則可得即為與平面所成角，設(shè)，表示出，求出其范圍，從而可求出的范圍.
【詳解】解：設(shè)，連接，則，
因?yàn)樵谡襟w中，平面，平面，
所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
所以即為與平面所成角．
設(shè)，，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>故選：C．

7．已知奇函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性和單調(diào)性判斷即可.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，，
而，
所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，時(shí)
因?yàn)樗裕?br>由，即關(guān)于對稱，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
所以，
所以為的周期，
所以，
因?yàn)樗?br>所以
故選：C.
8．如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（ ）

（
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長與雙曲線交于點(diǎn)P＇，易得，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義得，進(jìn)而在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程，即可得離心率.
【詳解】延長與雙曲線交于點(diǎn)P＇，因?yàn)?，根?jù)對稱性知，

設(shè)，則，，可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，即，解得.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長與雙曲線交于點(diǎn)P＇，利用雙曲線對稱性及定義求出，最后在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程為關(guān)鍵.
二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若復(fù)數(shù)，滿足．則
D．若 ，則的最大值為4
【答案】BD
【分析】A令，即可判斷；B由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可得或即可判斷；C設(shè)（，），（，），利用復(fù)數(shù)模的求法及已知等量關(guān)系得到，乘法運(yùn)算求即可判斷；D由復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷復(fù)數(shù)、對應(yīng)點(diǎn)軌跡判斷.
【詳解】A：令，，則，但是虛數(shù)不能比較大小，錯(cuò)誤；
B：因?yàn)?，所以，即?br>則或，所以或，所以，正確；
C：設(shè)（，），（，），
由可得，
所以，
而，不一定為0，錯(cuò)誤；
D：設(shè)，，，因?yàn)椋?br>所以，即，，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在圓上，
因?yàn)閮蓤A的圓心距為，所以兩圓相外切，
則兩圓上的兩點(diǎn)的連線段最大值為，正確.
故選：BD
10．如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；
B．?dāng)?shù)列是等比差數(shù)列；
C．所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；
D．存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)所給等比差數(shù)列的定義逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對A，數(shù)列滿足，則，滿足等比差數(shù)列的定義，故A正確；
對B，數(shù)列，
，
不滿足等比差數(shù)列的定義，故B錯(cuò)誤；
對C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，滿足等比差數(shù)列，故C正確；
對D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
故當(dāng)時(shí)，滿足，故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即D正確；
故選：ACD
11．已知點(diǎn)，在圓上，點(diǎn)在直線上，則（ ）
A．直線與圓相離
B．當(dāng)時(shí)，的最大值是
C．當(dāng)、為圓的兩條切線時(shí)，為定值
D．當(dāng)、為圓的兩條切線時(shí)，直線過定點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】對A選項(xiàng)：計(jì)算圓心到直線的距離與半徑比較即可；對B選項(xiàng)：設(shè)出的中點(diǎn)，將求轉(zhuǎn)化為求即可得；對C選項(xiàng)：結(jié)合、，有、，即可計(jì)算；對D選項(xiàng)：設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合性質(zhì)算出直線方程，計(jì)算出定點(diǎn)即可得.
【詳解】對于A：因?yàn)榈街本€的距離，即直線與圓相離，A正確；
對于B，令的中點(diǎn)為，則，，
點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
，顯然當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無最大值，B不正確；

對于C，當(dāng)、為切線時(shí)，，，
所以在中，，
同理，
，故C正確.

對于D，設(shè)，當(dāng)、為切線時(shí)，，，
點(diǎn)、在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，由圓，
作差得直線為，
即，即有，解得，
所以直線過定點(diǎn)，D正確.
故選：ACD.
12．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．四面體P－ACD是鱉臑B．陽馬P－ABCD的體積為
C．陽馬P－ABCD的外接球表面積為D．D到平面PAC的距離為
【答案】BD
【分析】根據(jù)鱉臑定義判斷A，根據(jù)錐體體積公式判斷B，通過補(bǔ)形確定陽馬P－ABCD的外接球的直徑，結(jié)合球的體積公式判斷C，利用等體積法求D到平面PAC的距離判斷D.
【詳解】設(shè)，，，
由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，，，，
可得，解得
即，，．
對于A，由，，可得△PAC不是直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對于B，，故B正確；
對于C，將陽馬補(bǔ)形為長為2，寬為1，高為1的長方體，
可知其外接球直徑為，
故陽馬的外接球半徑，
表面積，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)D到平面的距離為h，
由，，
可得的面積為，
由等體積法，
可得，
解得，故D正確．
故選：BD.
三、填空題
13．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù) .
【答案】/
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實(shí)數(shù).
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
其準(zhǔn)線方程是，而
所以 ，即 ，
故答案為：
14．已知數(shù)列中，，若對任意，則數(shù)列的前項(xiàng)和 ．
【答案】
【分析】由，可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，結(jié)合累加法可得答案.
【詳解】由，且，可知，
則可化為，
則有，即是等比數(shù)列，
且公比為2，首項(xiàng)為，則，
所以
，
即數(shù)列的前項(xiàng)和為．
故答案為：.
15．已知，，，則
【答案】/
【分析】由、，借助，可先將消去，再結(jié)合輔助角公式，計(jì)算出的值，即可得的值.
【詳解】由，得，
得①，
由，得，
得②，
①②得：，
即，
.
故答案為：
16．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)，結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性分析可得對任意的恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)判定原函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】設(shè)，可知的定義域?yàn)椋?br>則，所以為奇函數(shù)，
因?yàn)?，可知在上單調(diào)遞增，
對于不等式，即，
可得，則，
可得，注意到，可得，
原題意等價(jià)于對任意的恒成立，
令，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取到最小值，
可得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.構(gòu)建函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)奇偶性，方便理解分析；
2.利用參變分離處理恒成立問題，這是常用處理技巧.
四、問答題
17．已知數(shù)列中，對于任意正整數(shù)，，都有且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)2039205
【分析】（1）令，即可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合即可得；
（2）先計(jì)算出的值，再計(jì)算出的值，求和即可得.
【詳解】（1）令，則由已知得，即，
又因?yàn)椋蕯?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
即有.
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
故
由，
故.
18．在鈍角中，內(nèi)角，，的對邊為，，，已知.
(1)若，求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可解得.
（2）先由三角形的內(nèi)角和及鈍角可求得，，結(jié)合正弦定理和三角恒等變換公式化簡得，換元轉(zhuǎn)化成函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)值域即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以
即，即，即,
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，，所?br>（2）由（1）知，，所以，
因?yàn)?，?br>所以或，
又因?yàn)樵阝g角中，故，所以，
所以為銳角，且，解得，所以
由正弦定理可得
，
令，則，，
對應(yīng)函數(shù)為，
，所以在為減函數(shù)，
所以，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，
所以的值域?yàn)椋?br>即的取值范圍為
五、應(yīng)用題
19．中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的瑰寶，中國象棋使用方形格狀棋盤，圓形棋子共有32個(gè)，紅黑各有16個(gè)棋子，擺動(dòng)和活動(dòng)在交叉點(diǎn)上．雙方交替行棋，先把對方的將（帥）將死的一方獲勝，為豐富學(xué)生課余生活，現(xiàn)某中學(xué)舉辦象棋比賽，經(jīng)過3輪的篩選，最后剩下甲乙丙三人進(jìn)行最終決賽．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙與甲，乙比賽獲勝的概率都為
(1)如果甲與乙采用5局3勝制比賽（其中一人勝3局即結(jié)束比賽），那么甲勝乙的概率是多少；
(2)若第一輪甲與乙比賽，丙輪空；第二輪由丙與第一輪的勝者比賽，敗者輪空；第三輪由第二輪比賽的勝者與第二輪比賽的輪空者比賽，如此繼續(xù)下去（每輪都只比賽一局），先勝兩局者獲得冠軍，每場比賽相互獨(dú)立且每場比賽沒有平局，求乙獲得冠軍的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意，分別求比三局、四局、五局甲獲勝的概率，由此能求出甲獲勝的概率．
（2）分第一輪乙勝、第一輪甲勝分別計(jì)算出概率即可.
【詳解】（1）記比三局甲獲勝的概率為，則，
比四局甲獲勝的概率為，則，
比五局甲獲勝的概率為，則，
則甲獲勝的概率為，
答：甲勝乙的概率為
（2）若第一輪乙勝，則第二輪由乙丙比賽，若第二輪乙勝，則結(jié)束比賽，且概率為；
若第二輪丙勝，則進(jìn)入第三輪甲丙比賽，必須甲勝，再進(jìn)入第四輪由甲乙比賽，并且乙獲勝結(jié)束比賽，且概率為；
若第一輪甲勝，則第二輪由甲丙比賽，必須丙勝，再進(jìn)入第三輪由丙乙比賽，必須乙勝，再進(jìn)入第四輪由甲乙比賽，乙獲勝，結(jié)束比賽，且概率為，
故乙獲得冠軍的概率為，
答：乙獲得冠軍的概率為.
六、解答題
20．如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點(diǎn)．
(1)證明：//平面；
(2)若二面角的正切為，，，， 求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，依題意可得面，進(jìn)而得到，則有，為的中點(diǎn)，再根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.
（2）根據(jù)已知條件求出各邊長，以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用進(jìn)行求解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，連接BO并延長交AC于點(diǎn)M，連接.
因?yàn)?，所?
因?yàn)槭侨庵母撸悦妫?br>又面，所以.
因?yàn)椋?，面，所以面?br>因?yàn)槊?，所?
因?yàn)?，所以，故為的中點(diǎn).
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又，平
所以平面.
（2）由（1）可知，為二面角的平面角，
因?yàn)榍叶娼堑恼袨?，所?
在中，，所以，
則在中，，
因?yàn)?，且根?jù)最小角定理，
，，
所以，，
所以，，，.
如圖以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
所以
所以設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為；
又，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
21．已知：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)為和定直線距離之比為，
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程；
(2)若直線與曲線C的交點(diǎn)為M，N，點(diǎn)，
當(dāng)滿足 a 時(shí)，求證： b .
①;
②;
③直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
④直線的斜率是定值，并求出定值.
請?jiān)冖佗诶镞x擇一個(gè)填在a處，在③④里選擇一個(gè)填在b處，構(gòu)成一個(gè)真命題，在答題卡上陳述你的命題，并證明你的命題
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用給定條件列出方程，再化簡方程即得.
（2）分別選擇①③和②④，聯(lián)立直線與曲線C的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合所選條件列式計(jì)算即得，選①④和②③分析不能構(gòu)成真命題即可.
【詳解】（1）設(shè)，P到的距離為d，依題意，，則，
化簡得，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程是.
（2）選①③，當(dāng)滿足時(shí)，求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
由消去并整理得：，
，設(shè)，
于是，
由，得，
即，
整理得，
于是，
整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，
所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.
選①④，當(dāng)滿足時(shí)，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.
由選①③的解析知，直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其斜率不是定值，則①④構(gòu)成的命題不是真命題.
選②④，當(dāng)滿足時(shí)，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.
由消去并整理得：，
，設(shè)，
于是，
由，得，
整理得，，
化簡得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，直線的斜率是定值，此定值為.
若選②③，當(dāng)滿足時(shí)，求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
由選②④的解析知，當(dāng)滿足時(shí)，直線的斜率是定值，直線是平行直線，不可能過定點(diǎn)，
因此②④構(gòu)成的命題不是真命題.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
七、證明題
22．已知函數(shù).
（1）求在處的切線方程；
（2）求證：；
（3）求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）（2）見解析（3）見解析
【分析】（1）求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理可得切線方程為；
（2）根據(jù)圖像與切線關(guān)系，先證，再證，通過構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)法求出即可；
（3）對再求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，再由零點(diǎn)存在性定理，可得存在唯一的，使得，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，再由，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1），，，
故在處的切線方程為；
（2）先證.令，
，設(shè)
，故在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
為的極小值也是最小值，
故，故成立；
再證.
令，，
令得，故在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，是的極小值也是最小值，
故，故成立.
綜上知成立.
（3），
設(shè)
，
故在上單調(diào)遞增，
因，，
故根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知存在唯一的，使得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)0；且
又因?yàn)椋?br>故存在唯一使得，
因此有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式的證明、函數(shù)零點(diǎn)，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

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