2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

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2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則集合的所有非空真子集的個(gè)數(shù)是（    ）A．6 B．7 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)自然數(shù)集的特征，結(jié)合子集的個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以集合的元素個(gè)數(shù)為，因此集合的所有非空真子集的個(gè)數(shù)是，故選：A2．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在定理可直接判斷.【詳解】，,，由零點(diǎn)存在定理可知，在內(nèi)必有零點(diǎn).故選：C3．集合，集合，若，那么實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題得，再對(duì)分三種情況討論得解.【詳解】由題得，因?yàn)?/span>，所以,.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為.故選：D4．已知，且，則的最小值為（    ）A．3 B． C．25 D．12【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B5．若命題“，”為假命題，則的取值范圍是（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】先轉(zhuǎn)化為命題的否定，再由一元二次不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”，該命題為真命題，即，解得.故選：A6．已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，若在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，考慮和兩種情況，題目轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)函數(shù)值結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，即，故；當(dāng)時(shí)，，即，故.綜上所述：故選：C7．若且，：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)大于零，另一個(gè)零點(diǎn)小于零；則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)互逆命題的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系、充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)的一個(gè)根大于零，另一根小于零，則，解得，因?yàn)槊}：若，則的逆否命題為：若，則，由是的真子集，因此是的必要不充分條件．故選：B．8．已知定義在上函數(shù)，對(duì)任意的，且，都有，若函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（    ）A． B．C． D．的值與0的大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱中心，然后已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意可知：定義在上函數(shù)，且，都有，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，則，也即，又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，設(shè)，則，則有，又因?yàn)?/span>，則，故選：. 二、多選題9．設(shè)、、為正實(shí)數(shù)，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷ACD選項(xiàng)的正誤；利用作差法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于、為正實(shí)數(shù)，且，所以，，即，由不等式的性質(zhì)可得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于、、為正實(shí)數(shù)，且，則，所以，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，所以，，即，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，又，因此，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10．設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，并且同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)，，都有；②；則下列結(jié)論正確的是（    ）A．；B．不等式的解集為C．；D．使有解的所有正數(shù)的集合為.【答案】AB【分析】選項(xiàng)AC賦值法即可求解，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果，即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)條件把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式有解，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】因?yàn)閷?duì)，，都有，令，即，則，故選項(xiàng)A正確；又，再令，，，解得，令，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由已知，，根據(jù)題干給出的條件有：，當(dāng)，時(shí)，，即，于是等價(jià)于，函數(shù) 單調(diào)遞減，，，且，解得：，所以的取值范圍為，故選項(xiàng)B正確；同理，不等式可化為且，，得，此不等式有解，等價(jià)于，在的范圍內(nèi)，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，，故即為所求范圍，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．11．設(shè)函數(shù)，存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是（    ）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分、、三種情況討論，當(dāng)時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)只需函數(shù)在斷點(diǎn)處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>，若，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)不存在最小值；若，則，此時(shí)，符合題意；若，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，此時(shí)在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)存在最小值，只需，解得，綜上可得.故選：ABC12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若對(duì)任意，都存在正數(shù)使得總成立，則稱函數(shù)是定義在上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】分別求出四個(gè)函數(shù)的值域，對(duì)照“有界函數(shù)”的概念即可判定．【詳解】，令，，則，即，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值，即，，此時(shí)不存在正數(shù)使得總成立，故不是定義域?yàn)?/span>有界函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，有，所以，是定義域?yàn)?/span>有界函數(shù)，B選項(xiàng)正確；，令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，有，所以，故函數(shù)是定義域?yàn)?/span>有界函數(shù)，C選項(xiàng)正確；，有，所以，是定義域?yàn)?/span>有界函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：BCD 三、填空題13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則的定義域是________．【答案】【分析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，再根據(jù)求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，解得，所以，的定義域是.故答案為：14．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然該函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的對(duì)稱軸為：，要想該函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需滿足，綜上所述：的取值范圍是，故答案為：15．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為___________．【答案】【分析】法八：利用基本不等式，即可求解.【詳解】[方法一]：（代換，用判別式法）設(shè)，則，代入，得，由得，因此.[方法二]：（代換，構(gòu)造一元二次方程用判別式法）設(shè)，則，則2x、y可看作關(guān)于m的方程的兩個(gè)實(shí)根，由得，因此.[方法三]：（構(gòu)造向量法）令，.則，即的最大值為.[方法四]：（待定系數(shù)法）令則解得故，化簡(jiǎn)得.［方法五］：（代換消項(xiàng)結(jié)合放縮法）令，則，則原題等價(jià)于：已知，求2a的最大值.由的幾何意義得，即得.即.［方法六］：（換元法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解）令則.即，即，則..故.［方法七］：（三角換元結(jié)合均值不等式求解）令代入條件方程得.則.故.故答案為：．［方法八］：【最優(yōu)解】基本不等式，即，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào))故答案為：．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：換元利用判別式法求出；法二：代換構(gòu)造一元二次方程根據(jù)判別式法求出；法三：構(gòu)造向量利用求出；法四：構(gòu)造平方和，利用平方數(shù)自身的范圍求出；法五：代換利用橢圓的幾何性質(zhì)求出；法六：利用三角代換求出，是該類型題的常用方式；法七：利用三角代換結(jié)合基本不等式求出；法八：直接利用基本不等式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解． 四、雙空題16．已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，如果關(guān)于的方程恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么______；______.【答案】     ##0.5     ##-1.5【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到可能有個(gè)解，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖像得到，利用韋達(dá)定理計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：設(shè)，則，根據(jù)圖像，可能有個(gè)解.當(dāng)方程無(wú)解時(shí)，不滿足；當(dāng)方程有一個(gè)解時(shí)，最多有6個(gè)解，不滿足；當(dāng)方程有兩個(gè)解時(shí)，和共有7個(gè)解，故.故，解得.故答案為：； 五、解答題17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；(1)求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意列式求解，再由集合的交集求解，（2）由集合間關(guān)系列式求解，【詳解】（1）由得，故，由得，故，則（2）當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上，的取值范圍是18．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，；(1)求函數(shù)的解析式并畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若方程有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合；(3)求不等式的解集.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或或；(3)或； 【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義即可求解析式，從而可得函數(shù)的圖象，利用圖象即可得單調(diào)增區(qū)間；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求解；（3）對(duì)分類討論，求出不等式的解集，再求并集即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，則，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以函數(shù)的解析式為，作出函數(shù)的圖象如下：由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）若方程有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知或或，所以實(shí)數(shù)的取值集合是或或；（3）當(dāng)時(shí)，不等式即為，即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式即為，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，不等式即為，即，解得；綜上，不等式的解集為或；19．已知、是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于的不等式組，解出即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件建立關(guān)于的方程，解出即可；（3）轉(zhuǎn)化為不等式求解即可．【詳解】（1）依題意，，解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由韋達(dá)定理有，，若，則，解得或，由（1）知且，舍去，故；（3）即，即，即，由于且，則，所以不等式的解集為．20．已知函數(shù)，；(1)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)求滿足不等式的的取值范圍；(3)求函數(shù)的值域.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合一元二次不等式的解法求解即可；（3）換元，轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)，利用單調(diào)性求范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】（1）任取且，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）由于，在上單調(diào)遞增，則由不等式可得，即，解得，所以滿足不等式的的取值范圍是；（3）令，則，由于在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，所以，所以函數(shù)的值域是21．世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車主要分三類：純電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車和燃料電池電動(dòng)汽車.這3類電動(dòng)汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國(guó)的電動(dòng)汽車革命也早已展開(kāi)，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬(wàn)元），且；已知每輛車售價(jià)5萬(wàn)元，由市場(chǎng)調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1);(2)100（百輛），2300萬(wàn)元. 【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)收入-總成本，即可求得（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分段求得函數(shù)的最大值，比較大小可得答案.【詳解】（1）由題意知利潤(rùn)收入-總成本，所以利潤(rùn)  ,故2022年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為 .（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)取得等號(hào)；綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100（百輛）時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為2300萬(wàn)元．22．已知函數(shù)，，(1)若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式對(duì)及都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意在上的值域是在上的值域的子集，通過(guò)分類討論函數(shù)單調(diào)性，求解函數(shù)最值，解不等式組求出實(shí)數(shù)的取值范圍.（2） 在為單調(diào)增函數(shù)，所以，由 對(duì)任意都恒成立，求解t的取值范圍.【詳解】（1）由題意在上的值域是在上的值域的子集，即，函數(shù) 在上是增函數(shù)， ， ，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，， ，∴ ， 此時(shí)無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，， ， ， 此時(shí)無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，， ，解得 ；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，∴ ， 解得；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .（2）由題意知，對(duì)任意都恒成立，由 在為單調(diào)增函數(shù)，所以，即對(duì)都恒成立，  ，解得，即t的取值范圍為 .