一、單選題
1．設(shè)集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>故選：B
2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】根據(jù)模長公式以及復(fù)數(shù)的除法求，進(jìn)而結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，由題意可得：，
則，
所以對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
3．哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內(nèi)容是“每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”，則該猜想的否定為（ ）
A．每一個小于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和
B．存在一個小于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和
C．每一個大于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和
D．存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確否定，即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯誤;
哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”.
故選：D.
4．習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實(shí)基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度 （單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指對數(shù)轉(zhuǎn)化可求燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值.
【詳解】令，則，
故，
故選：C.
5．“”是“”的（ ）
A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域判斷充分性和必要性即可.
【詳解】可得，則，但是當(dāng)時，，有可能小于零，此時不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6．已知，設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較可知，又，則可比較三個數(shù)的大小，又在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性可得到大小關(guān)系.
【詳解】解： 因?yàn)?，，且，又，所以有?br>又在上單調(diào)遞減，所以.
故選：A
7．已知數(shù)列的前n項和，正項等比數(shù)列滿足，，則使成立的n的最大值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得，由此求得，由此解不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以.
所以，
設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，，
所以，
所以，
由得，
所以的最大值為.
故選：D
8．定義在上的函數(shù)滿足，則下列是周期函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造特殊函數(shù)排除法即可.
【詳解】由題意可知，滿足題意.
選項A，，是周期函數(shù).
而選項B，，選項C，，選項D，，均不是周期函數(shù)，故排除BCD.
選項A，證明：設(shè)，
，
則是以為周期的函數(shù).
故選：A.
二、多選題
9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則向量，的夾角是
【答案】BD
【分析】AB選項，由向量平行和垂直得到方程求出答案；C選項，先計算出，利用模長得到方程，求出的值；D選項，利用向量夾角余弦公式求出答案.
【詳解】A選項，由，得，解得，則A錯誤，
B選項，由，得，解得，則B正確，
C選項，由，
因?yàn)?，所以，解得或，則C錯誤．
D選項，由，得，，
則，
因?yàn)?，所以?br>從而向量，的夾角是，故D正確．
故選：BD
10．已知函數(shù)的最大值為2，則（ ）
A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．是圖象的一條對稱軸D．在上單調(diào)遞增
【答案】AD
【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定即可.
【詳解】易得，
則，即A正確；
所以，當(dāng)，，即B錯誤；
同理，即C錯誤；
，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時單調(diào)遞增，即D正確.
故選：AD
11．在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線異面
B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積是正方體體積的
D．平面截正方體所得的截面是等腰梯形
【答案】ABD
【分析】根據(jù)異面直線定義、面面平行的判定定理以及性質(zhì)定理以及三棱錐的體積求解方法可求得正確.
【詳解】對于A，因?yàn)槠矫?，平面，平面?br>所以與異面，A正確；
對于B，取的中點(diǎn)為M，連接、GM，
則，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
又平面，平面，故平面，
同理可得，平面，
因?yàn)?，平面，所以平面平面?br>又平面，從而平面，B正確；
對于C，設(shè)正方體棱長為a，三棱錐的體積，
而正方體的體積為，故C錯誤．
對于D，連接，，易得，
所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，故D正確.
故選：ABD．
12．已知為正實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為
【答案】BC
【分析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，由，得，然后對條件進(jìn)行配湊變形，利用基本不等式對選項一一分析即可確定答案.
【詳解】A選項，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，
則，
令，，則，解得，
所以，
即，即，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
故的最大值為，A錯誤；
B選項，由，得，
則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
此時取得最小值，B正確；
選項C，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最小值為，即C正確；
選項D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
此時取得最小值，D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
13．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和的公式轉(zhuǎn)化求解即可得的值.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項和為，且
所以，即
所以.
故答案為：.
14．已知，則 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)正弦和角公式得到，進(jìn)而求出，利用二倍角公式求出答案.
【詳解】因?yàn)?，而?br>因此，
則，
所以.
故答案為：
15．若直線是函數(shù)的圖象在某點(diǎn)處的切線，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】利用求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程，從而求得.
【詳解】令，解得，所以切點(diǎn)為，
將代入切線得.
故答案為：
16．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)條件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，則三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，即外接圓的直徑為，進(jìn)而求出外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.
【詳解】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，
中E為斜邊AB中點(diǎn)，所以到各點(diǎn)的距離相等，
則三棱錐外接球的直徑為，
故三棱錐外接球的表面積為．

故答案為：
四、解答題
17．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】(1)對稱中心，單調(diào)遞減區(qū)間
(2)最小值為，最大值為2.
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再代入正弦函數(shù)的對稱中心與單調(diào)遞減區(qū)間求解即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與最值求解即可.
【詳解】（1），
令，則，
故的對稱中心為.
令，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）由題意，，
故，，則.
故在上最小值為，最大值為2.
五、證明題
18．已知數(shù)列滿足，，滿足，.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列中滿足的所有項的和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)2046
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的定義可以得證，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式解得的通項公式；
（2）先求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)解出的值，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式得出結(jié)果.
【詳解】（1）解：由，解得，
因?yàn)椋?br>所以由等差數(shù)列的概念得，數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列.
數(shù)列的通項公式為，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，
所以，
因?yàn)?，即得到?br>又，
所以，解得，且，
所以滿足題意的為數(shù)列的前10項，記的前項和為，
則，
所以數(shù)列中滿足的所有項的和為.
六、解答題
19．中，有，其中分別為角的對邊.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化即可結(jié)合和差角公式以及同角關(guān)系求解，
（2）根據(jù)向量的模長公式，求解邊長，由面積公式即可求解.
【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
因?yàn)椋瑒t，
所以，，則，
所以，，故.
（2）因?yàn)?，所?br>所以①
又②
由①，②得：，所以
七、證明題
20．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；
(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)AF的長為4；．
【分析】（1）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面DCE的法向量，計算出，證明出BG與平面DCE不平行；
（2）由BF與平面DCE所成角的正弦值計算出AF的長，從而求出梯形ABEF的面積，計算出四棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BEF，AB，平面ABEF，
所以，，
又，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，

所以，，，
設(shè)平面DCE的法向量為，則，
令，則，所以，
因?yàn)?，且不存在使得與垂直，
所以BG與平面DCE不平行；
（2）設(shè)（且），則，所以，
∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，
∴，
化簡得，解得或（舍去）；故．
此時梯形ABEF的面積，故．
八、解答題
21．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角、的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，.已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求的值；
(2)記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，且，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，，結(jié)合兩角差的余弦公式計算即可求解；
（2）由（1）可得，利用余弦定理和基本不等式的應(yīng)用可得，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，是銳角，所以，在第一象限，
又因?yàn)椋趩挝粓A上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，，
所以，.
故.
（2）由（1）中結(jié)論可得，又，∴，
由余弦定理可得，即，
∵，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，
即當(dāng)為等邊三角形時，周長最大，最大值為6.
22．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
(1)求曲線在處的曲率的平方；
(2)求余弦曲線曲率的最大值；
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用曲率的定義依次求，，從而代入即可得解；
（2）利用曲率的定義求得關(guān)于的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)基本關(guān)系式與換元法，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，，
所以，
故.
（2）因?yàn)?，則，，
所以，
則，
令，則，，
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，則最大值為1，
所以的最大值為1．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解曲率的定義，從而利用導(dǎo)數(shù)即可得解.

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