一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再根據(jù)并集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以．
故選：A.
2．已知向量，，若，則（ ）
A．10B．40C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量平行性質(zhì)求出，根據(jù)向量坐標(biāo)模的計(jì)算公式即可.
【詳解】因?yàn)椋?，則．
故選；.
3．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．25B．36C．42D．56
【答案】B
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用求出最值.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為36.
故選：B.
4．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若，，則（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】由題設(shè)易知數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求公比，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.
【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，
則，得，解得（舍去），
所以．
故想：C
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及特殊點(diǎn)一一判定即可.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，
而為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
應(yīng)該為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積，排除B與D.
又因?yàn)?，不滿足，排除A，
滿足，C正確.
故選：C
6．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】點(diǎn)在單位圓上，則，
所以．
故選：B.
7．已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
【詳解】因?yàn)?，，則，所以，
又，可得，令，
則原題意等價(jià)于，，即，
，當(dāng)時(shí)，取到最大值，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
故選：C
8．曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.
【詳解】因?yàn)?，所以所求切線方程為，
令，則，
令，則.
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以.
因?yàn)?，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.
故選：B.
二、多選題
9．設(shè)非零向量，滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即，所以，A錯(cuò)誤，B正確.
因?yàn)?，所以，所以，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)知關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)知關(guān)于對(duì)稱，根據(jù) ， 知，周期為 ，求值即可.
【詳解】由為奇函數(shù)得，
令 ，則，即，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
因?yàn)?，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
由和知，，
所以，所以的周期為8，
由知，當(dāng)時(shí)，，A正確；
因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以，
由的周期為8知，，C正確；
因?yàn)榈闹芷跒?，所以，題干所給條件不足，所以BD錯(cuò).
故選：AC
11．信號(hào)處理是對(duì)各種類型的電信號(hào)，按各種預(yù)期的目的及要求進(jìn)行加工過程的統(tǒng)稱，信號(hào)處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)，聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.而信號(hào)處理背后的“功臣”就是余弦型函數(shù)，的圖象就可以近似地模擬某種信號(hào)的波形，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．為周期函數(shù)，且最小正周期為D．設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則
【答案】ABD
【分析】證明判斷A，通過判斷B，通過是否有判斷C，求出導(dǎo)函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷D．
【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，A正確；
因?yàn)?br>，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；
因?yàn)?，所以的最小正周期不是，C錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然取等號(hào)的條件不成立，所以，D正確.
故選：ABD．
12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，的公差為，則（ ）
A．B．
C．若為等差數(shù)列，則D．若為等差數(shù)列，則
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由等差數(shù)列性質(zhì)得到；C選項(xiàng)，計(jì)算出，要想為常數(shù)，則，故C不正確；D選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)特征得到，D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，，而不一定相等，A不正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>若為等差數(shù)列，則
，
要想為常數(shù)，則，故C不正確；
D選項(xiàng)，由題可知，
若為等差數(shù)列，則為關(guān)于的一次函數(shù)，
所以，即，故D正確．
故選：BD
三、填空題
13．在中，D為CB上一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則 ．
【答案】/0.1
【分析】由平面向量的線性運(yùn)算和三點(diǎn)共線的充分必要條件得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以，
所以，解得．
故答案為：
14．已知：“”，：“”，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】的解為，的解為：，再根據(jù)是的必要不充分條件，從而求解.
【詳解】對(duì)于，由可解得，
對(duì)于，由可解得，
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以解得．
故的取值范圍為：.
故答案為：.
15．生物學(xué)家為了了解某藥品對(duì)土壤的影響，常通過檢測(cè)進(jìn)行判斷.已知土壤中某藥品的殘留量y（mg）與時(shí)間t（年）近似滿足關(guān)系式（），其中a是殘留系數(shù)，則大約經(jīng)過 年后土壤中該藥品的殘留量是2年后殘留量的.（參考數(shù)據(jù)：，答案保留一位小數(shù)）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，得出等式關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
由，得
故答案為：
16．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，我們把取整函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，.已知等差數(shù)列滿足，，，則 .
【答案】8
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，根據(jù)得到，然后利用裂項(xiàng)相消的方法得到，隨后根據(jù)定義求即可.
【詳解】根據(jù)題意得，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以.
故答案為：8.
四、解答題
17．已知遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可；
（2）利用分組求和的方法計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根據(jù)題意得
.
18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角B的大??；
(2)若的面積為6，，求b的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，即可求解.
（2）利用三角形面積公式求解，然后利用余弦定理求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?，又，，所?
（2）因?yàn)?，所?
由余弦定理可得，
所以.
19．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且向量，，.
(1)求角A的大?。?br>(2)若為上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到，計(jì)算化簡(jiǎn)得到，根據(jù)余弦定理得到答案.
（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用均值不等式得到，計(jì)算面積得到最值.
【詳解】（1），故，
即，故，
整理得到，即，，故.
（2），，故為等邊三角形，即，

中：，
即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
.
20．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)極值點(diǎn)的意義求出并驗(yàn)證即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
由在處取得極值，得，解得，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在處取得極值，
所以.
（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，而，即，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?
21．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及其最小值.
【答案】(1)；
(2)，的最小值為.
【分析】（1）根據(jù)已知求得，把n分為奇數(shù)、偶數(shù)分別求得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，求出，再利用錯(cuò)位相減法求和并求出其最小值即得.
【詳解】（1）由，得，兩式相減得，
而，，則，
因此當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，
，
則有，
兩式相減得
，
因此，
顯然當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，
又，因此，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和，的最小值為.
22．已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)單調(diào)性即可得出的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性可得，，即可知，求出函數(shù)最大值即可得出證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>.
令，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
令，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明：令，
則.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)?，，所以，即單調(diào)遞減.
又，，
所以存在，使.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
即可得.
因?yàn)椋裕?br>即，所以.
因?yàn)?，所以，且在上單調(diào)遞減，
所以，同時(shí)，可得.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式問題可根據(jù)不等式的特征，合理構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題即可.

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