一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式確定集合，然后根據(jù)交集的定義計算．
【詳解】得，所以，
由得，則，所以．
故選：B．
2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)形式，由復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)平面內(nèi)點一一對應(yīng)即可求解.
【詳解】由題意可得，，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為，
因為是第一象限的點，
故選：A
3．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因為，，即，因此，.
故選：B.
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦的二倍角公式即可求解.
【詳解】.
故選：B.
5．盲盒，是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，已知某盲盒產(chǎn)品共有2種玩偶.假設(shè)每種玩偶出現(xiàn)的概率相等，小明購買了這種盲盒3個，則他集齊2種玩偶的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列舉出所有可能的情況，查出能集齊2種的情況有6種，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.
【詳解】假設(shè)2種玩偶分別為，則買3個盲盒，
出現(xiàn)的玩偶為，，，，，，，共八種，
其中集齊2種的情況有6種，
所以集齊2種的概率為，
故選：A.
6．在△ABC中，D為BC中點，M為AD中點，，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象及其性質(zhì)，即可得出，，進而根據(jù)，即可求出的值，即可得出答案.
【詳解】
因為是的中點，所以，.
又因為是的中點，
所以，，
又，所以，，所以．
故選：A．
7．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知在上恒成立，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】，則，
因為為上的增函數(shù)，故在上恒成立，即在上恒成立，
對任意的，，故.
故選：B.
8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)程序框圖依次執(zhí)行即可得出.
【詳解】第一次運行，是偶數(shù)，，
第二次運行，是奇數(shù)，，，
第三次運行，是偶數(shù)，，
第四次運行，是奇數(shù)，，終止運行，輸出．
故選：C.
9．已知變量，滿足約束條件則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先作出可行域，由，得，作出直線，向上平移過點M時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，求出點M的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可求得結(jié)果.
【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，
由，得，作出直線，向上平移過點M時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，
由，得，即，
所以的最小值為，
故選：D.
10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，，以及，即可求解.
【詳解】∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴.
∵，∴.
故選：D
11．已知命題：“關(guān)于的方程有實根”.若為真命題的充分不必要條件為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)知為假命題，結(jié)合一元二次方程的判別式求參數(shù)范圍，再根據(jù)充分不必要關(guān)系求m范圍.
【詳解】若為真命題，則為假命題，
此時關(guān)于的方程沒有實根，滿足，解得.
因為是的充分不必要條件，則，可得.
故選：C
12．已知，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的對稱軸方程為
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．當(dāng)時，的值域為
【答案】C
【分析】對于選項A,因為，所以的最小正周期為，所以選項A錯誤；
對于選項B, 的圖象的對稱軸方程為，所以選項B錯誤；
對于選項C， 的單調(diào)遞增區(qū)間為（，所以選項C正確；
對于選項D， ，所以選項D錯誤．
【詳解】對于選項A,因為
，
所以的最小正周期為，所以選項A錯誤；
對于選項B,由，得，
即的圖象的對稱軸方程為，所以選項B錯誤；
對于選項C，由，得
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（，所以選項C正確；
對于選項D，因為，所以，所，
所以，所以選項D錯誤．
故選：C
二、填空題
13．已知，，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩向量垂直時，數(shù)量積為0，再代入坐標(biāo)計算即可得解.
【詳解】解：由題意可知，，解得.
故答案為：
14．從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經(jīng)過乙地中轉(zhuǎn)，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有 種．
【答案】12
【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得答案.
【詳解】由分步乘法計數(shù)原理知從甲地去丙地可選擇的出行方式有（種）．
故答案為：12.
15．已知實數(shù)，，且，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立．
所以，的最小值為.
故答案為：.
16．若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的最小值是 ．
【答案】/
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求的最大值，得a的最小值.
【詳解】由，可得，，可得，
令，可得，
令，有，
令，可得；令，可得；
可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，故，即a的最小值為．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題.
三、解答題
17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．
(1)求角的大小；
(2)若點為的中點，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；
（2）在中由余弦定理求出，再在中，由余弦定理計算可得；
【詳解】（1）解：因為，
所以，即，所以，
因為，所以
（2）解：在中，由余弦定理有，
即，解得或（舍去），
又為的中點，所以，即，
在中，由余弦定理有，
即，所以；
18．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，即可得解；
（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再和端點值比較即可得解.
【詳解】（1）由題意，，
因為曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，
所以，，
又當(dāng)時，y＝f(x)有極值，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
又，，，，
所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.
19．新高考，取消文理科，實行“”，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成．為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機調(diào)查50人（把年齡在稱為中青年，年齡在稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：
附：．
(1)分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率；
(2)請根據(jù)上表完成列聯(lián)表，是否有的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)?
【答案】(1)中青年對新高考了解的概率為，中老年對新高考了解的概率為．
(2)有的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)．
【分析】（1）利用概率公式即可求解；
（2）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論；
【詳解】（1）由已知可得中青年對新高考了解的概率為，
中老年對新高考了解的概率為．
（2）列聯(lián)表如下所示：
所以，所以有的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)．
20．某市移動公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對使用兩種套餐的集團用戶進行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個人數(shù)超過1000的大集團和3個人數(shù)低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調(diào)查，若一次抽取2個集團，全是大集團的概率為．
(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；
(2)若一次抽取3個集團，假設(shè)取出大集團的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算全為小集團的概率值；
（2）由題意知隨機變量的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．
【詳解】（1）由題意知共有個集團，取出2個集團的方法總數(shù)是，其中全是大集團的情況有，故全是大集團的概率是，
整理得到，解得．
若2個全是大集團，共有種情況；
若2個全是小集團，共有種情況；
故全為小集團的概率為．
（2）由題意知，隨機變量的可能取值為，
計算，，，
，；
故的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為．
21．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若為函數(shù)的正零點，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，然后分，和討論導(dǎo)數(shù)符號即可得單調(diào)區(qū)間；
（2）先由（1）中結(jié)論將不等式轉(zhuǎn)化為，然后可轉(zhuǎn)化為，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，由單調(diào)性可證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．
，
①當(dāng)即時，，函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
②當(dāng)時，由，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
③當(dāng)時，由，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）證明：當(dāng)時，由及函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可知等價于．
又由，等價于證明，
又由，
令，有，
可得
，
令，則，
可得函數(shù)單調(diào)遞減，則，
可得當(dāng)時，．
故有，可得得證．
【點睛】本題難點在于利用單調(diào)性和零點定義將不等式轉(zhuǎn)化為，然后通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性可證.
22．已知傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在直角坐標(biāo)系中，，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．直線與曲線交于兩點．
(1)求的值及曲線的直角坐標(biāo)方程；
(2)求的值．
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意和直線的參數(shù)方程的特征，可得;利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，消元后,利用韋達(dá)定理即可.
【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），可知;
所以直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.
因為曲線的極坐標(biāo)方程為，所以，
利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化可得：，
化簡可得的直角坐標(biāo)方程為：.
（2）因為，且直線與曲線交于兩點,
所以將直線 代入，
可得：，整理得：，
所以，所以.
23．已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分區(qū)間去絕對值即可求解，
（2）根據(jù)有解有解，利用絕對值的意義求出的最大值即可．
【詳解】（1）由題意得，得，
當(dāng)時，不等式變形為，解得，故，
當(dāng)時，不等式變形為，解得，故，
當(dāng)時，不等式變形為，解得，故，
綜上可得，不等式的解為
（2）有解，
有解，
，
,，
即的取值范圍是,．
年齡（歲）
頻數(shù)
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
1
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解新高考
不了解新高考
總計
中青年
中老年
總計
了解新高考
不了解新高考
總計
中青年
22
8
30
中老年
8
12
20
總計
30
20
50

0
1
2
3

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