一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】應用集合的交運算求集合即可.
【詳解】由題設.
故選：A
2．已知，，若，則的虛部是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)相等求出a，b，然后由共軛復數(shù)和虛部概念可得.
【詳解】因為，
所以，所以，故的虛部為.
故選：A
3．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的概念、和角公式運算即可得解.
【詳解】由題意，，解得：，則，
∴角的終邊與單位圓交于點，
∴，，
∴.
故選：B．
4．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中項的系數(shù)（ ）
A．15B．54C．12D．-54
【答案】B
【分析】利用賦值法，結合二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】因為二項式系數(shù)的和是16，
所以，
二項式的通項公式為，
令，所以展開式中項的系數(shù)，
故選：B
5．設等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充要條件的定義及等比數(shù)列的和與項的關系即可判斷.
【詳解】若，，則，則為遞減數(shù)列．
若為遞增數(shù)列，則，，．
所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．
故選：B．
6．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可列不等式求解.
【詳解】由于的定義域為，關于原點對稱，
且故為偶函數(shù)，
而當為單調(diào)遞增函數(shù)，故當，單調(diào)遞減，
由可得，平方得，解得或，
故的取值范圍是，
故選：C
7．已知不等式的解集是，則下列四個命題：
① ：
② ；
③ 若不等式的解集為，則；
④ 若不等式的解集為，且，則.
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因為有且只有一個零點，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式的性質(zhì)以及韋達定理，即可得答案；
【詳解】由題意，，
∴ .
對于①：，
等號當且僅當時成立，所以①正確；
對于②：，
等號當且僅當，即時成立，
∴ ② 正確；
對于③：由韋達定理，知，∴ ③ 錯誤；
對于④：由韋達定理，知，
則，
解得，∴ ④ 正確；
綜上，真命題的個數(shù)是3，
故選：C.
8．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過，若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得參數(shù)，結合題意構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)變換規(guī)則，結合圖象，可得答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過，則，解得，
令，，
由函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，
由，則當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，，
則函數(shù)的圖象如下圖：

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，則.
故選：D.
二、多選題
9．以下結論不正確的是（ ）
A．“事件，互斥”是“事件，對立”的充分不必要條件．
B．假設，，且與相互獨立，則
C．若，，則事件，相互獨立與事件，互斥不能同時成立
D．在一組樣本數(shù)據(jù)，，，，（，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)互斥與對立的概念可判斷A；由公式可判斷B；根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式，結合推導可判斷C；根據(jù)相關系數(shù)的含義可判斷D.
【詳解】對于A，由互斥事件與對立事件的概念可知，互斥不一定對立，對立一定互斥，
所以“事件，互斥”是“事件，對立”的必要不充分條件，A錯誤，符合題意；
對于B，由概率性質(zhì)可知，，B錯誤，符合題意；
對于C，若事件，互斥成立，則，
又因為，
所以有，
若事件，相互獨立，則有，矛盾，
故事件，相互獨立與事件，互斥不能同時成立，C正確，不符合題意；
對于D，由題知，該樣本數(shù)據(jù)成負相關，
又因為所有樣本點都在直線上，
所以該樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為，D錯誤，符合題意.
故選：ABD
10．若向量滿足，，則（ ）
A．B．與的夾角為
C．D．在上的投影向量為
【答案】BC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，即可判斷A、B、C，求出，即可判斷D.
【詳解】對于A：因為，，
所以，所以，故A錯誤；
對于B：設與的夾角為，則，又，所以，故B正確；
對于C：因為，所以，故C正確；
對于D：因為，且，
所以在上的投影向量為，故D錯誤；
故選：BC
11．為引導游客領略傳統(tǒng)數(shù)學研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點推出了“解數(shù)學題獲取名勝古跡入場碼”的活動.活動規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第行第個數(shù)記為，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第條斜線上所有數(shù)字之和為，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是的值，后段的數(shù)字是的值，則（ ）

A．B．
C．D．該景點入場碼為
【答案】BCD
【分析】分析可得，利用組合數(shù)公式可判斷A選項；利用二項式定理可判斷B選項；歸納得出，逐項計算可得的值，可判斷C選項；計算出的值，結合B選項可判斷D選項.
【詳解】由題意得，
對于A：即為第行第個數(shù)，則，故A錯誤；
對于B：展開式的通項為，
其中，，，，
所以，，故B正確；
對于C：，，，，，
歸納可得，即，
所以，，，，
，故C正確；
對于D：，
故，該景點入場碼為，故D正確.
故選：BCD.
12．已知函數(shù)在上恰有三個零點，則（ ）
A．的最大值為
B．在上只有一個極小值點
C．在上恰有兩個極大值點
D．在上單調(diào)遞增
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)在上恰有三個零點，可推得，即可判斷A；求出，結合余弦函數(shù)的最值情況可判斷B，C；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】A項，當時，，
由函數(shù)恰有三個零點，
可得，解得 ，所以無最大值，因此A錯誤；
B選項：由A選項知，，則當，即時，函數(shù)取得極小值，
即在上只有一個極小值點，因此B正確；
C選項：當，即時，此時，函數(shù)取得極大值，
當，即時，函數(shù)取得極大值，
但是不一定在內(nèi)，因此C錯誤；
D選項：當時，，
因為，所以，
即，而在上單調(diào)遞增，
因此在上單調(diào)遞增，因此D正確，
故選：BD．
三、填空題
13．每年高考結束后，各大高校會進入長沙的高中校園組織招生宣傳.某中學高三年級的3名男生、2名女生去參加A，B兩所高校的志愿填報咨詢會，每個學生只能去其中的一所學校，且要求每所學校都既有男生又有女生參加，則不同的安排方法數(shù)是 ．
【答案】12
【分析】分兩步完成，第一步，先將男生分成兩組，再分配，第二步，將女生分配，再根據(jù)分步計數(shù)原理即可求出結果.
【詳解】第一步：先將3名男生分成兩組，再分配到兩所高校，共有種；
第二步：將2名女生分配到兩所高校，共有種；
所以不同的安排方法有：種.
故答案為：12.
14．已知函數(shù)則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)的值代入相應的解析式即可.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
15．若直線與曲線相切，則 ．
【答案】
【分析】設出切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，結合已知切線列式求解即可.
【詳解】依題意，設切點為，則，
由，求導得，于是，解得，
從而，則.
故答案為：
16．已知這5個數(shù)的標準差為2，若在中隨機取出3個不同的數(shù)，則5為這3個數(shù)的中位數(shù)的概率是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)標準差公式求出，再根據(jù)中位數(shù)的定義結合古典概型即可得解.
【詳解】這5個數(shù)的平均數(shù)為，
因為這5個數(shù)的標準差為2，
，
解得，
則，即為，
按照從小到大的順序為，
從隨機取出3個不同的數(shù)，
有，
共種，
其中5為這3個數(shù)的中位數(shù)有共種，
所以5為這3個數(shù)的中位數(shù)的概率是.
故答案為：.
四、解答題
17．設數(shù)列的各項都為正數(shù)，且．
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，再結合等差數(shù)列的定義即可得證；
（2）利用裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）由數(shù)列的各項都為正數(shù)，且，
得，即，
所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；
（2），由（1）得，
所以，則，
所以.
18．已知平面向量，，記，
(1)對于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．
(2)若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，a，b，c成等比數(shù)列，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡得到，確定得到，，得到最值.
（2）計算得到，確定，化簡得到，根據(jù)正弦定理結合等比數(shù)列性質(zhì)得到答案.
【詳解】（1）
，
，則，故，，
恒成立，故，，
當，時，有最大值為.
（2），即，
，，故，，
，，成等比數(shù)列，則，
.
19．隨著《2023年中國詩詞大會》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時代精神相結合，使古詩詞綻放出新時代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學習古詩詞的熱情，掀起了學習古詩詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級全部1000名學生學習古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機抽取100名學生，對其測試成績（滿分：100分）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生測試成績的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）
(2)若該校高二學生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計該校高二年級學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）
(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內(nèi)“詩詞大會”.該“詩詞大會”共有三個環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，在前兩個環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學生甲在三個環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設學生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨立的.記學生甲在這次“詩詞大會”中的累計得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期.
（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【答案】(1)74分
(2)159人
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)進行估值計算即可；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解概率即可；
（3）根據(jù)隨機變量的所有可能取值為：，分別求概率，即可得分布列與數(shù)學期望.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為：
（分）
（2）由題意可得測試成績X近似服從正態(tài)分布
所以，則
所以人
故該校高二年級學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；
（3）隨機變量的所有可能取值為：
，
，
，
所以的分布列如下：
數(shù)學期望.
20．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再將其縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖像.
(1)設，，當時，求的值域；
(2)在①②③三個條件中任選兩個，補充到以下問題中，并完成解答.
在中，，，分別是角，，所對的三條邊，，__________，__________.求的面積.
【答案】(1)
(2)選①②：；
選①③：；
選②③：.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換，先求出，求值域時，結合，與的關系，換元轉化可得值域.
利用正弦定理或余弦定理先解三角形，再用面積公式可得.
【詳解】（1）的圖像向左平移個單位得，
再將其縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到
即，
又因
故，，，，
故
因，
所以
設，
，
又因為在上單調(diào)遞增，則，所以的值域為
（2）且
選①②：，，
，
，，
，
則；
.
選①③：，
，
，，
，
,
選②③：，，
由余弦定理得
所以，則或（舍）
.
21．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，數(shù)列的前n項和為，且，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意正整數(shù)n，均有，求實數(shù)m的最大值．
【答案】(1)
(2)的最大值為1
【分析】（1）在中令即得，在中用代，然后兩式相減得，用代，然后兩式相減得當時，，再說明時等式仍然成立，最后利用等比數(shù)列的通項公式即得答案；
（2）利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式對不等式化簡，并分離出參數(shù)，然后構造出新數(shù)列，使，利用作差法說明從第項開始單調(diào)遞增，求出的最小項，從而確定的最大值.
【詳解】（1）由，得，解得.
因為①，所以②
得，即，
由于，所以③，所以④，
得，即，所以當時，，
又由，得，即，
因為，所以，所以，所以對任意的都有成立，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故通項公式為.
（2）因為，所以由得，
即.
令，則，
當時，，即.
又，所以，所以.
故實數(shù)的最大值為.
22．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)設，證明：．
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導，由導函數(shù)的正負求出單調(diào)區(qū)間；
（2）轉化為在上恒成立，令，分和兩種情況，求導，結合導函數(shù)特征，再分類討論，求出的取值范圍；
（3）在（2）基礎上得到，賦值得到，利用累加法得到結論.
【詳解】（1）當時，，
則，
令，得；令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由，得，
設，
當時，，
所以當時，，不符合題意．
當時，，
設，
其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，
當，即時，
因為，
所以當時，，即，
此時單調(diào)遞增，所以，不符合題意．
當，即時，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，符合題意．
綜上所述，的取值范圍為．
（3）由（2）可得當時，，即，
令，則，
所以，
以上各式相加得，
即，
所以．
【點睛】導函數(shù)證明數(shù)列相關不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.

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