一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用補集和交集的定義可求得集合.
【詳解】解不等式，即，解得，即，
又因為，則，故.
故選：C.
2．若．則（ ）
A．5B．4C．D．2
【答案】C
【分析】由復數(shù)相等待定，再由求模.
【詳解】因為，，
所以，則.
故選：C.
3．設，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以，
又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，
因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以.
故選：D
4．已知：角的終邊過點，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由，則終邊可能落在第一或三象限，則由兩個方向的是否推出關系可得.
【詳解】若角的終邊經(jīng)過點，
則，故充分性成立，
若，設的終邊上一點為，
則，
不妨設，則,，
解得，或，
顯然當時，的終邊不過點，故必要性不成立.
綜上，是的充分不必要條件.
故選：A.
5．已知向量、滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出的值，再利用投影數(shù)量的定義可求得結果.
【詳解】因為，則，，
則，可得，
所以，在方向上的投影.
故選：D.
6．已知，曲線在點處的切線與直線平行，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出點的坐標，然后利用點斜式可得出直線的方程.
【詳解】因為，其中，則，
直線的斜率為，由，可得，且，即點，
所以，直線的方程為，即.
故選：B.
7．已知數(shù)列的前項和為，且．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用確定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式和求和公式計算即可.
【詳解】由①得②，
①-②得，
即，又，得
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
.
故選：C.
8．如圖，在圓臺中，四邊形為其軸截面，分別為和的中點，若，則（ ）

A．
B．與所成的角的余弦值為
C．
D．三棱錐的體積為
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線夾角的概念求解判斷AB，利用勾股定理求解CE的長判斷C，利用等體積法求解體積判斷D.
【詳解】由題意知，且，
，所以，所以與所成的角的大小為，故選項A錯誤；
過C作，交AB于點P，連接PE，OE，則是與所成的角（或其補角），
作，交AB于點Q，連接EQ，則，，所以，，
所以，，
由余弦定理得，故選項BC錯誤；
因為點E到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，故選項D正確.
故選：D

9．將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度．得到的圖象，將圖象上的所有點的橫坐標伸長至原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于點對稱
C．在上單調(diào)遞增
D．在內(nèi)有2個極值點
【答案】C
【分析】首先利用正弦型函數(shù)的平移和伸縮變換求出的解析式，再結合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可.
【詳解】因為將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到的圖象，所以，
將圖象上的所有點的橫坐標伸長至原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則，
對于A，的最小正周期為，故A錯誤；
對于B，，所以的圖象關于對稱，故B錯誤；
對于C，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，當時，，結合的圖象可知，
只有，即是的極值點，故D錯誤；
故選：C.
10．已知圓關于直線對稱，過點作圓C的兩條切線和，切點分別為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圓心在直線上，求出，利用切線算出的長度，再利用等面積法即可的.
【詳解】圓心在直線上，解得，因此，，
，
,
故選:D
11．已知點在拋物線上，過點作直線，與拋物線分別交于不同于點的兩點．若直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為（ ）
A．B．
C．D．不存在
【答案】B
【分析】直線與拋物線相交于兩點，已知點，設直線的斜率為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達定理可用表示點的坐標，同理可用表示點的坐標，由消參，再求的斜率即可.
【詳解】將點代入拋物線方程，得，
所以拋物線.
設直線的斜率分別為，則，
直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，
消去整理得，
設，因為，
所以，代入直線的方程，得，
即
同理可得，
又，即，
所以直線的斜率為
.
故選：B.
12．已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知奇偶性質(zhì)得到的周期性與對稱性，借助已知條件與待定系數(shù)，再利用周期性得，由對稱性轉化為，代入解析式求解即得.
【詳解】由為奇函數(shù)，得，
故①，函數(shù)的圖象關于點對稱；
由為偶函數(shù)，得②，
則函數(shù)的圖象關于直線對稱；
由①②得，
則，
故的周期為，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函數(shù)的圖象關于直線對稱，得，
又函數(shù)的圖象關于點對稱，得
所以，即，
所以④，聯(lián)立③④解得
故時，，
由關于對稱，可得.
故選：A.
二、填空題
13．已知滿足約束條件，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后設，表示點與點連線的斜率，觀察圖像計算可得范圍.
【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：
設，則表示點與點連線的斜率，
又，
所以，
即的取值范圍為.
故答案為：.
14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由函數(shù)定義域及單調(diào)性建立不等式組求解即得.
【詳解】由題意知，在其定義域上單調(diào)遞增，
由，得，
又，
簡化不等式組為,
解得，或.
即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標原點），若，則的離心率為 ．
【答案】
【分析】由雙曲線的對稱性，結合定義與垂直關系轉化將已知條件集中在與中，建立方程組消參化簡可得的齊次關系，從而得到離心率.
【詳解】由雙曲線的對稱性得，由，得，
不妨設點在的右支上，且，
在中，由雙曲線定義知，
由勾股定理得，
則，
且
又，，所以，
則在中，由，得，
化簡得，
即，所以，
所以，化簡得.
所以的離心率為.
故答案為：.

16．如圖為某幾何體的三視圖．該幾何體的所有頂點均在球的表面上．若，則當球的體積最小時，該幾何體內(nèi)能放置的最大的球的表面積為 ．
【答案】
【分析】由對稱性知球心在三棱柱高的中點上，設球心，連接球心與底面中心，由垂直關系利用勾股定理求解外接球，再比較以三棱柱的高為直徑的球與以底面三角形的內(nèi)切圓為直徑的球的大小則可解.
【詳解】
如圖，該幾何體是正三棱柱，其中，
設三棱柱上、下底面中心分別為，則的中點為，
設球的半徑為，則，,
所以，
在中，
，
當且僅當，即時，，
設的內(nèi)切圓半徑為，則
所以，即放置以三棱柱高為直徑的球不可能，
最大可放置的球是以底面的內(nèi)切圓半徑為半徑的球.
所以當球的體積最小時，該幾何體內(nèi)能放置的最大球的半徑為，
故所求表面積為.
故答案為：.
三、解答題
17．在中，角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若為的面積，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后整理可得，再通過同角三角函數(shù)基本關系計算即可；
（2）利用余弦定理及面積公式代入變形，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】（1）
由正弦定理可得，
即，
又，
，又，
，
；
（2），
當且僅當時等號成立，
故的最小值為.
18．衛(wèi)生紙要求無毒性化學物質(zhì)、無對皮膚有刺激性的原料、無霉菌病毒性細菌殘留．衛(wèi)生紙的特征是吸水性強、無致病菌、紙質(zhì)柔軟厚薄均勻無孔洞、起皺均勻、色澤一致．衛(wèi)生紙主要是供人們生活日常衛(wèi)生之用．是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一．某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品質(zhì)量．現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取600件進行品質(zhì)鑒定．并將統(tǒng)計結果整理如下：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關？
(2)用分層抽樣的方法，從樣本的優(yōu)等品中抽取8件進行詳細檢測，再從這8件產(chǎn)品中任選2件，求所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的概率．
附：，其中．
【答案】(1)有的把握認為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關
(2)
【分析】（1）由獨立性檢驗公式求，比較與臨界值的大小作答結論；
（2）由抽樣比得兩生產(chǎn)線的抽樣數(shù)，再由古典概型概率公式可得.
【詳解】（1）補充列聯(lián)表如下：
零假設產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線無關，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關，此推斷有的把握認為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關.
（2）根據(jù)分層抽樣可知，在抽取的件優(yōu)等品中，來自甲生產(chǎn)線的有件，記為，
來自乙生產(chǎn)線的有件，記為.
設事件“所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線”，
從這件產(chǎn)品中任選件，所有的等可能結果有
，共種；
其中，所選的2件產(chǎn)品中至少有1件來自甲生產(chǎn)線的結果有
，共種；
則由古典概型概率公式得.
19．如圖1，在平面四邊形中，．將沿折疊至處．使平面平面（如圖2），分別為的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）要證平面平面，只需證明平面，故結合已知條件只需分別證明即可.
（2）利用等體積法，即，故只需分別算出，即可.
【詳解】（1）由題意，
所以是等邊三角形，
所以，
從而，即，
又因為為的中點，
所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
又因為，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）因為分別為的中點，所以，，
由（1）可知平面，所以平面，
即平面，是三棱錐的高，
又分別為的中點，
所以，
所以，
因為，，所以，
又因為為的中點，所以，
所以，
因為平面，平面，
所以，所以，
又因為為的中點，，所以，
所以，
所以，
從而，
設點到平面的距離為，則由，
可得，解得，
即點到平面的距離為.
20．已知函數(shù)．
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，上遞增
(2)
【分析】（1）求導，然后利用導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）原不等式等價于在上恒成立，利用導數(shù)多次討論后可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由已知得，
設，則，
當時，；當時，，
故當時，，故，
故函數(shù)在，上單調(diào)遞增；
（2）由在上恒成立，即在上恒成立，
設，則，
設，則，其中，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故，即，
故在上為增函數(shù)，故即，
故在上為增函數(shù)，故，
即在上恒成立.
若，則時，
故在上為減函數(shù)，故，，
故，，
故在上為減函數(shù)，故，，
故，，
故在上為減函數(shù)，故，，
這與題設矛盾.
所以.
21．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，過點作斜率為的直線，與橢圓交于兩點，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作直線，與橢圓交于點（點異于點），是上一點，過點作，與軸交于點，記為坐標原點，若．且，求直線的斜率的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直線的斜率為與條件，可設，則另兩邊為，則由橢圓定義得到，得，結合已知聯(lián)立求解即可；
（2）設直線斜率為，聯(lián)立與橢圓方程，已知點，則由韋達定理可交點的坐標，再由可求點坐標，進而由垂直關系可求出橫坐標，則由得，可得的范圍.
【詳解】（1）因為直線的斜率為，設，且，
所以，所以，
則，即，
所以有，則，
故橢圓的方程為；
（2）由題意知，的斜率存在且不為，
故可設直線的方程為，，
聯(lián)立，得，
因為為方程的一個根，所以，
則，，
所以，
由（1）知，，設，
則，，
因為，所以，
解得，所以直線的方程為，
設，聯(lián)立，得，
因為，所以，解得，
即，解得或，
所以直線的斜率的取值范圍為.
【點睛】直線與曲線相交問題，若其中一個交點的坐標已知，則另一交點可求，一般可用韋達定理或因式分解解得，則后續(xù)相關點可逐一求解，各個擊破.
22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
(2)已知點的直角坐標為，曲線與曲線交于、兩點，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中，消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用極坐標方程一直角坐標方程之間的轉換關系可得出曲線的直角坐標方程；
（2）寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，可得出關于的二次方程，求出該方程的兩根，再結合的幾何意義可求得的值.
【詳解】（1）解：在直線中，消去參數(shù)可得，
曲線的極坐標方程可化為，即，
轉換為直角坐標方程為,
所以，曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為.
（2）解：因為，即點在直線上，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，
所以，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得，
則，
設點、對應的參數(shù)方程分別為、，
解方程，即，解得，，
因此，.
23．設函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若對于任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分段求解不等式，綜合時求各段并集即可；
（2）恒成立問題轉化為最值問題求解，則，求出最值解不等式即可.
【詳解】（1）,
當時，由，
得，解得，則；
當時，由，
得，解得，則；
當時，由，
得，解得，則；
綜上，不等式的解集是.
（2）由（1）作出函數(shù)的圖象（如圖），
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
因為對任意實數(shù)，恒成立，
所以有，即，
即，解得，
故實數(shù)的取值范圍為.
合格品
優(yōu)等品
甲生產(chǎn)線
160
30
乙生產(chǎn)線
320
90
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635
合格品
優(yōu)等品
總計
甲生產(chǎn)線
160
30
190
乙生產(chǎn)線
320
90
410
總計
480
120
600

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