一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出集合，再根據(jù)補集和交集得定義即可得出答案.
【詳解】解：，
由，得，解得，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
2．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由為真命題，可得在上成立，從而求解出，再利用充分不必要條件分析.
【詳解】由題意，為真命題，所以在上成立，得，則的一個充分不必要條件為.
故選：D
3．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模和除法運算法則計算得到，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】由題意得：，
所以復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第四象限.
故選：D.
4．的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】，
故選：B
5．若正實數(shù)m滿足，則的值為（ ）
A．-2B．0C．-4D．
【答案】A
【分析】對指數(shù)式兩邊取以2為底的對數(shù)，化簡即可求解.
【詳解】
，
，
故選：A
6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，則此三角形外接圓的半徑R＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由余弦定理求出三角形的第三邊，然后由正弦定理可得外接圓半徑．
【詳解】：因為b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圓的直徑2R＝＝＝，所以R＝，
故選：D.
【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
7．設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性得到，，，從而比較出大小關(guān)系.
【詳解】因為且，
，
故.
故選：B.
8．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3對x∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)
【答案】B
【分析】分析：由已知條件推導(dǎo)出，令，利用導(dǎo)數(shù)形式求出時，取得最小值4，由此能求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】詳解：由題意對上恒成立，
所以在上恒成立，
設(shè)，則，
由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以時，，所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．在中，滿足的三角形有兩個
B．在中，若，則
C．在中，是的充要條件
D．在中，
【答案】CD
【分析】結(jié)合正弦定理對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】A選項，由于，則所以三角形有一個，A選項錯誤.
B選項，，可能，所以B選項錯誤.
C選項，由正弦定理得，其中是三角形外接圓的半徑，所以C選項正確.
D選項，由正弦定理，
=，可知D選項正確.
故選：CD
10．等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時，取得最大值D．當(dāng)時，取得最大值
【答案】BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可結(jié)合選項判斷.
【詳解】，所以，故，
當(dāng)時，取得最大值.故BC正確，AD錯誤.
故選：BC
11．在菱形中，是的中點，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合向量的運算逐個分析判斷
【詳解】對于A，因為是菱形，所以，，所以，所以A正確，
對于D，因為是的中點，所以，所以，所以B正確，
對于C，因為，所以，
因為，所以，所以C錯誤，
對于D，過作于，因為，所以∥，因為是的中點，所以為的四等分點，
所以，所以D正確，
故選：ABD

12．已知為圓錐底面圓的直徑（為頂點，為圓心），點為圓上異于的動點，，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．圓錐的側(cè)面積為
B．的取值范圍為
C．若為線段上的動點，則
D．過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為
【答案】AC
【分析】依次判斷每個選項，直接計算A正確；當(dāng)時，，B錯誤；當(dāng)三點共線時最小，根據(jù)余弦定理計算得到C正確；計算截面，根據(jù)均值不等式計算得到D錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：母線長，側(cè)面積為，正確；
對選項B：中，，，則當(dāng)時，
，錯誤；
對選項C：為等腰直角三角形，，將放平得到，如圖2所示，當(dāng)三點共線時最小，為中點，連接，則，，
，正確；
對選項D：如圖3，設(shè)截面為，為中點，連接，設(shè)，，則
，當(dāng)，即時等號成立，D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了立體幾何中側(cè)面積，截面積和線段和的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力，其中，將空間的線段和轉(zhuǎn)化為平面的距離是解題的關(guān)鍵.
三、填空題
13．設(shè)函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】分為和兩種情況，然后解方程可得的取值．
【詳解】由題意得，當(dāng)時，由，解得，符合題意；
當(dāng)時，由解得，符合題意．
綜上可得．
【點睛】本題考查分段函數(shù)的求值問題和函數(shù)零點的求法，解題的關(guān)鍵是對進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，其前項和為，則 .
【答案】
【分析】求出等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比，則，則，即，
，則，，解得.
因此，.
故答案為：.
15．已知在中，點M為上的點，且，若，則
【答案】/0.5
【分析】結(jié)合向量的線性運算公式及平面向量基本定理列方程求即可.
【詳解】因為，
所以，
又，所以，
所以.
故答案為：.
16．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時的圖象情況，分類討論，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.
【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，此時，
由，得，即，解得或，
即在上有2個零點；
若，，其圖象對稱軸為，
函數(shù)的大致圖像如圖：

則此時，即，則，
即無解，則無零點，此時無零點，不符合題意；
故需，此時函數(shù)的大致圖像如圖：

由得或，
要使得函數(shù)恰有3個零點，需滿足在上有一個零點
此時只有一個解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無交點，
則需，解得，結(jié)合，
可得，
故答案為：
【點睛】方法點睛：本題為復(fù)合函數(shù)的零點問題，解答時采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，即作出函數(shù)的大致圖像，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點個數(shù)問題，即可解決.
四、解答題
17．已知數(shù)列的前項和，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用及，即可解得，從而得到，再檢驗時也成立，即可得解；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法計算可得．
【詳解】解：（1）因為，
當(dāng)時，，
所以
所以，解得，所以（）；
當(dāng)時，，也滿足，
綜上所述，；
（2）由（1）知，
所以 ①
②
①②得：，
所以．
18．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度得到的圖像，求函數(shù)的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)在第（2）問的前提下，對于任意，是否總存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出實數(shù)m的值或取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)，單調(diào)遞增區(qū)間為
(3)存在；
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖形，觀察最值，周期，對稱性，分別求解，即可求解；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是值域的子集，建立不等式求解.
【詳解】（1）由圖可知，，則，，所以，．所以，即
又，所以當(dāng)時，，所以．
（2）將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得：，再向右平移個單位長度得到：，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
（3）由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．
由題可知，得，解得，所以存在，使得成立．
19．如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓（為圓心）過點，且，底面，為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求四棱錐的側(cè)面積．
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）先證平面，得，，結(jié)合得平面，然后可證得面面垂直；
（2）由（1）知為直角三角形，求其面積，易知，利用求即可求解.
【詳解】（1）證明：由題意知點為圓上一點，則.
由底面，知.又，因此平面，
則，又，則.
因為，為的中點，所以.
又，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，所以，
，，
因此，.
因為，，分別為，的中點，所以.
設(shè)邊的高為，則，.
又因為，，所以.
由，可得，
得.
故四棱錐的側(cè)面積.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求四棱錐的側(cè)面積，分別根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求解三角形面積，特別是在求解時，利用，即等體積法是關(guān)鍵，屬于中檔題.
20．在等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若______，求數(shù)列的前項和.
在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并作答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1），；（2）答案見解析.
【分析】（1）由題意列出方程組求出等差數(shù)列通項公式，由遞推關(guān)系求出；
（2）若選①，利用錯位相減法求和，若選②，利用裂項相消法求和，若選③利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得
所以.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，根據(jù)，得到，
所以，
當(dāng)時，也滿足.所以.
（2）若選①，則，
所以，
，
，
可得.
若選②，則，
所以
.
若選③，則，
所以
【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列求和時，根據(jù)所給通項公式的情況，恰當(dāng)選擇公式法，分組法，裂項相消法，錯位相減法，屬于中檔題.
21．已知動點分別與定點和連線的斜率乘積．
(1)求動點的軌跡；
(2)設(shè)點位于第一象限，是的右焦點，的平分線交于點，求證：．
【答案】(1)動點的軌跡是以，為頂點、焦距為8的雙曲線（不包含頂點，）
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得到，化簡得到答案.
（2）題目轉(zhuǎn)化為，考慮和兩種情況，計算，，計算得到，得到證明.
【詳解】（1）由已知，得，化簡并整理，得．
故動點P的軌跡E是以A，B為頂點、焦距為8的雙曲線（不包含頂點A，B）．
（2）點M是∠AFP的平分線與AP的交點，所以，
又，故，所以，
要證，即證，
也即證，只需證明成立．
當(dāng)時，因為，，所以，故，顯然成立．
當(dāng)時，由，得，．
所以．
因為點P在雙曲線上，所以，
所以，故．
又∠PAF為銳角，所以，從而得證．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線的軌跡方程，雙曲線相關(guān)的證明問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和和綜合應(yīng)用能力，其中將雙曲線中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進而用斜率公式計算是解題的關(guān)鍵.
22．已知函數(shù)．
(1)若在區(qū)間上無零點，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將變量分離出得在區(qū)間無解，求得的值域，即可求解；
（2）根據(jù)時求得m的取值范圍，再證時也成立，即，應(yīng)用放縮法，先證，再證，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可證明..
【詳解】（1）令，得，令，
則，
當(dāng)時，，，故，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因為，當(dāng)時，，
故實數(shù)m的取值范圍為．
（2）依題意在時恒成立，
令，解得．
下證當(dāng)時，不等式在時恒成立．
先證明：當(dāng)時，．
令，則，
令，則，
易知，所以在上單調(diào)遞增，，即，
所以在上單調(diào)遞增，得，即當(dāng)時，．
再證明：當(dāng)時，，（*）
因為當(dāng)時，，故只需證明．
令，
則．
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
；
②當(dāng)時，由知，
所以，
所以（*）成立．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為．
【點睛】證明不等式恒成立，結(jié)合常用的指對不等式進行適當(dāng)放縮是比較常用的方法.

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