一、單選題
1．已知集合，則 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由補(bǔ)集的運(yùn)算可得，再由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，則.
故選：C
2．荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言.此名言中的“積跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷.
【詳解】“積跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“積跬步”，
“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.
故選：B.
3．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷.
【詳解】由題意可得：命題“”的否定是“”.
故選：B.
4．與函數(shù)為同一函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判斷函數(shù)定義域是否相同，再判斷解析式是否相同即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對于A：函數(shù)的定義域?yàn)榍?，所以A正確；
對于B：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以B錯誤；
對于C：函數(shù)的定義域?yàn)椋珻錯誤；
對于D：函數(shù)的定義域?yàn)椋珼錯誤，
故選：A
5．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】代入分段函數(shù)的解析式，即可求解.
【詳解】函數(shù)，因?yàn)?，所?
故選：A
6．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)在上為減函數(shù)，故A不符合；
對于B，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，故B不符合；
對于C，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故C符合；
對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，故D不符合.
故選：C.
7．已知，，，則a，b，c之間的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.
【詳解】，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.
故選：A
8．已知函數(shù)有最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有最大值結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像，得出當(dāng)時，可取最大值，且該最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【詳解】當(dāng)時，的取值范圍是，
故當(dāng)時，可取最大值，且該最大值大于等于，
顯然不合題意，
則必有，此時，解得，
故選：B．
二、多選題
9．已知，下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】ACD，由不等式的性質(zhì)可得到正誤；B選項(xiàng)，由函數(shù)單調(diào)性得到判斷.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故，B正確；
C選項(xiàng)，，不等式兩邊同時乘以得，，C錯誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，不等式兩邊同除以得，，D正確.
故選：ABD
10．下列各圖中，能表示函數(shù)的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系直接判斷即可.
【詳解】對A：多個對應(yīng)一個，可以是函數(shù)；
對B：在軸左側(cè)或右側(cè)，一個對應(yīng)多個，不是函數(shù)；
對C：一個對應(yīng)一個，可以是函數(shù)；
對D：為不連續(xù)的點(diǎn)函數(shù).
故選：ACD
11．已知函數(shù)的值域是，則它的定義域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意令，，求出對應(yīng)的x值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及選項(xiàng)即可求解.
【詳解】令，解得；
令，解得；
由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，若要使函數(shù)的值域是，
則它的定義域是可能是，，．
故選：ACD．
12．用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，.已知，則（ ）
A．
B．為奇函數(shù)
C．，都有
D．與圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為
【答案】ACD
【分析】A、B由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷；C作差法比較大小；D令可得，結(jié)合新定義求得，討論求的根，即可判斷.
【詳解】A：，對；
B：，錯；
C：，則，
對于，都有，故，對；
D：令，又，
所以，可得，
當(dāng)時，滿足，即2為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
當(dāng)時，，則，即為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
當(dāng)時，，則，故1不為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
當(dāng)時，，則，即為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
綜上，圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，對.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，注意令結(jié)合分類討論求對應(yīng)根為關(guān)鍵.
三、填空題
13．已知函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)解析式直接代入即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
故答案為：.
14．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則 .
【答案】
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以.
故答案為：.
15．給出函數(shù)，如下表，則
【答案】1
【分析】由內(nèi)到外依次求各函數(shù)值即可.
【詳解】由題知，，所以.
故答案為：1.
16．已知定義在上的函數(shù)滿足：是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)已知條件分析的對稱性以及單調(diào)性，然后根據(jù)對稱性以及單調(diào)性將的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榈年P(guān)系，再根據(jù)恒成立思想采用分離參數(shù)的方法求解出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，所以的對稱軸為，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，
所以自變量越靠近對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值越小，反之亦然，
因?yàn)?，恒成立?br>所以，恒成立，即恒成立，
所以，恒成立，即恒成立，
所以，
又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，
所以，，
所以，即，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對稱性的常用結(jié)論如下：
（1）若函數(shù)滿足或或，則的一條對稱軸為；
（2）若函數(shù)滿足或或，則的一個對稱中心為.
四、解答題
17．計(jì)算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化可化簡所求代數(shù)式；
（2）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】（1）解：原式.
（2）解：原式.
18．設(shè)集合，.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，寫出集合，利用交集的定義可得出集合；
（2）分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
又因?yàn)?，則.
（2）解：因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，解得，
因?yàn)椋瑒t，解得，此時.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19．定義上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，.
(1)求函數(shù)、的解析式；
(2)判斷并證明的單調(diào)性.
【答案】(1)，
(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明詳見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程來求得和的解析式.
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)的奇偶性證得的單調(diào)性.
【詳解】（1）依題意，定義上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，
則，所以，
兩式相加得，
所以.
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：
當(dāng)時，任取，
，
其中，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于是偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
20．已知冪函數(shù)，且的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．
(1)求的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求解即可；
（2）直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】（1）函數(shù)為冪函數(shù)，
，解得或，
當(dāng)時，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，舍去；
當(dāng)時，是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
；
（2）明顯在上單調(diào)遞增，
對于，有，
解得或
五、應(yīng)用題
21．2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本5000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且，已知每輛車售價(jià)15萬元，全年內(nèi)生產(chǎn)的所有車輛都能售完.
(1)求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)2023年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)， 萬元
【分析】（1）根據(jù)利潤＝銷售額－成本，結(jié)合分類討論思想進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)配方法、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上，.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以，?dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，又，
所以，2023年產(chǎn)量為百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為萬元.
六、解答題
22．已知函數(shù)
(1)若，寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，并求在內(nèi)的最小值;
(2)設(shè)關(guān)于對的不等式的解集為 A，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)遞減區(qū)間，遞增區(qū)間和，
(2)或
【分析】（1）先求得的解析式，然后求得的單調(diào)區(qū)間，并求得最值.
（2）對進(jìn)行分類討論，根據(jù)不等式的解集以及，列不等式來求得的取值范圍.
【詳解】（1）若，則，
可知遞減區(qū)間，遞增區(qū)間和，
因?yàn)?，，故在的最小值?
（2）因?yàn)?，可知為上的奇函?shù)，
由題可知在區(qū)間恒成立，顯然，則有：
（i）當(dāng)時，當(dāng)時，開口向下，對稱軸，
可知在上單調(diào)遞減，則為上的減函數(shù)，
此時恒有，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，令得：，即，解得：，
①若時，則，
由，即，
整理得，
令開口向上，對稱軸，且，
當(dāng)，即時，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，符合題意；
當(dāng)，即時，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，解得；
可知：符合題意；
②若時，則，
由，即，
整理得，
因?yàn)?，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
所以符合題意；
綜上所述：的取值范圍為或.
x
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
6
8

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