一、單選題
1．已知是實(shí)數(shù)集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別計(jì)算出、，運(yùn)用并集的定義即可解決問題.
【詳解】由，即，即，解得或，所以或，
因?yàn)?，所以，?
故選：A.
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)為，則（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】C
【分析】直接由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意.
故選：C.
3．已知為兩條不同的直線，為三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，且，則
【答案】D
【分析】對于ABC，直接畫出長方體舉反例，對于D利用“同一法”證明線面垂直即可.
【詳解】長方體如圖所示：
對于A，設(shè)分別為直線，面，此時有面，但，
對于B，設(shè)分別為直線，面，面，其中分別為的中點(diǎn)，
此時有面，面，但面面，故B錯誤；
對于C，設(shè)分別為直線，面，面，
此時面，面，面面，但，故C錯誤；
對于D，若，且，則，
不妨取交線上一點(diǎn)，作平面的垂線，
因?yàn)?，且點(diǎn)，故，
同理可得，故與是同一條直線，
因?yàn)?，故，故D正確.
故選：D.
4．設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的
A．充要條件B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選C.
【解析】充要關(guān)系
【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法：
①定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．
②等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．
③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．
5．8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60手機(jī)，其中大部分件已實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，位道內(nèi)信號的平均功率以及信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（ ）（參考數(shù)值：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把兩個信噪比代入，然后作商運(yùn)算即可.
【詳解】由題意，，
大約增加了，
故選：C
6．在四面體中，底面，，，點(diǎn)為三角形的重心，若四面體的外接球的表面積為，則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】結(jié)合題意，先確定外心的位置，進(jìn)而求得外接圓的半徑，然后根據(jù)四面體外接球的表面積求得外接球的半徑，由此可求，然后根據(jù)，求解得到結(jié)論.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，
設(shè)的外心為，由題意可得點(diǎn)在上，
令，則有，即，解得：，
又平面，
所以四面體的外接球的半徑，
由題意得，解得：，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查四面體與外接球的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查空間想象，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題求外接球半徑的方法具有一般性.
7．設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則C的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義、雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理、雙曲線漸近線方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在C的右支上，設(shè)，由雙曲線的定義可知：，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
由余弦定理可知：
，
而，所以，因此C的漸近線方程為，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)中點(diǎn)利用向量的加法的幾何意義求解即解題的關(guān)鍵.
8．已知實(shí)數(shù)滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題目式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)，利用單調(diào)性列方程求解即可.
【詳解】由題意知，即，令，則，
從而，所以，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，
所以，所以.
故選：D
二、多選題
9．已知實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】作差法判斷A、B；特殊值法判斷C；由基本不等式易知，再根據(jù)對數(shù)性質(zhì)判斷D.
【詳解】A：，則，正確；
B：，則，正確；
C：當(dāng)時，，錯誤；
D：由（注意等號取不到），則，正確.
故選：ABD
10．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則中點(diǎn)到軸的距離為4
B．弦中點(diǎn)的軌跡為拋物線
C．若，則直線斜率
D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷A，設(shè)直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去可得軌跡判斷B，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.
【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
對于A，設(shè)、，則，
解得，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，
所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯誤；
對于B，由題意，直線斜率不為0，設(shè)：，
聯(lián)立，得，，
則，，，
設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去可得，
故弦中點(diǎn)的軌跡為拋物線，故B正確；
對于C，易知，，
由，可得，，
結(jié)合B選項(xiàng)可知，則，
又，可得，，
所以直線的斜率，故C正確；
對于D，由選項(xiàng)B可知，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故D正確.
故選：BCD
11．已知函數(shù)，在下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是的一個周期
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．在區(qū)間上無最大值
D．在區(qū)間上有最小值
【答案】CD
【分析】選項(xiàng)A用周期函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；選項(xiàng)B利用軸對稱的性質(zhì)，計(jì)算判斷即可；選項(xiàng)CD，用輔助角公式，三角公式變換，再用換元法求出即可.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?br>又，
，所以不是的一個周期，故A錯誤；
對于B，，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；
對于C，D，當(dāng)時，，
令，
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)，因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)，故在定義域上為增函數(shù)，
所以無最大值，最小值為，故C，D正確；
故選：CD
12．已知四棱錐，底面是正方形，平面，，點(diǎn)在平面上，且，則（ ）
A．存在，使得直線與所成角為
B．不存在，使得平面平面
C．當(dāng)一定時，點(diǎn)與點(diǎn)軌跡上所有的點(diǎn)連線和平面圍成的幾何體的外接球的表而積為
D．若，以為球心，為半徑的球面與四棱琟各面的交線長為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)線面角是斜線與平面內(nèi)直線所成角的最小角判斷A，根據(jù)平面平面判斷B，根據(jù)圓錐與其外接球軸截面求球的半徑判斷C，利用側(cè)面展開圖求球與側(cè)面交線長，再由球與底面交線為以點(diǎn)A為圓心，為半徑的四分之一圓弧即可判斷D.
【詳解】對A，如圖，
由題意為直線與平面ABCD所成的角，所以與所成的角不小于，故A錯誤；
對B，平面，平面，，又，面，面，點(diǎn)要在直線上，
因?yàn)?，所以不存在，故B正確.
對C，由題意知，幾何體為圓錐，作圓錐及外接球的軸截面圖，如圖，
所以外接球的半徑滿足，解得，
所以外接球的表而積為，故C正確；
對D，將側(cè)面展開，知球與側(cè)面的交線為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，即圖中，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
由對稱性知，所以,
故的長為，
又球與底面交線為以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓與底面ABCD的交線，
故長度為，所以球面與四棱琟各面的交線長為，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：因?yàn)槠矫媾c球的截面為圓面，交線為一段圓弧，所以球與棱錐各面的交線是圓上一段，且圓的半徑為，所以只需求出圓心角，本題選項(xiàng)D可以沿側(cè)棱展開，棱錐各個側(cè)面放在同一平面上，借助平面幾何知識及對稱性求出圓心角為即可得解.
三、填空題
13．已知正四棱臺中，，，則其體積為 .
【答案】
【分析】作出正四棱臺的直觀圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用勾股定理求出棱臺的高，最后根據(jù)棱臺的體積公式計(jì)算可得.
【詳解】如圖正四棱臺中，
則，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
則，又，所以，
即正四棱臺的高，
所以棱臺的體積.
故答案為：
14．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】
【分析】討論函數(shù)的單調(diào)性，確定其極小值點(diǎn)與極小值，由給定條件探討極小值點(diǎn)位置、區(qū)間上函數(shù)值與極小值的關(guān)系即可作答.
【詳解】由得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極小值，
因在區(qū)間上存在最小值，而函數(shù)最值不可能在開區(qū)間端點(diǎn)處取得，于是得，且，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
15．已知數(shù)列滿足，設(shè)，其中表示不超過的最大整數(shù)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則正整數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)遞推公式求出，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)列的新定義得出，最后由裂項(xiàng)相消求出，得出取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以
又因?yàn)?，其中表示不超過的最大整數(shù)，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>解得，
所以，
故答案為：
16．歷史上第一位研究圓錐曲線的數(shù)學(xué)家是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖甲，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)且與切線垂直的法線與軸交于點(diǎn)，若直線的斜率為，，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由離心率公式結(jié)合定義得出，再由正弦定理的邊角互化得出橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)，則，，，其中，所以橢圓的離心率為
.
故答案為：
四、解答題
17．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且圓與軸相切于原點(diǎn).
(1)求圓M的方程；
(2)若在圓中存在弦，且弦中點(diǎn)在直線上，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，則由題意可得，解方程組求出，從而可求出圓的方程，
（2）首先求出的軌跡方程，從而得到直線與圓的位置關(guān)系，再列出不等式解出即可.
【詳解】（1）設(shè)坐標(biāo)，則，
解得，即坐標(biāo)
圓與軸相切于圓方程.
（2），圓半徑，
軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則其軌跡方程為，
又在直線上，直線與圓有公共點(diǎn)，即，
.
18．已知是的內(nèi)角的對邊，是邊上的中線，設(shè)，且.
(1)試判斷的形狀；
(2)若，試求的余弦值.
【答案】(1)的形狀是等腰三角形或是直角三角形
(2)
【分析】（1）畫出圖形，由正弦定理、三角恒等變換化簡即可得到，結(jié)合，從而可知相等或互補(bǔ)，由此即可得解.
（2）首先判斷的形狀是直角三角形，然后結(jié)合勾股定理、余弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）
設(shè)，因?yàn)椋裕?br>在中，是邊上的中線，所以，
在中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，
在中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，
所以，即，
在中，，所以或，
因此的形狀是等腰三角形或是直角三角形.
（2）
因?yàn)椋裕?br>由（1）可知的形狀是直角三角形.
且，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以.
五、證明題
19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）借助構(gòu)造等比數(shù)列算出，即可求出；
（2）將裂項(xiàng)后求和，再分奇偶討論即可得證.
【詳解】（1）由，得，，
則，，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，
，
.
（2），
，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，由，可知是遞增數(shù)列，
，
綜上，.
20．如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)證明即可推理作答.
（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.
【詳解】（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO、OB，在正和正中，，
則，而平面平面ABC，
平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，
又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，
從而平面ABC，平面ADC，
所以.
（2）由（1）知，平面ADC，為EM與平面ADC的所成角，即，
在中，，即M為DC中點(diǎn)，
由（1）知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，

顯然平面DAC的一個法向量為，設(shè)平面MAB的一個法向量為，
則，令，得，
，
所以平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值為．
六、解答題
21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)F且斜率不為零的直線l交橢圓E：于A，B兩點(diǎn)，交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若為定值，求實(shí)數(shù)λ的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再列出方程化簡作答.
（2）設(shè)出直線l的方程，分別與橢圓E、曲線C的方程聯(lián)立，利用弦長公式求出弦長，再代入計(jì)算判斷作答.
【詳解】（1）設(shè)，依題意，，兩邊平方并整理，得，
所以曲線C的方程為．
（2）設(shè)，，，，依題意，設(shè)直線l的方程為，
由消去y并整理，得，而點(diǎn)為橢圓E的右焦點(diǎn)，
因此，，
則，
由（1）知，，
若直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且，則直線l與相交，
由消去y并整理，得，而點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，
則，于是，
從而，
要使為定值，則，即，
所以實(shí)數(shù)λ的值為3．
七、證明題
22．已知函數(shù).
(1)若對時，，求正實(shí)數(shù)的最大值；
(2)證明：.
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，判斷在單調(diào)遞增，且，在分和討論分析單調(diào)性，極值，求出結(jié)果；
（2）由（1）知，當(dāng)時，，令時，再利用累加法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】（1）由題知，
令，
所以，
又因?yàn)闀r，為正實(shí)數(shù)，
故在區(qū)間恒成立，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時，符合題意.
②當(dāng)時，，由零點(diǎn)存在定理，時，有，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，有，此時不符合，
綜上所述，正實(shí)數(shù)的最大值為1.
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
令時，
有，
即，
所以，，
累加得，
即，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第一問先求導(dǎo)，判斷在單調(diào)遞增，且，在分和討論分析單調(diào)性，極值，求出結(jié)果；第二問由（1）知，當(dāng)時，，令時，再利用累加法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可得出答案.

相關(guān)試卷

遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題，共10頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試 數(shù)學(xué)試題（PDF版）：

這是一份2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試 數(shù)學(xué)試題（PDF版），文件包含數(shù)學(xué)答案pdf、數(shù)學(xué)試題pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁， 歡迎下載使用。

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試 數(shù)學(xué)試題（PDF版）：

這是一份2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試 數(shù)學(xué)試題（PDF版），文件包含數(shù)學(xué)答案pdf、數(shù)學(xué)試題pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）
2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析
2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆遼寧省大連市濱城聯(lián)盟高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題含解析
遼寧省大連市濱城聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題

遼寧省大連市濱城聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中（Ⅰ）考試數(shù)學(xué)試題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部